книги из ГПНТБ / Зелкин Е.Г. Линзовые антенны

Определяя из (8.17) sin а и cos а, получаем:

г„ = г ± й / / 1 + 2 ' 2 ( Р ) == г =t 2a ] / Т ^ 7 / ( 1 +

(8.19)

Пользуясь этими формулами, можно построить обе параллельные поверхности МВЛ.

8.1.5. РАСЧЕТ МВЛ М Е Т О Д О М ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЛИНЗЫ ИЗ Н Е О Д Н О Р О Д Н О Г О ДИЭЛЕКТРИКА

Выше мы отмечали, что для расчета поверхности МВЛ можно воспользоваться методом, основанным на адекватности МВЛ плоским линзам из неоднородного диэлектрика.

В этом подпараграфе этот вопрос будет рассмотрен несколько подробней. В качестве эквивалентной диэлек­ трической линзы возьмем линзу, обладающую централь­ ной симметрией, для которой эквивалентность просма­ тривается наиболее наглядно.

Рассмотрим рис. 8.3Д б. На первом из них изобра­ жен ход лучей в диэлектрической линзе, а на втором —

лярную систему координат (г, ср), а для системы парал­ лельных поверхностей — цилиндрическую систему коор-

240

динат (р, z). Примем наружные радиусы обеих си­ стем одинаковыми, равными единице. Установим закон

Рис. 8.3. К расчету МВЛ методом эквивалентной диэлектрической линзы.

Перемещению MN вдоль луча в системе а соответст­ вует изменение оптического пути:

а перемещению M'N' вдоль луча в системе б соответст­ вует оптический путь:

Эквивалентность точек М и М', N и N' означает, что

4s=ds', т. е.

пЧг + /гтW = (У 1 + (dzjd?)2 dp2 + ?Щ\

Это равенство должно выполняться при любых переме­ щениях (dr, d<$) и (dp, dty) и во всех точках обеих си­ стем. Из симметрии систем ясно, что

(8.20)

241

и что радиус-вектор р зависит только от г, но не от ср. Следовательно, должны выполняться следующие ра­ венства:

Соотношения (8.20) и (8.21) устанавливают соответствия между координатами эквивалентных точек систем а и б (рис. 8.3), а равенство (8.22) представляет собой диф­ ференциальное соотношение, связывающее п.(г) и 2 (р).

Если задана диэлектрическая линза с коэффициентом преломления п(г), то, согласно (8.22), для z получается дифференциальное уравнение:

р

Здесь необходимо выразить /г(г) и г в функции р в соот­

242

вытекающего из (8.21) и (8.22). Интегрируя, получаем зависимость от р:

р

Коэффициент преломления теперь можно определить

линию в системе б, обладающей тем же экстремальным свойством.

Следовательно, геодезическая линия на средней по­

Здесь через dl обозначена геометрическая длина, а че­ рез ds = ndl — оптическая длина элемента дуги.

Поскольку углы р и р' определяют направление пря­ молинейных лучей ВС и В'С', являющихся продолже­ нием лучей АВ и А'В' в свободном пространстве до пере­ сечения с линиями MN и M'N' (раскрывов линз), равен­ ство этих углов обеспечивает совпадение дальнейших направлений этих лучей, и если луч АВ перпендикулярен

не только для точек А и В иа периферии линз, но и для произвольных эквивалентных точек.

243

8.1.6. МОДИФИЦИРОВАННАЯ МВЛ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ

Рассчитаем МВЛ, эквивалентную модифицированной линзе Люнеберга, коэффициент преломления которой, как показано в § 4.3, равен

методом, изложенным в предыдущем параграфе. • Вычислим для этого случая подынтегральное выра­

жение (8.24). Значение / в функции р можно найти из следующего соотношения:

Знак перед корнями выбран из условия, что всегда Osg;

мы снова придем к табличному интегралу (8.15'):

Отличаются (8.31) и (8.15) лишь значениями q и &у со­ ответственно.

При Ъ = \, т. е. когда i ? i = l , оба интеграла, как и следовало ожидать, полностью совпадают. Вычисляя интеграл (8.31), получаем

244

ницы, следовательно, средняя поверхность модифициро­ ванной линзы всегда выше средней поверхности МВЛ, рассчитанной по формуле (8.16).

Облучатель линзы располагается в точке с коорди­

8.2. МВЛ с двумя изгибами (зеркальнорупорная антенна)

8.2.1. РАСЧЕТ Ф О Р М Ы ЗЕРКАЛ

Выше (в гл. 6) указывалось на возможность созда­ ния металловоздушной линзовой антенной системы, сво­ бодной от комы и сферической аберрации, по аналогии с двухзеркальной системой Шваршлильда. Действитель­ но, теория Шварцшильда рассматривает систему двух зеркал, свободную от сферической аберрации и комы. Так как изгибы параллельных поверхностей ведут себя подобно зеркалам, то к ним применим метод расчета зеркал Шварцшильда. Поэтому, если выполнить парал­ лельные поверхности с двумя изгибами, форма которых будет рассчитана аналогично расчету формы зеркал Шварцшильда, то мы должны получить апланатическую

245

МВЛ. В литературе такую антенну еще называют зеркально-рупорной антенной.

Приведем кратко основные выводы теории Шварцшильда [32]. Поскольку система зеркал Шварцшильда свободна от сфериче­ ской аберрации и комы, для нее должны выполняться два требуемых

где d — некоторая постоянная. Второе условие — условие синусов— можно записать в виде: y'/sina = f.

Положим / равным единице, т. е. потребуем, чтобы

кривых обоих зеркал таким образом, чтобы они удовлетворяли обоим этим условиям. Обозначим еще через |3, у углы между лучом и нор­ малями к зеркалам.

246

Проведем касательную ко второму зеркалу в точке М. Тогда, как известно, длина подкасателыган АВ будет равна

AB=ydx/dy.

Кроме того, из треугольника непосредственно следует, что

АВ=ВМ tg<p=ytg ( а - Р ) .

Отсюда получаем соотношение, которому удовлетворяют координаты второго зеркала:

Его нетрудно преобразовать, пользуясь - соотношением (8.38) и; (8.39), в следующее выражение:

Исключим из этих уравнений р' и полученное выражение решим относительно lg р. В результате, согласно (8.41), получим следующее дифференциальное уравнение первого порядка для меридионального сечения большого зеркала:

1 dp a d - p + C O S 2 " ^

\ ( d - \ ) l + М 5^ + 1 = 6- .

Интегрирующим множителем этого уравнения является функция

[(d— lJg+llM" - " - 1 .

Следовательно,

л = с[ ( d - 1 ) |+1]-Vl*-i> + (1-1)/d.

Вернемся к первоначальным переменным а и р. При этом мы получим искомое уравнение для зеркала S в параметрическом виде:

-i/(rf-i)

1,р = (sin2 а 2). о + с (cos2 о/2) ^ d — sin2 -p-^/cos2 а/2

(8.45)

247

Найдем теперь форму зеркала S'. Из (8.42) и (8.43) после исключе­ ния р получим:

p' = rf — р sin2 а/2 + sin2 -|-cos2 -^-(1 — p2)/(rf — рsin2 а/2). (8.46)

Следовательно, согласно (8.33):

Этим задача в основном решена. Остается лишь определить по­ стоянные d и с, установив их связь с геометрическими размерами

зеркальной системы. Обозначим расстояние от малого зеркала до фокуса F через /. Тогда для луча, распространяющегося вдоль оси X,

а = 0 ,

248