книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

m

< - т т

max V

ф L f l . .

fc=l

te2

2

Используя

здесь

неравенство

tg ,v>.v

^ 0 < A - < - ^ - | и

затем

подставляя

®k=

k Jt

л + Г ' П 0 Л У Ч И М

'

1

x-,

4

(П +

1)» '

Т ^

,

( * * - * v ) S

~

4

1

8

1

u=l

ft=l,3,...

Это и делается в работе Мультоппа.

Как видно из изложенного выше,

на основании такой

оценки

правой ча­

сти

неравенства (12.4)

сходимость

процесса

в

случае отрицательных В(х)

можно утверждать лишь при условии 7*<С -рГ-

Систему (11.9) можно записать и так:

KT=ÄT—W=f,

(12.20)

где f=(fu

fn),

а Я и А

обозначают

операции, задаваемые

соответственно матрицами (bvh)

и

(аѵк), причем

ow=bv, ссѵл=0

при ѵф-k.

Но, как доказано_выш_е, существует

обратная

опера­

ция Л' - 1

и, очевидно, / С - 1 / = /СсГ'/о-На

основании этого

равенства

и соотношения

(11.10) будем иметь

Щ -

г ,

і <

Щ

<

f f \ .

(,2.2,)

"

'"

mm b„ ^

n +

1 — 4X

4

'

С

другой

стороны,

согласно

оценке

(12.19)

имеем

т а к ж е 1 ) :

\ К й

\

^

А

0 п ,

^ 0 =const . Поэтому из формулы

(12.21)

получаем

Отсюда

следует, что

р Г І < Л * ,

Л * - c o n s t .

(12.22)

Следовательно,

нормы

||/С- 1 ||

ограничены.

! )

При

выполнении

условия (12.18)

правая

часть

неравенства

(12.17)

.имеет вид

2°. В дальнейшем нам будут нужны

некоторые

предложе­

ния

из теории

равномерного

приближения

функций,

заданных

на отрезке. Мы их сформулируем в виде лемм.

Класс

всех

функций

f(x),

заданных на

[—1, 1] и

удовлет­

воряющих

условию Гёльдера с данным показателем а ( 0 < а ^ 1),

обозначим

через Lip а.

Наименьшую

постоянную

Гёльдера для

f(x)

при данном

а

обозначим через

M[f;

а],

т. е. по

опреде­

лению,

M[f;a]=

sup

] f \ X

t ) ~ f l ^ ) { .

(12.23)

•ѵ.,.ѵ26[-І,1]

і*з— *іГ

Л е м м а

1. Пусть п — натуральное

число

a'^k=^-iг[^

По­

ложим

(.v=cosf})

s i n ( ? H -

l)ft

Sin^fe

cos

— COS Ъь

ft=l

I

"

Тогда

равномерно

на промежутке '[—1, 1]

Ы * ) < 8 - г - | - 1 п ( / г

+

1).

(12.24)

Эта лемма доказывается совершенно так же, как известная

теорема С. Н. Бернштейна, дающая

оценку ')

л

cos nu

. „'

,

4

,

1

I

„«.'

(2k— 1) ix

"

fc=i

cos

— cos

ftk

11

~'1

Л e M M a 2.

Пусть задана

функция

f (х)

класса

Lip а.

Пусть

для

любого

натурального

іі

имеется

алгебраический

полином

рп(х),

для

которого

|/ (x) -

Рп M l <

^

(А, = const).

(12.25)

Тогда

справедлива

оценка

ß]<^erß,

M[fn;

(12.26)

где

fn{x)=f[x)

— Рп(х),

ß — любое

положительное

число,

такое,

что 2 ß < a ,

А2 — константа, зависящая

от а и ß.

п

и на

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Зафиксируем

натуральное

основании

неравенства

(12.25) положим

(С. Н. Бернштейн [1];

см. также С. Б. Стечкин [Д])

U

(x) = / (x) -

Рп (x) = ^Uk

(x),

( 12.27)

ft=i

')

Доказательство

теоремы

С. Н. Бернштейна

см., например,

в книге

И. П. Натансона

[1], стр. 539—542.

Uк

(x)

= p2kn

(x)

—

pak-i„ (х).

Оценим

полином

Uh(x). В

силу

неравенства

(12.25) имеем

\Uk (х)\ <

(х) - / (х)\ +

\ p 2 k . i a

(x)

-

f (х)\<

А

А

А*

<

( 2 * ^ +

( 2 ^ t ) " = ( 2 * - ^ '

( 1 2 ' 2 S )

где

2 - 2 (ѵ - М ),Г 2 < h < 2 - 2 ѵ ; - 2 _

{ 1 2 3 0 )

fn(x)^Fi(x)+F2(x),

(12.31)

где

Fx (x) = 2 Uk (x),

F.t

(x)

= 2

(x).

fc=l ft=v+l

Очевидно, что

| Д / Л ( * ) І < І

|Д*£/*(*)І.

причем здесь использовано

обычно

употребляемое обозначение

| Д / Л (х)\ <ih\U'k(x

+ т \

< « S

(2"пГ max\Uk (х)| <

ft=l

fc=I

X

<2ЧІ

( 2 ^ ) 2

( 1 - р ) Л ; < 2 2

р Л ; / і ( 2 ѵ п ) 2 ( 1 - р > У 2 - 2 ( І - р ) А . (12.32)

ѵ - 1

2(1—ß)

у 2 - 2 ( l - ß ) fe ^

2 - u

fc=o

z

1

І^ЛНК^І-ѴДУѴ

(12.33)

Далее, в силу формулы (12.28) имеем

Д / Л М К 2

j ] т а х | £ / А ( х ) | < 2 Л С + і J] ( 2 E _ I n ) - 2 ß

=

ft=v+l

x

fe=v+l

оэ

=

2 2

Р + 1 Л ; + 1

( 2 v + 1 n ) - 2 ß S

2 - 2 ß f e .

(12.34)

ft=0

Но

согласно

левому

неравенству

(12.30)

(2v + I n)_ 2 P</iP. По­

этому, учитывая

еще (12.29), из формулы (12.34) получим

I Д / Л ( * ) І < 2

4

ß +

^ ' + p

(12.35)

Пусть теперь 4/г2 /г>1. Тогда в силу этого неравенства

и

оцен­

ки

(12.25), будем иметь

и, стало быть,

•\ь*Ш\<^£ь?-

(12.36)

Из соотношений

(12.33),

(12.35)

и

(12.36)

вытекает

оценка

(12.26), причем для Л 2

получаем: Л 2 = Л і Л 3 , где

A - т а х і а ^ - 1

^

1 " -

2 " " )

.

2 4 ß +

' ( l +

2 - ° )

Л з - т а х ^

, 22(і_р) _ j

2 2

P - l

Лемма доказана ' ) .

50). Пусть

функция

Л е м м а

3

(А. О. Гельфонд

[2], стр.

f(х),

заданная

на [—1, 1], имеет производную

порядка

ш,причем

fm(x)

<=Lip а ( 0 < а ^

1).

Тогда

для

любого

натурального

п

существует полином

р^(х)

порядка

не

выше

п,

для

которого

|Г> (x) -

(х)\ , - ^

і

—

(V =

0,

1, . . . , m;

-

1 <

х <

1),

где АІ — константа

(зависящая

от f и

m).

(12.37)

3°.j Обратимся теперь к вопросу сходимости

последователь­

ности (11.11).

Возвращаясь к уравнению (11.1), будем дополнительно счи­

тать, что отношение

ЧѵГ

( 1 2 - 3 8 )

удовлетворяет условию Гёльдера

на отрезке [—1, 1]. Мы бу­

дем подразумевать, что уравнение (11.1) имеет

при заданных

В и f решение, удовлетворяющее

всем поставленным в начале

ние это Т(х)

представимо в виде

Т(х)

=Уі

-х2у(х),

(12.39)

где у(.ѵ) удовлетворяет

условию Гёльдера

на

[—1, 1]. Условие

(11.2),

налагаемое

выше

на решение, заменим теперь более

сильным

условием,

а

именно:

потребуем, чтобы

производная

от у в представлении

(12.39) принадлежала

классу

Lip а ( 0 <

< а ^ 1 ) .

Введем в рассмотрение

линейное

пространство

Л'р заданных

на [—1, 1]

функций

Г(х)

вида Vl

— .v'Jу (.ѵ),

где

Y'(A-)<=Lip ß,

0 < ß s g ; l . Норму элемента

V(x)

определим

следующим

образом:

РТ!р= max

\у(х)\-'г

max \у' (х)\ -4- M [у'; ß],

(12.40)

А-6С—l.i]

-VC-E—i .1]

где М['{'\ ß] вычисляется по формуле (12.23).

Уравнение (11.1)

запишем в виде

KT=f.

(12.41)

Легко убедиться,

что /С —линейная операция,

действующая

в пространстве Х$ и переводящая его в пространство

всех не­

прерывных функций, определенных на [—1, 1].

В самом

деле,

полагая

Г(х) = У 1-х2

ч(х)

(Y(X)Œ.

Lip ß),

представим

левую

часть уравнения

(12.41)

в виде ')

-

ІМ \ g Z

g dt - 9 1 (

У <*> - Y ( ' ) ] dt.

(12.42)

Непрерывность предыдущего

выражения непосредственно сле­

дует

из

теоремы

Племеля — Привалова (см.,

например,

')

Здесь использовано равенство

1

dt

f

= 0

( - 1 < * < 1 ) .

it J

(г

я

Jj

/ — х

из соотношения

(12.42) получим1 )

причем

ІІЯГ|| . <Ш . ||Г||э,

(12.43)

. max

1

max

В(х)

^

т ѵ а х

2 ^ і і 7 3 і р г } - ( 1 2

- 4 4 )

I В дальнейшем

будем

считать,

что а

и

ß — фиксированные

положительные

числа, причем

ß

подобрано

из

условия

2 ß <

< а

(CKocsCl).

Введем

(для данного

л)2 ) множество

У всех

функций

вида

Рп{х)=Ѵ~1—х2Рп-і(х),

где

рп-і(х)—полином

от

х

порядка

п—1,

и

будем

рассматривать

это

множество

как

линейное

подпространство

пространства

С. Определим

на

У

линейную

операцию сро, полагая для

P „ G F

Ф 0 Р п

=

(Рп

(лі),

. . . , Ра(х„)),

xk

=

cos ~ - l

(Ä =

1, 2

n).

Очевидно,

чтофо

осуществляет

изоморфное

отображение

У на

А', причем для обратной операции

имеем

- I t

п

й +1

sin (я - f 1) ftsin ftA

^ , 2 ( - 0

cos ft — cosfti,

фо Е =

Ê =

(Êi, . . . , | Л ) 6 Х .

Операция

фо- 1 ' — линейная

операция

в А'. В самом

деле,

ho fell

8 + ^

In (л +

1)

Следовательно,

ill

^ n ,

4

(12.45)

І І Ф П < 8 + ^ 1 п ( я + 1 ) .

') Функцию КГ мы считаем элементом

пространства

С. Поэтому под

\\КГ\\ подразумевается max |/<Т| на [—1, 1].

ках хк\ для

і / ( і ) е С

полагаем

Очевидно, что

ф£/= (#(*,), ... ,

у(хп)).

ІІФІІ =

1.

(12.46)

уравнения

(12.1),

Пусть теперь Г(х) —решение

Т{х) =

=У1 — X 2

*{{х),

"f'(,v)(=Lip а. Построим

согласно лемме

3 после­

довательность полиномов ^п-і(х),

для

которых

\уМ

(X) -

YLv2. (Х)\ <

(v =

0,1).

(12.47)

Тогда, на основании леммы 2,

м

Wn,

ß] <

-

(X)

=

Y W -

Y«-i (*)•

1 1 Г - Г « 1 Ь < - А р .

ГЛ*)

= ] Л ~ ^ Ч - і ( * ) .

(12.48)

Пусть теперь Г ь

Г 0 обозначают

решения уравнения

(12.20)

при правых частях

фД'Г„

и ц>КГ соответственно. Стало

быть,

К Гх =

ф/СГ„,

]?Г0 = ф/СГ.

( 12.49)

Вычитая эти уравнения одно из другого, получим

К ( Г 0

- Г , )

= Ф / С ( Г - Г Я ) .

(12.50)

Отсюда следует:

_

J • \\ЩТ -

ІФо-'f0 -

фо-'rj < Іфр-1! • И / С 1

r j ß .

(12

.51)

Вспомним теперь, что формула механической квадратуры

(11.8)

точна, если она

применена к функциям

вида Тп(х).

Это

озна­

чает, что

_

/СфГ„ =

ф/(Гл .

В силу предыдущего и первого равенства

(12.49)

имеем

Отсюда следует,

что

ф Г п = Г і , и

поэтому, если

принять

также

во внимание равенство фГ п =фоГ п ,

получим

На основании этого равенства

будем иметь

Г -

ср^Г0

=

Г — Г„ +

«р^Гг -

щ%.

Оценивая

здесь

норму

(т. е.

максимум

модуля),

находим

[|Г -

ф^1 ГЛ <

[Г -

ГJ

+

ЦфГ" Гх

-

Ф о ' Г0||.

Из

этого

равенства,

в

силу

формул (12.51),

(12.48),

(12.47),

(12.45), (12.44)

и (12.22), получаем

окончательно

Ц Г - ф о ^ К - ^ Ь

(12.52)

где А — константа

(зависящая от ß и Г).

Это и

доказывает

сходимость

метода,

ибо фо~' Г0 — не

что

иное, как правая часть

формулы

(11.11) ') •

П р и м е ч а я п е. Как

видно из

приведенного доказательства, если

реше­

ние

(12.39)

таково,

что у(х)

имеет производную порядка

т + 1 , принадлежа­

щую

классу

Lip а, то быстрота

сходимости

приближенного решения к точно­

му будет определяться

неравенством

[ Г - ф о - ' Г о К ^ ^ ,

(12.53)

где

е — сколь угодно

малое

положительное число,

а

А—константа

(завися­

щая от е и Г).

i

i

2JT Ут=Т + е ^k{x,t)<p(t)dt=f(x),

(13.1)

- I

-

I

где ядро k(x,t)

и свободный

член f(t) —заданные на

отрезке

рентьев [ I ] , dauert [1], а также

гл. I I I и IV настоящей книги).

Мы

приведем способ

приближенного решения

уравнения

(13.1)

в предположении,

что оно

допускает (точное)

решение

' А. И. Каландіія

97

ных уравнений (Н. И. Мусхелишвили

[2]) может

быть

пред­

ставлено в виде

ф ( * ) = у т = | г '

( 1 3 - 2 )

где фо — ограниченная

функция на [—1, 1]. Подставим

выра­

жение (13.2) в уравнение (13.1) и введем,

как и в § 11, новую

переменную Ф равенством x=cos, v>

(£=C O S T ), О ^ - О ^ я . Тогда

уравнение (13.1) приведется к виду (для

функций

ф0 , f

остав­

ляем прежние обозначения)

я

я

ЯГ \cosV-ctU- +

2?Г \ k < c o s

c o s т

> ^

<т> dx =

f(b).

(13.3)

b

ô

„ о

2т — 1

,

,

s

хт = cos т}ш , г>,„ =

- 1 Г - к

(т =

1 , . . ., я).

тансон

[1], стр. 527)

1

,

cos ntf sin

.,

ь„1<Р0;х} = ± 1

( ~ ' ) ѵ + Чо( - ѵ ѵ )

c o

s ^ c o

s ; v

< * = « * * ) .

v = l

л

(13.4)

Заметим, что дробь в правой

части формулы (13.4)

пред­

ставляет собой при любом v четный тригонометрический

полином

порядка

^ / і — 1 .

Определив коэффициенты

этого

полинома

с помощью известных равенств

я

1

Г

cos nxdx

sin п&

, А

с,

n ,

.

v j

c o s x - c o s ^

= ж у

( о < * < " ; n = o , i , . . . ) f

запишем формулу (13.4) в виде

(13.5)

11

Ln [ф0; $

n

n 1

CPo (*v) ) .

= — 2

Ф° 2 c o s mi3'v c o s mi3' —;r 2

(P° W=

v - 1

m-0

v= l

( 1 3 6 )

На основании двух предыдущих равенств выводим квадрат­

ную формулу для особого интеграла:

1 Р

у

оЧ

cosmOvsitim*.

(13.7)

v = l

m=0

Эта формула точна всегда, когда

фоОО —полином от х

поряд­

ка

— 1.

(13.8)

справедливую всегда, когда

F(x)—полином

порядка

^ 2 « — 1 .

На основании ее будем иметь

1

п

~

Г k (x,

t) ер (t) dt = JL 2 k (cos Ъ, cos 0V ) фо (cos г%).

( 13.9)

_ i

v

= 1

Формулы (13.7) и (13.9) дают теперь возможность заменить

уравнение (13.1) системой линейных алгебраических

уравнений

относительно

приближенных

значений

искомой

функции в узло­

вых точках. После некоторых упрощений,

если

принять во

внимание

равенство

2 У

cosk%sink&m = ctg• m +

v

,

ft=i

эта система

примет вид

п.

2 «тѵфѵ =fm

(m =

1 , . . . ,

л),

(13.1Ü)

где

a

- v

= 2 T f i i ï ï V c t g ^ Ц г ^ + A

( c o s

c o s -ö-v)!-

(13.11)

Верхний

знак

берется в случае, когда

число

\т — ѵ|

нечетно,

а нижний — когда оно четно.

После

решения

системы

(13.10)

приближенное

решение

(13.1)

находится по формулам

(13.2) и

(13.4).

2°. Р е ш е н и е ,

о г р а н и ч е н н о е

н а о д н о м

к о н ц е .

В этом случае полагаем

Ф М - Ѵ Т й ^ М -

( 1

3 Л 2 )

щий

в выражение (13.1). Тогда,

как

и выше,

получится

квад­

ратурная формула ' ) ,

1

Г Ф (/) dt 1 — cos Ь V

о V

'

ч, •„

л,

1 V

о

ѵ=1

m=0

ѵ=1

(13.13)

7*

99