книги из ГПНТБ / Биргер И.А. Резьбовые соединения
.pdf(128) можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
àl4 |
, |
d*q , в |
|
|
|
|
|
|
|
(132) |
||
|
|
|
|
|
dx* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yo _ У |
. |
ß„ — Л . |
f |
—J- |
|
|
|
|
(133) |
||||
|
|
|
|
|
|
, |
PO— i , |
h— л • |
|
|
|
|
|
||||
Решение уравнения (132) можно представить с помощью нормальных |
фунда |
||||||||||||||||
ментальных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
</(*) = |
</ (0) Y, |
(X) + q' (0) Yt |
(x) + q" (0) Y, (x) + |
q"< (0) Ya |
(x) + Ф„ (x), (134) |
||||||||||||
где q(0), |
q'(0), |
q"(0) |
и q"'(Q) — |
постоянные, определяемые |
из |
граничных ус |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ловий в некотором |
сечении |
х = |
0; |
|
|||||||
|
|
|
|
Ф0 |
(х) — частное |
решение |
дифференциального |
уравне |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ния |
(132); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(135) |
|
|
|
|
O0(x)=JYt(x-S)f0{S) |
|
|
dS; |
|
|
|
|
||||||
|
Ya, |
Yu |
Y2, |
Ys — нормальные |
фундаментальные |
функции: |
|
||||||||||
|
|
|
M*)=-77i—~г ( v 2 c h |
V х |
- c |
h ѵлс); |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ц |
V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Л — V |
\ |
[A |
г |
V |
|
|
I |
' |
|
|
(136) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц 2 _ ѵ 3 (ch цд: — ch vje); |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
У 3 |
(*) |
Ц2 — |
Ѵ 2 \ ц |
sh [XX — - |
sh ѵх |
\, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(137) |
Эти функции |
связаны между собой рекуррентными |
соотношениями |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
d |
y0(x) |
= |
|
|
-^Y3(x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dxd_Yx (*) = K0 (*); |
|
|
|
|
|
|
|
(138) |
|||||
|
|
|
|
d_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx УМ-К,(д:)-ѵ„Ѵз |
|
W; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
TxYAx) |
= |
Yt{x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение давлений на стыке стержней от усилия затяжки. Рассмотрим два стержня длиной Ь (Ь — 2с), стянутых в центре болтом с усилием Q3 (см. рис. 68).
Предположим, что усилие Q3 приложено к стержням сосредоточенно (в более точном расчете можно учесть давления на стержни от гайки и головки болта).
Поместив начало координат под силой Q3 и рассматривая вследствие симмет рии лишь правую половину контактирующих стержней, получим для опре-
60
деления произвольных постоянных в уравнении (134) следующие краевые условия:
при |
* = |
0 |
<7'(0)= - i - 7oQ 3 ; |
q"'(0) |
= |
- ± M , ; J |
|
|||
при |
ж = |
/ |
g" (0 = 0; |
<7'"(0 = |
0. |
J |
|
|||
Отметим, что последние два условия в (139) связаны с отсутствием изгибаю |
||||||||||
щего момента |
и перерезывающей силы в этом сечении. |
записать |
|
|||||||
С учетом |
краевых условий |
(139) уравнение (134) |
можно |
|
||||||
V (*) = |
у QslЯ |
(0) Y0 |
(x)-y0Y1(x) |
+ q" |
(0) Y2 (x) + |
ß 0 K 3 (*)]. |
(140) |
|||
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' ( ) ~ І З Г ~ І Е Ж ; |
|
|
|
|
( 1 4 1 ) |
||||
|
|
|
|
Уо~ЧоУ* |
ßo^a + Yo^i |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
< ? " ( 0 ) - К о Д о К а |
[g (0) V W i l , |
|
|
|
|
(142) |
|||
где |
К0 , |
Кх, К2 , К3 — нормальные фундаментальные функции при х — |
I . |
||||||||||
|
Если пренебречь |
деформацией |
сдвига |
(у0 — 0), то |
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
j |
<2з ІЯ (0) П |
M + Ч" (0) |
M + |
ß<A'3 |
W J . |
|
|
(143) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?(0) = |
|
p |
; |
|
|
|
|
(144) |
|
|
|
|
|
|
|
V V |
Po |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, » ( 0 ) = |
_ І ^ І 1 _ І 1 _ . |
|
|
|
|
(145) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Po |
|
|
|
|
|
|
|
Протяженность зоны контакта |
может быть найдена |
(при |
Ь > |
20 |
из условия |
|||||||
|
|
|
|
|
|
9(0 = |
0 |
|
|
|
|
|
(146) |
и решения уравнений (140) или (143) по методу последовательных |
приближений. |
||||||||||||
Следует |
также учесть |
соотношение |
|
2тп |
|
|
|
|
|
(147) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t h m / t g n ^ ^ j j f - ^ , |
|
|
|
|
|
||||
где |
коэффициенты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ] / - ! |
V o + ] / { - ß o ; |
« = | / A | v o + ] / " | ß 0 . |
|
||||||||
b ^ |
Условие (146) реализуется для достаточно длинных |
стержней |
(Ь > |
20Если |
|||||||||
2/, |
то следует принять 21 = |
Ь и задача существенно упростится |
В этом слу- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
чае решение будет выражаться уравнением |
(140) и (143) |
при |
/ = с = |
у , |
а <70(с) = |
||||||||
= |
9(0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для длинных стержней (Ь- > |
20 при у = О |
J , |
|
|
|
|
(148) |
|||||
|
|
|
|
9 о ( 0 = ^ ) / ~ j |
ß„cth |
|
|
|
|
||||
в этом |
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
где
а - i / l ft _ - і 4 / ± Л _ і - . л . 1
Зависимость контактных давлений на стыке стержней от усилия затяжки (при % = ах) приведена на рис. 73.
Определение контактных давлений от внешней нагрузки. Расчет усилия в болте. Для нахождения контактных давлений на стыке используем ре шение уравнения (132) в виде (134).
Рис. 73. Зависимость контактных дав лений на стыке стержней от усилия затяжки (штриховая линия) и внеш ней нагрузки (сплошная линия) при
Q3 = 3200 кгс, Р = 800 кгс
Произвольные постоянные находим из условий, что в сечениях (см. рис. 71):
х = 0 |
Qiy = 0; |
|
|
,M = |
0; |
|
|
|
|
) |
|
|||
|
|
<iy — "> |
|
|
— "> |
|
|
|
|
(149) |
||||
х = х* |
Qiy = (~\)i |
|
Р\ |
М = — (— \)і р(Ь-х*) |
+ (— I)1 M |
(( = 1,2), |
||||||||
|
/ |
|||||||||||||
где |
X* — координата |
сечения, в котором давление на стыке q(x*) = |
0. |
|||||||||||
|
Краевые |
условия |
|
задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
при |
* = |
0 |
(i"(0) = |
0; |
q'"(Q)=Q, |
|
|
|
|
|
(150) |
|||
при |
х = х* |
q(x*)=0; |
|
q" (х*) = ß„ [M - Р (b-x*)\\ |
q'"(x*) |
= P$ |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
С учетом |
краевых |
условий |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
g (х) = |
<7 (0) Ѵ„ (X) + |
q' (0) У, (к) + |
Ф„ (X), |
|
(151) |
|||||
|
|
|
<?' (0) = /, (X*) Р + h |
(X*) Qn + fa(x*) |
M; j |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
q(0)=h(x*)P |
+ fb(x*)Qn |
+ U(x*)M; |
j |
|
(152) |
||||
Здесь |
|
fo(x*) = |
|
|
YI-Y3(Y1-yJ3); |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
h |
|
|
(b-x*)(Yx-y9Y,)+Y, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(Xe)-- |
|
fo (X*) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
h(x*)- |
|
Yt |
(Y* - У , М ) - |
(У? - Y o V f ) O'i -ѴоГ») |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
fo ( * * ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' i |
— ѴпУз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(153) |
|
|
|
f*(x*)- |
|
|
Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/»(**)• |
|
.Yt-VoYJ-U |
Y, |
(x')Y-, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
Vn. |
|
^2. |
|
— значения нормальных фундаментальных функций при |
||||||||
|
|
^о. Y*, |
Y*, |
Y* — то же, 'при х = х* — с. |
|
|
|
|
||||||
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В третьем соотношении (152) для упрощения принято, что усилие затяжки действует сосредоточенно в сечении х = с. Такое допущение вполне приемлемо, так как при достаточной толщине стержней характер приложения нагрузки лишь незначительно влияет на величину площади действия и интенсивность контактных давлении на стыке. Последнее подтверждается при тензометрировании фланцев.
В уточненном расчете можно принять (без существенного усложнения задачи), что давления от гайки и головки болта передаются на стержни через опорные
торцы |
и распределены |
равномерно или по некоторому определенному |
закону. |
В этом случае значение |
Ф0(х) следует вычислять по сотношению (134). |
|
|
В |
выражения (152) |
можно также ввести слагаемое, учитывающее |
реакцию |
от гайки и головки болта в результате поворота опорных поверхностей при из гибе.
Если пренебречь деформацией сдвига, то в формулах |
(150) — (153) |
следует |
|||||||||||||||||
принять у0 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя условие (125), для линейно-упругого контактного слоя можно за |
|||||||||||||||||||
писать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 7 ( c ) = y ( Q 3 - Q n |
) + <7o(c). |
|
|
|
|
(154) |
||||||||
Исключив из равенств (151) с помощью условия (154) неизвестное усилие |
Qn, |
||||||||||||||||||
получим |
|
|
Я (г) = |
Fn |
К0 (X) + F,К, |
(X) + F9V,(x-c), |
|
|
|
|
(155) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где Fj — функции |
|
х* и действующих сил |
(Р<у Р, |
Q3 и |
М)\ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Fn |
= U(x*)P |
+ h(x*)f,(x*\ |
|
|
P,)+f,(x*)M; |
] |
|
|
|
|
||||||||
|
fi |
= /i |
(x*)P |
+ |
h |
(**) U (**; |
P/)+U |
(X*) |
M\ |
|
|
|
(156) |
||||||
одесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qo (c) + |
y |
Q3 |
+ |
PVi |
(x*)~ |
M% |
(X*) |
|
|
|
|||
U(x*\ |
|
P/) = |
Q „ = |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
, |
|
(157) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
+ |
Vt(x*) |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
Vi — |
|
Vi (X*) |
Y0 |
lc) + |
ft |
(x*) Y, (c)}; J |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 W 5 |
(X*) |
K 0 |
(c) |
+ |
f2 |
(X*) \\ (c); |
|
|
|
|
|
(158) |
||||
|
|
|
V3 = |
-[h(x*) |
|
Y0(c) |
+ |
h(x*) |
K,(c)j. |
j |
|
|
|
|
|||||
Для определения величины х* по уравнению |
(155) |
можно |
принять, |
что при |
|||||||||||||||
X — X* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
<7(л-*) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
(159) |
|||
|
|
|
|
/r |
0 K„ = - ( F i y l + F3 K*). |
|
|
|
|
(160) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Уравнение (160) является трансцендентным и может быть приближенно ре |
|||||||||||||||||||
шено известными |
методами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Это уравнение |
можно |
привести к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
х* |
= Ф(х*; |
Q3; |
Р), |
|
|
|
|
|
(161) |
||||
удобному для |
решения итерационным методом по схеме |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
*f/ + |
,, = / ? ( * ( „ ) , |
|
|
|
|
|
(162) |
||||||
где R — оператор |
|
вычисления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В качестве нулевого приближения можно принять значение х*, |
определенное |
||||||||||||||||||
графически, или предположив грубо х* = Ь. |
|
|
|
|
|
|
х* |
||||||||||||
Повторяя |
процесс итераций |
несколько |
раз, |
можно получить |
значение |
||||||||||||||
с любой степенью |
точности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
63
Отметим, что условие (159) реализуется лишь для достаточно длинных стерж ней: * > X*. Если в процессе расчета окажется, что Ь < х*, то следует принять b — X*, и решение задачи значительно упростится.
Полное усилие в болте можно найти по формуле (157) или из уравнения рав новесия
|
Q„ = |
. P + $ |
q(x)dx. |
(163) |
Дополнительное усилие на болт от внешней нагрузки может быть вычислено |
||||
по формуле |
q0 W + |
|
PVi-QsVi-MVt, . |
|
Гб= |
5~ |
(164) |
||
Из формулы (164) вытекает, что усилие предварительной затяжки Q3 влияет |
||||
на величину дополнительной |
нагрузки на болт Рб, тогда |
как при расчете по по |
||
стоянной податливости дополнительная нагрузка на болт не зависит от усилия
предварительной |
затяжки. |
|
|
|
|
||
П р и м е р |
р а с ч е т а . |
Определим усилие в болте соединения двух прямо |
|||||
угольных |
пластин шириной |
а = 40 мм; Ь— |
136 мм; с = |
68 мм (см. рис. 68). |
|||
Пластины затянуты предварительно с усилием Qs и нагружены затем внеш |
|||||||
ней силон |
Р. |
|
|
|
|
|
|
Ввиду |
большой |
длины |
стержней |
деформацией сдвига |
можно пренебречь. |
||
В этом случае (у0 |
= |
Ори уравнение (132) будет иметь вид |
|
||||
|
|
|
|
d*q |
|
|
(165) |
|
|
|
|
dx* |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ßo. |
(160) |
|
Заменив независимую переменную к другой %, связанной с ней соотношением |
|||||||
£ = ах, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ . + |
4<7 = |
^ |
(167) |
Решение этого уравнения также можно представить в виде соотношения (134), но нормальные фундаментальные функции в нем изменятся:
K 0 ( ö - c h 6 c o e 6 ;
F x (£) = y ( c h £ s i n ê + sh!cosÊ);
(168)
!MS) = y s h £ s i n 5 ;
K3(£) = - ^ - ( c h Ê s i n Ê - s h & c o s | ) .
Соотношения (138) остаются справедливыми и в этом случае, необходимо лишь принять Yo = 0 и заменить величину ß0 на 4.
С учетом краевых условий (150)
q (І) = q (0) |
К0 (I) + q' |
(0) Kx (g) + |
Ф0 (g), |
( 169) |
9(0) = |
/ і ( І * ) Р + |
/б(Г)<2л; |
j |
(170) |
64
В соотношениях (170)
|
h a*) |
' |
(171) |
/4 (£*);= |
|
|
|
Ы Г ) = |
|
|
|
где F,- и К* — значения функций (168) соответственно при |
|
||
I = I* (x = я*) и I = 1* - |
Ê. (X = л: - с ) ; | й |
= ab. |
уси |
Исключая из равенства |
(170) с помощью соотношения (154) неизвестное |
||
лие Qn, получим
|
|
|
<7о <&c)+^Qs |
+ |
PaVi |
(I*) |
|
|
|
|
M £ * ) = Q « = |
|
(V) |
|
|
||
|
|
|
+ |
аѴ* |
|
|
||
где |
Vi |
(6*) — |
f/4 ( Г ) У0 (lc)+fl |
(I*) Уі ilc)]\ |
\ |
|||
|
||||||||
откуда |
Y 2 |
( Г ) = / 6 |
(I*) У0 (lc) + h (l*) |
Vi (le). |
J |
|||
g ß) = a [ F 0 y 0 ( ö + f i ^ i ffi) + V i |
( 6 - Ь ) Ь |
|||||||
здесь |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Fi^h(r)P |
+ h(l*)h(l*y. |
^3 = 4/, (I*) . |
J |
(172)
(173)
(174)
(175)
Неизвестную величину £* находим из условия q |
(|*) = 0 |
по |
уравнению |
||||||||||||
(174). Далее |
по формуле (172) можно вычислить полное усилие в болте |
Qn. |
|||||||||||||
|
|
|
10. Значения функций для расчета |
по уравнению (174) |
|
|
|||||||||
Функциу н к ц ия |
|
|
|
З н а ч е н и я |
функций |
при | * |
= ах* |
|
|
|
|||||
|
2,84 |
|
2.88 |
|
2,92 |
|
2.96 |
|
3,0 |
|
|
3,04 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
h |
|
0,661166 |
0,697978 |
0,728049 |
0,751931 |
0,770143 |
0,783177 |
||||||||
!; |
|
0,176431 |
0,167504 |
0,160465 |
0,155078 |
0,151125 |
0,148407 |
||||||||
|
0,657067 |
0,574954 |
0,498855 |
0,428472 |
0,363518 |
0,303716 |
|||||||||
|
—0,277662 |
—0,257755 |
—0,239950 |
—0,224083 |
—209995 |
—0,197536 |
|||||||||
h |
|
4458,06 |
4480,02 |
|
4493,13 |
|
4496,65 |
4489,95 |
4472,64 |
||||||
|
|
4762,01 |
5004,33 |
|
5254,19 |
|
5511,09 |
5774,31 |
6042,88 |
||||||
Pi + |
Fs |
—4043,38 |
—4525,76 |
—5028,99 |
—5550,98 |
—6088,96 |
—6639,61 |
||||||||
В табл. |
10 в качестве примера показан расчет усилия в болте по уравнению |
||||||||||||||
(174) для случая: Qg — 3200 кгс; |
Р = |
1000 кгс; tx = |
t2 |
= 18 мм (/; — толщина |
|||||||||||
стержня); |
J1 |
= 1г |
= |
9,72-103 |
мм*; Et— £ 3 |
= |
2-104 |
^кгс/мм2; |
\ 0 = |
0,16-10"4 |
|||||
мм.'кгс; а = |
0,04 |
ммт1; q0 (с) = |
69,79 |
кгс/мм. |
|
|
|
равной |
1,082х |
||||||
Податливость условного контактного слоя X принималась |
|||||||||||||||
ХІО 3 |
мм^/кгс (по данным экспериментального |
исследования). |
|
|
|
||||||||||
3 |
Бнргир, Иосилишіч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
||||
Уже при V |
— 2,96 (x* = 74 мм) расчет по уравнению (174) дает достаточно |
||||||||||||||
точное значение полного усилия в болте |
Qe — 4496,65 |
кгс (см. табл. |
10). Для |
||||||||||||
сравнения |
по уравнению |
(161) Qß = 4497,89. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На рис. 73 в качестве примера показано изменение |
|
контактных давлений на |
|||||||||||||
стыке двух стержней прямоугольного поперечного сечения 40 X |
18 мм, стянутых |
||||||||||||||
болтом М12 X 50. Характер изменения давлений согласуется с результатами тен- |
|||||||||||||||
зометрирования |
этого соединения |
(см. рис. 63). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отметим одно важное для практических |
расчетов |
|
обстоятельство. |
|
Решение |
||||||||||
подобных |
задач |
всегда |
удобно |
начинать |
со |
свободного от внешних |
|
нагрузок |
|||||||
|
|
|
|
|
конца |
стержня, |
двигаясь |
по |
на |
||||||
|
|
|
|
|
правлению |
к нагруженному |
концу. |
||||||||
|
|
|
|
|
Так, |
в |
данном примере, |
|
поместив |
||||||
|
|
Qn |
|
|
начало координат в ненагруженном |
||||||||||
|
|
'>>>>>>?>>>>)?>>?. |
конце стержня (см. рис. 71) |
и ис |
|||||||||||
V |
|
пользуя условие об отсутствии в |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
этом сечении изгибающих |
|
моментов |
||||||||
|
|
S S S S S S S S |
S S S s • S S S - S S S S |
и перерезывающих |
сил, удалось со |
||||||||||
|
|
|
|
|
кратить |
число неизвестных |
произ |
||||||||
|
|
|
|
|
вольных |
постоянных с четырех |
до |
||||||||
|
|
|
|
|
двух lq"(0) = q"'(0) = 0]. |
|
|
|
|||||||
Рис. 74. К применению нормальных фун |
|
|
Если |
же начало координат за |
|||||||||||
дано так, как показано на рис. 74, |
|||||||||||||||
даментальных функций обратного |
направ |
то |
целесообразно |
установить |
об |
||||||||||
|
|
ления |
|
|
ратный |
(по отношению |
к |
оси |
£) |
||||||
|
|
|
|
|
порядок расчета, начинать от на |
||||||||||
ружного конца и двигаться к внутреннему |
( | = 0). Это достигается |
заменой |
|||||||||||||
аргумента I на I/, — |. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отметим, что стержневая модель применима и для приближенного |
расчета |
||||||||||||||
соединений с кольцевыми контактирующими фланцами. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для |
более |
точного |
решения |
такой |
задачи |
необходимо рассмотреть |
задачу |
||||||||
об упругом контакте пластин. Последовательность расчета останется в этом слу чае такой же, как и в задаче для стержней. Однако расчет получается более трудо емким из-за усложнения дифференциального уравнения упругого контакта.
Отметим также, что описанный подход к расчету соединений с контактирую щими фланцами является весьма эффективным, так как расчетная схема отражает основные особенности работы фланцевых соединений. Для развития расчетов, основанных на подобных контактных задачах, требует уточнения вопрос об опре делении податливости условного контактного слоя.
6.РАСЧЕТ БОЛТОВ ДЛЯ ЖЕСТКИХ ПЛИТ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Расчет относится |
к болтам |
крепления |
фундаментных плит, кронштейнов |
|||
и т. п. (рис. 75). Если фундамент рассматривать как (линейное) |
упругое |
основа |
||||
ние, то под действием |
напряжений а± на поверхности |
стыка основание |
получает |
|||
осадку w, причем |
|
ax = kw, |
|
|
|
(176) |
|
|
|
|
|
||
где k — коэффициент |
жесткости |
основания |
(численно |
равный |
напряжению, ко |
|
торое действует на поверхности стыка при осадке в 1 см). Приближенно принимают
для бетона k = |
800 -*- 1200 кгс/см3, для кирпичной кладки k = 400 -*- 500 |
кгс/см3. |
||||
Излагаемое |
ниже решение можно использовать и для других |
податливых |
||||
оснований |
(упругих |
плит, несущих балок и т. п.), для которых справедлива за |
||||
висимость |
(176). |
|
|
|
|
|
Для упрощения |
принимаем, что стык и сечение болтов имеют плоскость сим |
|||||
метрии, в которой действуют внешние нагрузки (изгибающий момент Ми |
и растя |
|||||
гивающая |
сила |
Р). |
Предполагается, |
что первоначальная затяжка |
обеспечивает |
|
плотность стыка и что под действием |
внешней нагрузки плита получит смещение |
|||||
66
где ш0 — смещение точки О плиты, совпадающей с началом координат, ф — угол поворота. Дополнительное усилие в і-м болте
(177)
'о;
где Еоі, /0 ; и l0j — модуль упругости, площадь поперечного сечения и расчетная длина ('-го болта. Если стержень болта залит в бетон, то принимают І0І — -^- L,-,
где L; — длина болта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Напряжения |
на поверхности |
стыка |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 1 = |
to |
= fe(tt;o |
— №). |
(178) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следует |
отметить, |
что |
напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
растяжения на стыке по смыслу |
означают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
уменьшение |
первоначальных |
напряжений |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сжатия. Из |
условий равновесия |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
^ k (w0—yy) |
dFt |
+ |
|
|
|
|
|
X |
а- |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уi |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
3 |
|
|
|
|
|
^ |
k (w0 |
— y(f)ydFl |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
тжгj |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ^^fIti(Wl)-yw)yi |
|
= |
—Mu. |
(180) |
Р |
и с |
75 |
П л и т а н а у п р у |
г о м о с н |
о . |
||||
І = І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вании |
|
|
||
Если начало |
координат |
поместить в приведенном |
центре тяжести |
(т. О), |
то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ^ y d F 1 + ^ ^ h i y |
i ^ 0 . |
|
|
|
(181) |
||||||
В случае, когда модули упругости и длины болтов одинаковы, ось х проходит через центр тяжести стыка и сечений болтов. Этот случай наиболее распространен
на практике. |
|
|
|
|
|
|
|
При условии |
(181) из соотношений |
(179) |
и (180) |
получаем |
|||
|
|
|
|
|
Р |
|
(182) |
|
|
kF |
•+2 |
loi |
|||
|
|
|
|||||
|
|
Шо = |
|
|
|
Epifo, . |
|
|
|
|
|
|
і = і |
|
|
|
|
ф = - |
|
|
м„ |
|
(183) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k i l |
+ |
у |
ësfîsi у. |
|
|
|
|
|
|
4шт |
hi |
|
|
где Fx |
— площадь стыка; |
|
< = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
/t |
= \yidF1 |
— момент инерции |
стыка, |
|
|
||
|
Л |
|
|
|
|
|
|
С учетом равенства (177) находим напряжение в болте под действием внеш |
|||||||
ней нагрузки: |
с |
|
< d |
m |
(84) |
||
3* |
|
|
|
|
|
|
67 |
где
n F = kFt + У
'Ol
<= 1
В приближенных расчетах можно считать F « kFlt I « A/j. Полное напря жение в і-м болте
где о^' — напряжение первоначальной затяжки.
Напряжение на поверхности стыка от действия внешней нагрузки
|
|
|
|
°? = * ( - ? - - * 7 й ) . |
|
|
|
(186) |
||
и полное напряжение на стыке |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
o ^ a p |
+ |
at"). |
|
|
|
(187) |
|
При проектировании стыка и выборе первоначальной затяжки |
необходимо |
||||||||
обеспечить следующие условия: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1. Условие нераскрытия |
стыка |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
| ° 0 > | > * ( - £ - |
+ А , ^ ) ; |
|
|
(188) |
||
где |
I a^" |
I — абсолютная величина |
равномерно |
распределенного напряжения |
||||||
стыке. Это условие должно проверяться для точки А — наиболее |
удаленной точки |
|||||||||
на стороне растяжения |
(см. рис. 75). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. Наибольшее напряжение на стыке не должно превышать допустимой вели |
|||||||||
чины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I сті max |
I = |
I a(0) + A ( - J - - Ä 1 - A |
I |
ferler |
|
(189) |
||
|
Это условие должно проверяться для точки В — наиболее |
удаленной точки |
||||||||
на стороне сжатия. Допускаемое напряжение [асж] |
на поверхности стыка обычно |
|||||||||
принимают: 7—10 |
кгс/см2 |
для кирпичной |
кладки на известковом растворе; 15— |
|||||||
20 |
кгс/см2 — для |
кирпичной |
кладки на |
цементном |
растворе; |
10—15 |
кгс/смг — |
|||
для |
бетона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Наибольшее напряжение в болте не должно превышать допустимой величины
Вприближенных расчетах вместо формул (188) — (190) можно использовать зависимости
| О < 0 ) | >
(192)
< W x = ° f 4 ^ + £ * £ M P . |
(193) |
пп
где F0— 2 foi'> Л> = 2 ^ыУ}— суммарные площадь и момент инерции поперечных сечений болтов,
60
Величины / j и Fx |
принимают такими, чтобы удовлетворялись условия (191) |
и (192), а значения / 0 |
и F0 выбираются из условия прочности для болтов (193). |
Рис. 76. Эскизы крепления фундаментных болтов
Если в плоскости стыка действует усилие Т, уравновешиваемое силами тре ния, то напряжение на стыке от первоначальной затяжки выбирают из условия
liFi j о(0) j > T. |
(194) |
Необходимое напряжение затяжки
о ( 0 ) = |
! о ( 0 > | £ |
(195) |
|
і "1 |
|
При проектировании стыка и выборе первоначальной затяжки необходимо обеспечить условие плотности стыка, условия прочности болтов и материала основания.
Ja танка
Ja чеканка *N
m
Рис. 77. Эскизы крепления фундаментных бол тов зачеканкой
Описанный выше расчет относится к конструкциям с фундаментными болтами, заделываемыми наглухо. Наряду с глухими болтами с крюком на конце, показан ными на рас,76,широко применяются болты с приварными стержнями (рис. 77, а)
69