книги из ГПНТБ / Зелкин Е.Г. Линзовые антенны

3.1. Двупреломляющая диэлектрическая линза

Вернемся к линзе, рассмотренной в § 2.8, и найдем функцию 6(a), удовлетворяющую условию синусов.

Приняв за единицу длины фокусное расстояние, условие синусов запишем в виде:

Подставим (3.1) в (2.45). Выражение (2.45) можно за­

Это уравнение определяет 0 как функцию г и а, обеспе­ чивающую отсутствие в линзе комы.

Таким образом, уравнение первой преломляющей по­ верхности линзы r=/'(a ) получается в результате реше­ ния системы двух уравнений (2.43) и (3.2). Координаты второй преломляющей поверхности определяются форму­ лами (2.44) и (3.1).

Уравнение (2.43) представляет собою обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относи­ тельно г (а). Оно не проинтегрировано до конца для про­ извольного значения п. В настоящее время известно лишь одно точное решение при /г——1, т. е. для случая двухзеркальной системы (см. § 8.2). В том случае, когда п принимает другие значения, уравнение (2.43) интегри­ руется лишь численно.

Предварительно целесообразно найти область значе­ ний функции г (а), определяемых системой (2.43) и (3.2). Используя уравнение (3.2), можно записать следующее неравенство:

70

торая оптимальная интегральная кривая, определяющая апланатическую линзу с максимальным раскрывом при заданном фокусном расстоянии, толщине и показателе

нять за начальные условия для интегрирования уравне­ ний (2.43) и (3.2).

Таким образом, для уравнения (2.43) поставлена за­ дача Коши. Решение уравнения г (а) находят численным методом.

Следует отметить, что для любой апланатической линзы можно получить простое соотношение, связываю­ щее между собой параметры линзы: размер раскрыва, толщину, фокусное расстояние и коэффициент прелом­ ления. Так как для линзы удовлетворяется условие си­ нусов, то расстояние от фокуса до края линзы равно /, а размер раскрыва будет равен

Поэтому, записывая условие равенства оптических путей для центрального и крайнего лучей (рис. 2.13), полу­ чаем

откуда следует, что

cos GCO=1 — (я—l)t/f,

71

дачей. Поэтому целесообразно рассмотреть ряд прибли­ женных способов построения профиля апланатов.

3.2. Плоско-выпуклая линза

Оказывается, что линза, изготовленная из диэлектри­ ка с показателем преломления п=1,6, у которой первая поверхность плоская, а вторая выбрана исходя из усло­ вия фокусировки, приближенно удовлетворяет условию синусов. Чтобы убедиться в этом, выведем сначала урав­ нение второй поверхности линзы, полагая, что первая поверхность плоская, перпендикулярная оси X (рис. 3.1). Непосредственно из рис. 3.1 видно, что

л' я — cos arcsin I — - — J

72

С учетом (3.13) и (3.14) выражение (3.11) можно пере­ писать в виде:

полняется приближенно, но с достаточной точностью, и потому плоско-выпуклую линзу, вторая поверхность ко­

Для других значений п плоско-выпуклая линза не обес­ печивает широкоугольного качания луча. Поэтому про­ филь апланата в этих случаях приходится определять другим приближенным способом.

73

i

Следует отметить, что профиль плоско-выпуклой аплаиатической линзы (п = 1,618) при F=\—2 довольно близок к дуге окружности. Поэтому приближенно такую линзу можно построить по заданным / и D: провести окружность радиуса / и установить хорду D.

3.3. Графоаналитический метод построения профиля апланатических линз

В работе [21] Н. Г. Пономарев предложил оригиналь­ ный графоаналитический способ построения апланатиче­ ских зеркальных и линзовых антенн.

Как известно (см. гл. 1), геометрический смысл условия синусов заключается в следующем: продолжение лучей, выходящих из точ­ ки F, и лучей, выходящих из линзы параллельно оси X, будут пере­ секаться па окружности с центром в точке F и радиусом, равным /.

Рис. 3.2. К построению профиля аплаиатической линзы графо­ аналитическим методом.

Расчет аплаиатической линзы по методу Пономарева начинается с построения вышеуказанной окружности. Задаваясь фокусным расстоянием /, строят окружность радиуса f с центром в точке F. Затем проводят два се-

74

мейства лучей, падающих из фокуса, и соответствующих

щем луче выбираются точки А и В. Для п>\ точка А лежит внутри окружности, а В вне ее. Для « < 1 обе точки должны лежать внутри окружности. В дальнейшем будем считать, что /г>1 и соответственно этому выби­ рается положение точек А и В. Точки А и В соединяются прямой линией. При этом ломаная FABD будет пред­ ставлять собой траекторию одного из лучей в искомой линзе (например, можно считать, что этот луч является крайним).

Коэффициент преломления в линзе считается извест­ ным, поэтому, используя законыпреломления, можно определить положение элементарных преломляющих поверхностей в точках Л и В, обеспечив заданную форму луча в виде ломаной FABD. Нетрудно определить, что углы падения (ЗА и р в в точках А и В соответственно равны:

А и В можно построить графическим методом. Рассмот­

ломляющей поверхности. Таким образом, положение эле­ ментарной преломляющей поверхности в точке А найде-

75

линзы ставится следующим образом: задаются величины а, а, п, требуется определить форму обеих поверхностей линзы. До сих пор эта задача точно не решена, не опре­ делена точная форма этих поверхностей и даже ие до­ казано их существование, однако разработано несколь­ ко способов 'приближенного решения этой задачи. Одним из простейших является метод Джента — Штернберга [22].

3.4.1. МЕТОД ДЖЕНТА—ШТЕРНБЕРГА

Рассмотрим сечение линзы плоскостью XY (рис. 3.3). Обозначим _крайние точки линзы на этой плоскости через {X, Y) и (X, —У). Для краткости будем в дальнейшем называть эти точки краями линзы, а лучи, проходящие через них, — крайними лучами. Такие лучи можно рас­ сматривать как лучи, проходящие через вершину приз-

Рис. 3.4. Преломление лучей на вершине линзы.

мы (рис. 3.4). Траектория крайнего луча целиком лежит в непреломляющей среде, кроме одной точки, в которой он терпит излом. Таким образом, оптическая длина край­ него луча от фокуса до соответствующего ему плоского фронта совпадает с геометрической длиной. Через каж­ дую крайнюю точку проходят два крайних луча. Если заданы величины а и а, то можно записать уравнение, выражающее равенство длин крайних лучей, проходящих через разные края линзы от одного фокуса до соответ­ ствующего плоского фронта. В силу симметрии относи­ тельно, оси X два уравнения выродятся в одно. Это урав­ нение будет представлять собой аналитическую записи

78

некоторой кривой, лежащей в плоскости X, Y и являю­ щейся геометрическим местом краевых точек линз, опре­ деляемых параметрами а и а. Выведем уравнение этой кривой. Непосредственно из рис. 3.3 видно, что

П + Г 2 = 2 а / sin а.

Следовательно:

ri = a/sin a—у sin а и L = a/sin a + (с—х) cos a.

Решим это уравнение сначала относительно х, а за­ тем полученное выражение подставим в (3.21). При этом получим:

ф —Уa? cosec2 а — (L — с cos a — a cosec a)2 sec4 a,

79