книги из ГПНТБ / Зелкин Е.Г. Линзовые антенны

нию с длиной трубки, а размеры светящейся точки малы по сравнению с расстоянием, на котором наблюдается излучение. Несмотря на кажущееся различие, обе теории тесно связаны, дополняют друг друга и необходимы для расчета реальных оптических систем.

Непосредственный расчет оптических приборов и раз­ работка конструкции осуществляются обычно на основе законов геометрической оптики. Однако полное понима­ ние работы реальных оптических приборов невозможно без применения волновой оптики, поскольку геометриче­ ская является лишь первым приближением и, естествен­ но, не позволяет объяснить многие сложные и тонкие эффекты, наблюдаемые при прохождении света через оптическую систему. Последние требуют более тонкого исследования, которое можно осуществить только в рам­ ках физической оптики.

В технике сверхвысоких частот оказалось возможным применить метод геометрической оптики в том случае, когда мы имеем дело с колебаниями, имеющими длину волны, намного меньшую, чем размеры антенной систе­ мы. Поскольку в действительности длина волны X конеч­ ная величина, то это приближение тем лучше, чем боль­ ше размеры антенны. Применяя метод геометричской оптики к расчету линзовых антенн, необходимо ясно себе представлять пределы его применимости и, следователь­ но, пользоваться с уверенностью его результатами толь­ ко тогда, когда размеры раскрыва линзовых антенн мно­ го больше длины волны, и только в тех областях, где границы применимости геометрической оптики не нару­ шены.

В данной главе весьма кратко излагаются основные законы геометрической оптики, область их применения, некоторые положения теории аберраций и проявление их

вантеннах оптического типа.

1.1.Уравнение эйконала, волновые поверхности,

лучи. Теорема Якоби

Электромагнитные поля в неоднородных изотропных средах при отсутствии сторонних токов и зарядов опи­ сываются однородными уравнениями Максвелла. Среда характеризуется следующими основными параметрами: диэлектрической проницаемостью е, магнитной прони­ цаемостью |х и удельной проводимостью ст. В общем слу-

12

чае е, ц. и о являются функциями координат точек про­ странства. Однако в дальнейшем будем изучать лишь непроводящие и немагнитные среды, а следовательно, полагать ст = 0, p, = ,uo, е = е(х, у, г). Для таких сред и для полей, гармонически меняющихся во времени, уравне­ ния Максвелла в дифференциальной форме имеют сле­ дующий вид:

Подставим это решение в уравнения (1.1). При этом после некоторых преобразований уравнения примут вид:

rot На + k 0 [grad LH0] + k 0 - f - E0 = 0,

Поскольку величина /с0 велика, то в (1.4) можно пренеб­ речь первыми слагаемыми по сравнению со вторыми и третьими, содержащими множитель Ко:

13

Аналогичные преобразования уравнений (1.2) после подстановки в них (1.3) приводят к следующим соотно­ шениям:

Раскрывая двойное векторное произведение и учитывая

ются приближенным решением уравнения (1.1) при ма­

очень плодотворным. Эйконал является функцией только координат, и не связан ни с длиною волны, ни со време­ нем.

Система линий, ортогональных к семейству эквифазных поверхностей, образует семейство лучей. Если фор­

Как известно, электромагнитная энергия распространяется в на­ правлении, перпендикулярном волновым фронтам, и лучам приписы­ вается направление, совпадающее в каждой точке с направлением усредненного вектора Умова — Пойнтинга.

Такое определение лучей справедливо лишь для изотропных сред. В анизотропной среде нормаль к волновому фронту в общем случае не совпадает по направлению с этим вектором.

И

Построив две бесконечно близкие волновые поверхности L=const и L+AL=const и обозначив расстояние между ними по нормали че­ рез As, имеем

As=AL/n, или ds=dL/n, nds=dL.

Эти соотношения показывают, что величина фазового сдвига между двумя волновыми поверхностями L и L+AL, измеренного по нормали к ним, равна геометрическому расстоянию, умноженному на показатель преломления. Эту величину в отличие от геометрического расстояния называют оптическим путем. Поскольку нигде не предпо­ лагалось, что /i=const, то все рассуждения применимы как к одно­ родным, так и неоднородным средам. При постоянном показателе преломления расстояние между двумя поверхностями равных фаз постоянно, а лучи представляют собой прямые линии. В случае пе­ ременного показателя преломления оптическая длина путей между двумя точками А и В будет определяться выражением

присваивают значение L = L 0 , причем строят ее, исходя из граничных условий. Во всех точках этой поверхности восстанавливают нормали, вдоль которых откладывают отрезки

так как энергия в таких средах распространяется вдоль лучей. Фазовая скорость иф направлена перпендикулярно эквифазной по­

Понятия лучей и волновых поверхностей в геометрической оптике вполне равноценны. Если построено семейство лучей или эквифазных поверхностей, то имеется представление о распространении энергии в данной среде.

Не следует забывать, однако, что уравнения (1.1) ре­ шены не строго, а найдено лишь приближенное решение при /с-->-оо. В уравнении (1.4) пренебрегли первыми сла-

15

гаемыми, которые предполагались заведомо малыми по сравнению со слагаемыми, содержащими Ко. Это нало­ жило определенные ограничения на полученное решение, поскольку такое приближение не везде справедливо.

Рассмотрим физическую сущность введенных ограни-

от геометрического хода лучей и возникают явления, по­ лучившие в оптике название дифракционных. Поверхно­ сти равных эйконалов деформируются, причем деформа­

ными координатами точки в пространстве. Полным ин­ тегралом такого уравнения будет решение, зависящее от трех произвольных постоянных а, а\, аг, причем одна из них входит аддитивно:

Общего приема для решения уравнения эйконала не существует. Иногда удается применить метод разделе­ ния переменных. Это возможно, когда решение

16

подставленное в (1.7), разбивает его на три независимых уравнения, в каждое из которых входит только одна пе­ ременная. Решение таких уравнений более просто, так

Траектории лучей в линзах могут быть найдены с по­ мощью теоремы Якоби, которую применительно к дан­ ному случаю можно сформулировать следующим обра­

и определяет соответствующее семейство лучей, завися­ щее от четырех произвольных постоянных.

Действительно, подставим (1.10) в (1.7) и продиффе­ ренцируем по параметру а,-:

2 g r a d Z . - g r a d ^ = 0 .

Отсюда следует, что векторы gradL нормальны векто­

зависящие от четырех параметров а\, а%, |3ь рЧ Варьируя эти параметры, получим все лучи в линзе. Поскольку уравнение эйконала, а следовательно, (1.13) и (1.14) инвариантны относительно преобразования координат, то теорема Якоби справедлива для любой системы криво­ линейных координат. Эта теорема нашла широкое при­ менение при расчете линз из неоднородного диэлек­ трика *.

1.2. Некоторые законы геометрической оптики

2. Луч падающий, преломленный и перпендикуляр, восстанов­ ленный к поверхности в точке падения, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления для двух данных оптических сред есть величина постоянная, равная относи­ тельному показателю преломления:

* Строгое доказательство теоремы приведено в [1].

18