книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

~ 2 п ~ 2 (1 ~ cos'ö'v) /г (cos ft, cosftv)

Ф 0 (cosftv ),

(13.14)

v = l

которая будет точной,

если

произведение k(x,

t)cp(t)

есть по­

лином от t

порядка

— 2.

Применение предыдущих формул к уравнению (13.1) приво­

дит опять

к системе

(13.10),

причем коэффициенты

атѴ

пред­

ставятся в

виде

Знаки выбираются как

выше.

3°. Р е ш е н и е,

о г р а н и ч е н н о е

н а

о б о и х

к о н ц а х.

Ограниченное на

отрезке решение (13.1)

обращается в нуль

на концах (см. Н. И.

Мусхелишвили

[2]), ф(1) =

ф(— 1) = 0 ,

и представимо в виде

ср(х) = 1 / Т = Т ^ Ф о М ,

(13.16)

£«[ф; X] =

Ф ѵ 2

sinmftv sinmft.

(13.17)

v = l

m=l

Отсюда получается весьма простая квадратурная

формула

1

л

п

\_

С 4MJ!L

= _

_ L _ V

Ф Ѵ

2

sin mftv cos

mft;

(13.18)

_Jj

'

v=II

m=I

она точна

всегда,

когда

ф (cos

ft)—нечетный

тригонометри­

ческий полином

порядка

^ п .

К регулярному интегралу в уравнении (13.1) будем по-преж­

нему применять формулу типа Гаусса

1

п

i

=

2 sin2 ftv F (cos ftv),

Г

F (х) dx

' ѴТ^х2

имеющую ту же точность, что и формула

(13.8). На основании

ее будем иметь (И. П. Натансон

[1], стр. 617)

1

п

~ -

Г k (х,t) ср (t) dt =

2

.

l

, „

2

sinif>/e (cos

cos 1%) cp (cos 1%).

J

> v=l

v

n

\ n

(13.19)

Используя формулы (13.18)

и

(13.19),

мы

приходим

опять

к системе вида (13.10) относительно срѵ, причем здесь

sin Фѵ

e -"V

s—

+ -TT k (cos •&,„, cos # ѵ )

(13.20)

/I + 1

cos г5\,

— cos # m

2

""

где

1

4

v /

_

(1

при

\tn — v| =

1,3, . . . ;

6/71V

{\Q

при

|m — v| =

0,2,. ..

Нетрудно

убедиться, что если

функции

k(x, t)

и f(x)

имеют

производные

по х

порядка

т, удовлетворяющие

на

отрезке

буемыми

свойствами)

при любом

f

определенного

класса, то

система

(13.10)

разрешима

для больших

п,

и

последователь­

ность

построенных

по

ее

решению

интерполяционных

триго­

нометрических

полиномов

равномерно

сходится

к

реше­

нию

(13.1).

З а м е ч а н и е .

При решении

сингулярного уравнения

указанным

спосо­

бом существенно,

чтобы искомые решения представлялись в виде

Ф(х) =

(1 -

X) а (14-х) Р

фо(х),

(13.21)

где а

=

+

~ Y ,

ß =

± - ^~ >

а

Фо(-ѵ) — ограниченная

функция

на отрезке,

принимающая определенные значения на концах. Легко

сообразить,

что при

наличии

представления

(13.21)

способ

может

быть

распространен и на урав­

нения

общего вида,

1

1

а(х)<р(х)

+

^

j (

L

i

^ +

J r

^k(x,t)<p(t)dt=f{x).

(13.22)

—i

-1

меется, при условии а2(х)+Ь2(х)фО

всюду на [—1, 1]). коэффициент а{х) обра­

щался в нуль на концах отрезка.

ч

II. ПЛОСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ

В

настоящем разделе

рассматриваются

контактные

задачи

плоской теории упругости, когда соприкасание между

круго­

выми

телами происходит

без трения вдоль

значительной

части

отсутствуют

на

бесконечности.

Заданными считаются форма основания штампа (близкая к

контуру отверстия)

и главный

вектор внешних

сил, прижимаю­

щих штамп к границе среды.

Ищется напряженное состояние упругого тела.

Пусть рассматриваемая упругая среда занимает плоскость

переменной3 )

£ =

£+*'т], из которой удален круг с

центром в

точке

£ = 0

радиуса

1. Будем

считать, что на

штамп

действует

единственная

сила

величины

Р, направленная

противоположно

оси ті.

Граничные условия задачи запишутся в виде

(ср. Н. И. Мус-

хелишвили

[1], стр.

429)

N = 0 ,

Г = 0

на L Ù

T=0,vp=g(a)

на

L 2 ,

(14.1)

причем вторые

из

этих условий выполняются

на

дуге контакта

L 2 , не задаваемой

заранее, а

первые — на остальной

части

пол-

')

В тексте,

в

соответствующих

местах, имеются подробные

указания.

2 )

Настоящий

параграф и §§ 15,

17, 18 представляют собой воспроизведе­

ние статьи автора

[7]

с незначительными изменениями.

3 )

Комплексную переменную в плоскости, где расположена упругая среда,

зическая область

сама

имеет канонический вид (ограничена,

например,

окружностью), то

для

обозначения комплексной переменной в ее

плоскости

мы будем иногда пользоваться буквой С.

действующего на контур

L , ѵр — нормальное

(упругое)

смеще­

ние, g (о)—заданная на

L 2 действительная

функция'от

точки

о = е'*, характеризующая

форму основания штампа, ввиду

сим­

метрии удовлетворяющая условию g(a) —

g(—а).

В дальнейшем будем

считать, что g (а)

имеет вторую

про­

получить

из формулы

(1.18) (гл. I) , если положить

в ней

« ( ? ) = £ и

подставить затем t = o. Имеем2 )

Ф (а) + Ф~(а) -

аФ' (а) — о°л¥ (а) = N — іТ на L .

(14.2)

Ф(0=^

+ 0а~2),

Т ( £ ) = * | - + 0(С-*),

(14.3)

а = о /Г,—г .

b = о 1?Р. •. !% — 3 — 4ѵ, либо

x = г-т—V

(14.4)

2я(І+и) '

2л(1+х)

I

'

1 + ѵ /

Здесь V, как и всегда,

обозначает

коэффициент

Пуассона.

Условие Г = 0 на L в силу формулы

(14.2) представим в виде

оФ' (0) - f ст*¥ (а) -

a WJÖ) -

ä2YJö)

= 0 на L.

(14.5)

Отсюда, произведя

операцию

2пі ) о — С

') Последнее условие

(14.1)

следовало бы писать более точно: і>р=£(ст) +

+ с sin а, где с ~

поступательное

перемещение

штампа,

но от этого

смещения

можно отвлечься, так как оно может быть устранено

жестким

поступатель­

ным смещением всей системы.

W(Z)+¥xV(Z)=Hï-t-[)+A

при

1 ^ ^ 1 , ( 1 4 . 6 )

причем

Л = 1 і т Е 2 [ Ч г а ) - Н - 1 ]

при ^ - > с о .

Для определения постоянной А умножим

(14.2) на о - 1

da и

полученное равенство

проинтегрируем

вдоль

L . Будем

иметь

л

= _

1

CNS^a

2лi )

a

ѵ

'

'L.

На основании (14.6) равенство (14.2)

примет вид

Ф (о) -S- Ф (а) — b{o

— ô)—A

= N

на L.

Отсюда, как и выше, находим

ф Ю

=

- а ? І * 5 @ Г - Т

"PH ICI > і .

(14.8)

Дифференцируя

выражение

(14.8)

по £ и принимая

во вни­

мание непрерывность1 ) нормального

напряжения N{a)

на гра­

нице L , получим

O ' ( 0 - - è S W + f •

<1 4 -9 >

определения N (а)

и

Для

на L 2

воспользуемся

формулой

(см.

формулу

(1.17), гл. 1)

2цѵр = Re {à [хер (а) — а ф' (а) — ір~Та)])

на L.

(14.10)

Из этого равенства дифференщірованием по т>, (а=е і , & )

полу­

чим, если учесть также условие

(14.5), следующую

формулу:

2^ [üp +

S r ] =

Re{(* -

I) Ф (a) -

(и +

1) огФ' (а) +

+

аФ' (а) -Ь а 2 ¥ (а)} на L 2 .

(14.11 )

Внося сюда предельные значения функции Ф(£), Ф'(£), да­

ваемые

формулами

(14.8),

(14.9), а также выражение

для левой

части

соотношения

(14.6),

получим

на

основании

последнего

из условий (14.1) искомое уравнение

Х - 1 д/ (п Ï Л- °о

[ N'

( g ) d

0

1 f ^ Wd a

<

y-Pl

(n

—n\

—

L ,

L

,

JUL

на Lo.

(14.12)

x +

1

j N(a)da = ~P,

(14.13),

из

3 a м e ч a и и е. Уравнение

(14.12)

(или, точнее,

уравнение,

получаемое

(14.14) при замене

правой

части

некоторым

ее приближенным

выражени­

ем)

содержится в работе

В. В. Паиасюка [1]. Названный автор выводит

свое

уравнение совершенно

иным путем,

основываясь

на результате И. Н. Карцн-

вадзе •).

Случай

круглого

штампа

(как

жесткого, так

и

упругого),

вложенного

в круговое

отверстие2 ),

рассматривался в работе

М. П. Шереметьева

[2].

Способом, несколько отличным от применяемого

нами,

названный автор по­

строил основные уравнения

задачи,

совпадающие

с

уравнениями

(14.14)

и (15.8) следующего параграфа в случае обобщенного

плоского напряженного

состояния. В случае же плоской деформации в

рассуждение автора

следует

ев [3]) предлагается некоторый

приближенный сопособ для непосредственно­

го решения этих же сингулярных

уравнений.

')

Изложение результатов

И.

Н.

Карцивадзе

можно найти, например,,

в монографии Н. И. Мусхелпшвили

[1]

(§§ 125, 126).

2 )

Случай упругого штампа

будет

рассмотрен

в следующем параграфе.

Фо (£) = f + Фо (£),

^о (0 = X +

Ч ' ° ( S )

( a o ^ 2 l ^ r j -

60 = а о * о ) .

(15.2)

причем функции Фо(£)>

^о (D

голоморфны

в единичном

круге.

Исходя из соответствующих

условий

(15.1),

получим

совер­

шенно аналогично

предыдущему

£Фо ( 0 +

Г ^ 0 ( С ) =

я 0

І £ | < 1 .

(15.3)

ф о « ) = 2 5 -

І

^ Г

+ ° » ( 2 е

+ т ) Н - 4 .

ICI <

1 »

(15.4)

где постоянная А

дается

формулой (14 . 7); при этом

предпола­

гается, что І т Ф О ( 0 ) = 0 . Из

формулы

(15.4),

используя по-

прежнему условие

ІѴ(О*) =N{—

а») =

0

(15.5)

(<?*, —о# — конечные точки дуги L 2 ) , находим

учитывая формулу (14.11), будем иметь

Ho Re{(x - 1) Ф (<т) - (х +

1) аФ' (а) +

оФ' (а) +

a21F

(а)} =

= il Re ( К -

1) Ф0 (а) - К

+ 1) аФ 0 (ст)

+

+ а-ФО (а) + a2V F0 (а)}

на Ц.

( 15.7)

нутом виде. Решение (замкнутое) задачи

в этом случае было

найдено в работе М. 3. Народецкого [1].

при Е0-+-оо,

Переходя в уравнении (15.8) к пределу

прихо­

дим к случаю абсолютно жесткой шайбы,—уравнение

(14.14).

При £ = о о имеем случай круглой упругой шайбы,

вставлен­

ложенной

к

центру

шайбы. При этом

уравнение

(15.8)

дает

х — 1 \т I

\

I о 0 f

N' (a) da

Р

,

- *

г

' ,, е

, . ,

La

причем % — упругая постоянная

шайбы.

Уравнение (15.8) представляет собой пример уравнения

плоской задачи о соприкасании

двух

упругих

тел,

трактуемой

пряжения

N (а)

на концах линии

L 2 . В нашем

же случае,

при

заданном

L 2 ,

предположение это перестает быть

справедливым:

функция N(o),

будучи непрерывной

на открытых

дугах L \ и

L 2 ,

же единицы. По этой причине рассуждения, проведенные в §

14,

в нашем случае подлежат существенному изменению.

Во

всем

остальном

мы сохраняем

предположения

§

14.

В частности, основание штампа предполагается

симметричным,

т. е. дуга L 2

симметрична

относительно

мнимой

оси, а

заданная

функция g(o)

также симметрична: g(a) =g(

—а)

на L 2

.

Область

| Ç | > 1 ,

занятую упругой

средой,

будем

обозначать

через

Е - ,

а внутренность единичного круга

| £ | < 1 — ч е р е з

Е + .

Ф (а) + аф' (а) -'- \\і (а) = const на L,

(16.1)

где ф(£), і[1(£) — искомые в области S~ аналитические

функции,

имеющие вид ')

( I G -

)

причем ' q > ( Ç ) = a l n £ + c p o ( Ê ) ,

№)=Ь\пЬ+ЫЪ),

2

фо(£). ^o(Ç) —голоморфные в Е~ функции, а постоянные

а и Ь даются равенствами

(14.4).

В функциях Ф и х ¥ условие

(16.1) имело бы вид

Ф (а) + Ф(а) — аФ' (о) - ал¥ (а) = 0 на L t

(16.3)

причем, напоминаем, что

Ф , а ) = Ф а ) ,

v a )

')

В отличие от § 14, мы отказываемся от использования в граничных ус­

ловиях

функций Ф(С) и

Дело

в том, что при введении функций Ф(£)

H ХѴ(С)

согласно условиям задачи (14.1) нам не избежать рассмотрения функ­

зано со своей стороны с некоторым

неудобством,— в нем

фигу­

рируют граничные значения неоднозначных функций.

Ввиду сказанного выше нам предстоит выразить вторую пару

граничных условий (14.1) в виде, аналогичном

условию

(16.1).

С этой целью воспользуемся известной формулой

Г = Трв = Im ( [стер" (ст) + і|/ (ст)] а2 )

(ст = е<»),

присоединим к ней формулу (14.10)

и примем еще во внимание,

что граница области представляет

собой окружность единично­

а [хер (ст) — стер' (ст) — ор(ст)] — (х +

1) Im ср' (ст) = g (ст)

на

L„, (16.4)

где

g (ст) = 2(.шр +

i (%Ѵ-

— тро).

Равенства (16.1) и (16.4) выражают граничные условия на­

шей контактной

задачи.

Определение

комплексного

потенциала

ер (С)

распространим

на область 2 + равенством ')

ср (£) =

-

£ф

- ф

+

const

(£ в 2+),

( 16.5)

где использовано

обозначение

(Ц. И. Мусхелишвили

[1], § 76)

Ч т ) = Щ

<16-6»

Функция ф(£), определенная

формулой

(16.5),

аналитична

в 2 + , за исключением

точки £ = 0 , где она

имеет

логарифмиче­

скую особенность. Более подробно, на основании

представлений

(16.2) и определения

(16.6) из формулы (16.5), будем

иметь

ф(£) = — b In £+голоморфиая функция (£

в

(16.7)