книги из ГПНТБ / Зелкин Е.Г. Линзовые антенны

Теперь для решения поставленной задачи остаётся решить уравнение (5.2) относительно искомой функции n(R). Это уравнение точно совпадает с уже решенным уравнением (4.48), отличаясь от него только видом из­ вестной функции cp(/i). Поэтому, произведя аналогичные преобразования, получим его решение в следующем виде:

явном виде. Задавая функцию ф(//), исходя из условий задачи, мы можем па основании (5.3) найти р, а следо­ вательно, и n(R):

n(R)=p(R)IR.

Если функция cp(/i) такова, что интеграл может быть выражен аналитически, то n(R) определяется непосред­ ственно. Если же интеграл не берется, а решается толь­

1.70

В частном случае, когда не требуется рассеяние лу­ чей, т. е. лучи выходят параллельным пучком, имеем обычную линзу Люнеберга. Действительно, при р\» = 0 выражение (5.5) примет вид (4.59), откуда получается

Эта формула дает ошибку, меньшую 1%, если |3; не пре­ вышает я/10.

171

длл обычной линзы Люнеберга. Так, при (5,-= 18° п Ш я х = = 1,27, а при р.; = 6 2 , 3 ° п т а х = 1,03. При р*>62,3° коэффи­ циент преломления становится меньшим единицы снача­ ла в центральной части, а затем и во всей линзе, за исключением ее поверхности, где я всегда равен единице.

Найдем теперь распределение поля на раскрыве лин­ зы. Согласно закону сохранения энергии:

PP0(Ql)ml = Q(Q)dQ.

Для рассматриваемой линзы со столообразной диа­ граммой направленности p = Pf, .Po(9i)' = cos6b a 0 = 0i + + Pt sin 8i. Следовательно,

d9/d6i=l + piCOs9i и Q(6) =p 1 cos0 1 /(l + p; cose1 ).

На рис. 5.3 приведено амплитудное распределение Q(8), рассчитанное для линзы с Р; = 62,3°.

Если F(fi) задать в виде дельта-функции

F ( p ) = 6 ( p - p ' ) ,

то линза будет иметь конусообразную диаграмму на­ правленности. При этом

5.2. Широконаправленные линзы

Линзовые антенны в основном применяются в качест­ ве фокусирующих систем. Однако на примере линзы, рассмотренной в предыдущем параграфе, мы убедились, что некоторое видоизменение закона распределения ко­ эффициента преломления позволило получить более ши­ рокий луч или' даже диаграмму направленности специ­ альной формы.

Во многих случаях практики бывает необходимо со­ здать антенну с очень широкой диаграммой направлен­ ности (более 180°). Разработка антенн с такими диа­ граммами представляет большие трудности. Достаточно сказать, что открытый конец волновода излучает в сек­ торе 120—130°. Для расширения диаграммы приходится

172

прибегать к специальным мерам, например к использо­ ванию диэлектрических вставок в волноводе, суженном на конце. Однако все известные способы расширения диа­ грамм, как правило, ухудшают диапазонность антенны.

Поскольку желательно получить излучение в широ­ ком секторе, то естественно попытаться создать линзу с цилиндрическим или сферическим эквифазным раскрывом. При этом закон изменения коэффициента прелом­ ления внутри линзы может быть самым разнообразным.

Рассмотрим некоторые из таких линз.

5.2.1. ЛИНЗА С ЗАКОНОМ ИЗМЕНЕНИЯ /г = п1 (6)/Я

Рассчитаем широконаправленную линзу методом гео­ метрической оптики. В качестве исходного уравнения возьмем уравнение эйконала:

( V L ) 2 = n 2 .

Рассмотрим случай, когда n(R, 0)=ni(8)/i?. Такой закон изменения коэффициента преломления позволяет разделить переменные в уравнении эйконала п опреде­ лить искомую функцию rti (9).

Как и прежде, рассмотрим цилиндрическую линзу и ход лучей в плоскости Z=0 . Уравнение эйконала для данного случая можно записать так:

R* (dL/dR)- - f (дЬ/дву- = п\ (8).

Решение находим в виде

•L=f(R)+fiW),

поэтому

Я 7 " ( я ) + / ; а ( в ) = " ? (в).

Отсюда

а

/, (в) = 1 / " А ( 8 ) - Л 2 db.

173

Подставим полученные выражения в решение

Это уравнение можно решить относительно «i(0), если' задаться значением п в какой-нибудь точке и определить пределы изменения параметра h.

Для этого продифференцируем (5.6) по 0:

174

Рассмотрим лучи, выходящие из точки Л под углами

Запишем (5.7) в новых обозначениях:

л

"о

где ba = b/d, а /г изменяется от Os^/z^uo. Это уравнение типа Абеля и его решение имеет вид:

где Л =—ln(u/d)/jt.

175

Коэффициент преломления п раскрыве линзы зависит от выбора «i(0), а также от расположения фокуса в лин­

ше, чем больше величина d, т. е. чем дальше располо­

176

Формула (5.10) определяет связь между б п R при вы­ бранных значениях d и «i(0). Задавая h в пределах от «i(0) до 0, получаем траектории лучей, выходящих из фокуса под углами 9i от 0 до я/2.

На рис. 5.5 изображены траектории для двух случаев, когда d = 0,lb и d=0,3b. При d = 0,lb луч, выходящий из источника под углом 01 = 74°, выходит из линзы перпен­ дикулярно раскрыву под углом 8=180°, т. е. сектор из­ лучения источника расширяется линзой почти в 2,5 раза.

V

Рис. 5.5. Траектории лучен в широконаправлениой линзе.

Несколько большее расширение сектора получаем при увеличении d. Так, при d=0,3b луч, идущий из фокуса под углом 9i = 71°, выходит из линзы под тем же самым углом 9 = 180°.

Излучение в секторе 360° можно получить при d=0,l b, если за­ дать /1| (0) —4,3, однако при этом требуются большие коэффициенты преломления. Значение /Zi(0)=l,6 при том же d дает сектор лучей шириной 180°, причем крайний луч облучателя соответствует углу 0, = 52°.

5.2.2. ЛИНЗА ТИПА ЛИНЗЫ МИКАЭЛЯНА

В предыдущем параграфе нам удалось разделить переменные в уравнении эйконала благодаря специально выбранному закону изменения п, но это потребовало такой зависимости коэффициента преломления от R и 0, что практическое осуществление такой лиизы встречает некоторые трудности.

Метод конформных преобразований, изложенный в § 4.4, позво­ ляет рассчитать широконаправленные линзы, если известны основные

характеристики, такие как траектории лучен и коэффициенты пре­ ломления каких-нибудь линз, принятых в качестве исходных.

Рассмотрим сначала в качестве исходной линзу Микаэляна, лучи в которой выходят перпендикулярно раскрыву, совпадающему с пло­ скостью ZY. Для получения широкой диаграммы направленности лучи должны быть перпендикулярны окружности, а следовательно, такую линзу можно получить, если конформно преобразовать линей­ ный раскрыв в окружность. Основные свойства конформного преобразования: постоянство растяжений и сохранение углов обеспечат нам преобразование плоского фронта в цилиндрический и соответ­ ственно параллельного пучка лучей в расходящийся.

Воспользуемся по-прежнему дробно-линейной функцией

но задать три точки, то возьмем в качестве исходных три точки на

раскрыве:

2=i; 0; — i

и преобразуем их соответственно в точки, лежащие на окружности единичного радиуса:

K i = « i + i » i ; 1; Ui —

Коэффициенты /, in, и, обеспечивающие данное преобра­ зование, равны:

ll = l — Vt!([—Ы|), т =— 1.

Преобразующая функция

Формула (5.12) позволяет выразить х и у через новые координаты и и v.

Из формулы (5.13) видно, что ось у переходит в окруж: ность, описываемую уравнением « 2 + У 2 = 1 , что и требо­ валось при постановке задачи.

В линзе Микаэляна (имеющей толщину равную еди­ нице, коэффициент преломления определяется формулой:

п(у) =n(0)sch(nt//2).

178

Для сохранения постоянства пути в новой линзе коэф­ фициент преломления должен преобразовываться по формуле:

Траектории лучей в линзе Микаэляна единичного радиуса описываются уравнением (4.85). Подставив в не­ го (5.13) и (5.14), получим выражение, определяющее траектории лучей в широконаправлеиной линзе: