книги из ГПНТБ / Биргер И.А. Резьбовые соединения

Уравнение (358) и условие (359) могут быть записаны в виде неоднородного интегрального уравнения

Уравнение (360) решается методом последовательных приближений по схеме

ласти.

После получения новых значений параметров упругости проводится снова рас­ чет по уравнению (363) с этими новыми значениями параметров и т. д. до получе­ ния соответствия напряженного состояния и принятых параметров упругости

НО

Рис. 128. Модели резьбовых соединений для исследований оптическим методом:

112

Г л а в а VI.

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В РЕЗЬБОВЫХ СОЕДИНЕНИЯХ

1. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В РЕЗЬБЕ

Для расчета прочности резьбовых соединений, особенно при действии динами­ ческих нагрузок, необходимо знать не только распределение нагрузки по виткам, но и действительные напряжения в зонах концентрации — наиболее вероятных очагах разрушения. На рис. 132 показаны зоны концентрации напряжений в бол­ товом соединении.

Как было показано выше, на первом рабочем витке концентрируется большая часть рабочей нагрузки. Неравномерность распределения нагрузки между вит­ ками усугубляется концентрацией местных напряжений во впадинах резьбы от общего потока растяги­ вающих усилий и нагрузки на вит­ ки. В результате напряжения во впадине первого рабочего витка в несколько раз превышают нормаль­ ные растягивающие напряжения в поперечном сечении стержня болта, что существенно понижает устало­ стную прочность резьбовых соеди­

нений.

Теоретическое определение на­ пряженного состояния и концентра­ ции напряжений в резьбовом соеди­ нении представляет собой одну из труднейших математических и тех­ нических проблем, обусловленную

сложностью геометрической формы тел болта и гайки, а также граничных условий.

от осевой нагрузки на болт; ан — номинальное напряжение в стержне болта по резьбовой части; k' — теоретический коэффициент концентрации напряжений в растягиваемом стержне с кольцевыми выточками, приближенные значения кото­ рого можно получить по формуле Нейбера; ам — максимальное напряжение только от местной нагрузки на виток—клин.

114

Здесь Р — сосредоточенная нагрузка, приложенная к витку (клину) (рис. 133);

системы разностных уравнений, составленных вариационным методом для при­ ближенного выражения потенциальной энергии деформации.

Решение задачи удобно вести в перемещениях, так как граничные условия в напряжениях, затрудняющие обычно решение задачи, становятся «естественными» граничными условиями. Они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации.

Для составления разностных уравнений используем уравнение для потенциаль­

115

вариацию полной потенциальной энергии системы

(370)

Действительными перемещениями ѵ к w будут те перемещения, которые мини­ мизируют полную потенциальную энергию при любых виртуальных перемещениях 6Ч> и ow.

6,

а)

Рис. 134. Сеточная разметка (а) и напряженное состояние в резьбе (б)

Из уравнения (370) можно получить уравнения равновесия и граничные усло­ вия для плоской задачи. Следовательно, вариационная задача (370) может заме­ няться краевой задачей.

Для получения приближенного выражения уравнения (370) контур области аппроксимируется конечным числом прямолинейных отрезков. Область покрыва­ ется согласованной нерегулярной (регулярной) сеткой, состоящей из линий у = = const и г = const (см. рис. 134, а и рис. 135) так, что точки пересечения прямо­ угольной сетки совпадают с точками пересечения отрезков, аппроксимирующих контур. Кроме того, на область наносится дополнительная сетка, линии которой

116

(штриховые линии на рис. 135) проходят посредине основной сетки. Точки пере­ сечения линий основной сетки называют узлами, их номера обозначены цифрами на рис. 134, а. Подобласти, границы которых образованы контурными отрезками (линиями основной сетки) и линиями дополнительной сетки, называют ячейками. При этом каждая ячейка (на рис. 135, а, б заштрихована), содержит только одну узловую точку и может быть либо прямоугольником, либо треугольником.

Вариационную задачу (370), записанную для непрерывных переменных V (у, г) и w (у, г) заменим вариационной задачей для дискретных значений vt

"—г—*

6)

Рис. 135. Сеточная область

и Wi в 1-х узловых точках. Последнее достигается аппроксимацией полной потен­ циальной энергии для каждой ячейки параболической функцией от ч,- и а»,-, взятых в трех узловых точках, связанных с каждой ячейкой (см. рис. 135).

Рассмотрим типичную прямоугольную внутреннюю ячейку (заштрихована на рис. 135, а). Производные для смещений в такой ячейке заменим разностными выражениями «вперед»:

Предполагая, что функции и их производные постоянны в ячейке и, подстав­ ляя соотношения (371) в уравнение (370), запишем выражение для потенциальной энергии деформации элементарной ячейки 201 (см. рис. 135)

" * - - e h ( a ? ) , + - ( a i ? } , + - ( ! i c s a e ) +

117

Записав соотношения типа (372) для каждой из 12 ячеек, прилежащих к цент­ ральному (рис. 135, а) узлу 0, продифференцировав их отдельно по ѵ0 и w„ и про­ суммировав полученные выражения согласно равенствам (374), получим

Если исследуемая область очерчена кривыми или наклоненными к осям пря­ мыми линиями, то ячейки, прилегающие к контуру,будут иметь форму прямоуголь­ ного треугольника с одной узловой точкой (см. рис. 135, б). Выражение для потен­ циальной энергии деформации треугольной ячейки выводится так же, как и для прямоугольной. Смещения заменяются их приближенными значениями в узлах, а производные — выражениями

Однако процесс алгоритмизации существенно облегчается путем введения фик­ тивных и законтурных узлов. Типичный законтурный узел 5 показан на рис. 135,6.

турной ячеек).

С учетом указанных выше положений выражение для потенциальной энергии

118

Принимая во внимание соотношения (370), (372) и (377), из условия стационар­ ности получим разностные уравнения, связывающие смещения в некотором узле і с неизвестными смещениями в близлежащих узлах:

где р и q — соответственно количество узлов со смещениями ѵ и w, отличными от нуля.

Уравнения для типичного внутреннего узла 0 (см. рис. 135, а), полученные из условий (379), имеют вид

Нумеруя последовательно узлы и записывая уравнения (380), получим р + q линейных разностных уравнений, которые можно записать в матричной форме

Следует отметить, что А — сингулярная матрица, и решение не будет единст­ венным, если не известны три компонента перемещений: у; в двух точках и ОУ;В од­

Рассматриваемая задача является сложной и требует применения при решении сетки с весьма мелким шагом. Последнее существенно увеличивает число неизвест­ ных в уравнениях (381), которое даже в случае применения нерегулярной сетки

Настоящая задача решалась * на ЭЦВМ БЭСМ-4 с использованием в качестве подпрограммы программы для решения систем линейных алгебраических урав­ нений по методу квадратного корня. Подпрограмма ограничивала количество внут­ ренних узлов сеточной области і < 130. Поэтому при расчете напряженного сооо-

Расчеты выполнены И. В . Рокитянской .

119