Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зелкин Е.Г. Линзовые антенны

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Полученные выШе решения соответствуют случай, когда коэффициент преломления на границе линзы ti(R)R=i=l, а фокусы находятся либо на поверхности линзы, либо вне ее. Позднее Браун [9] и Гутман [10] полу чили другие частные решения для случая, когда один фокус расположен внутри линзы, а другой в бесконечно-

сти. В литературе эту линзу		называют	модифицирован
ной линзой Люнеберга.
Более общие решения, охватывающие все рассмотрен
ные	случаи, были получены	Ди Франсиа [26] и Морга
ном	[7, 8].
	4.2.2. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ЛИНЗЫ		ЛЮНЕБЕРГА

Рассмотрим кратко решение Моргана. Вначале оста новимся на линзе с двумя внешними фокусами. Морган

показал, что линзы,		обладающие идеальной					фокусиров
кой, могут иметь не только					коэффициент преломления,
монотонно изменяющийся				от некоторого по до единицы
на	границе, но и различные другие					законы.		(а, 1),
	Он предположил, что на некотором интервале							(а, 1),
где	а ^ 1 , функция	p(R)		(a^R^l)		известна и		равна
некоторому P(R)		Для линзы с двумя внешними фо
кусами, когда Ri>\		и Ro>l,			интегральное		уравнение
имеет вид:
	•
	Г			=f(h) — F(h),				(4.62)
	J R V? ( # ) - л 2				w	w	x	'
	Rmin
где	f(h) определяется		по-прежнему			(4.48), a
			i
	F (A) =		f	- ' M R				(4.63)
	v	-	J rVp(R)-/I			J	K
			a

Интегральное уравнение (4.62) также является уравне нием типа Абеля, отличаясь от (4.48) только наличием в правой части функции F(h), которая предполагается известной, если задана величина P(R)-

Можно показать, что решение этого уравнения, если оно существует, является непрерывной возрастающей от 0 до 1 на интервале 0^R^.a функцией R.

120

Заменой переменных \nR =—Q(p) уравнение (4.62) сводится к виду:

решение которого будет

	[Q (р) -	О (1)] = {П'*.~-1р		dh,	(4.64)
		р
откуда следует, что
«(р)=4-ехр{<7(р, /?,) + ?(р,				R 2 ) - Q	( P ) } ;
					(4.65)
где
Р		"			(4.66)
					(4.66)
Решение Люнеберга получается как частный случай,
когда а = 1 , т. е. P(R)		задана только	на	границе	линзы.
Из (4.66)	находим, что в этом случае Q(p)=0 и				(4.65)
совпадает	с (4.57).
При наличии внешнего слоя с P(R)>\				функция Q(p),
определяемая (4.66),		удовлетворяет	неравенству

Как видно, коэффициент преломления в центральной части линзы будет всегда больше, чем в обычной линзе Люнеберга, для которой Q(p)=0. Следовательно, реше ние Люнеберга является частным и соответствует тому случаю, когда максимальное значение коэффициента преломления в центре линзы имеет наименьшее значение по сравнению со всеми возможными линзами с теми же самыми фокусами Ri=\, Rz = oo,

121

Функция P(R) не может быть задана произвольно: она должна быть выбрана так, чтобы лучи, проходящие

дважды	слой	a^R^		1 и		центральную					часть линзы
0^i/?=O2, преломлялись бы на границе линзы и фокуси
ровались бы в точке R2.					Рассмотрим,				какие условия сле
дует наложить на функцию P(R),								чтобы		это условие вы
полнялось.					(4.65)—монотонно
Поскольку		решение			(4.65)—монотонно						возрастаю
щая от 0 до 1 функция					на интервале Q<^.R<^.a, то долж
но выполняться			неравенство
Из (4.50)			dp/d/?>0,				0 < р <		1.		(4.68)
Из (4.50)
						' / * ( - £
Производная rfQ/dp, согласно							(4.64),		равна
		dQ			2		f ( l ) - F (
		dQ			2 л	(rf(i)-F(!)_,_
			1		(ft)		f (ft) I
		1	Г d	\F	(ft)	~	f (ft) I		dh	\
		"•"J	dh	I		ft	J	i	^ r	j r	}
Условие			?	теперь преобразовать							к виду
Условие	(4.68) можно			теперь преобразовать							к виду
/ О)—?		О)	j _1 Г		d •F (A) - f			(ft)		rfft
	\r\—f						ft

При p, близких к 1, второе слагаемое пренебрежимо ма ло, и это выражение будет удовлетворяться в том слу чае, когда числитель первого члена положителен, т. е. f ( l ) - F ( l ) > 0

или

0,5 (arcsin -_- 4- arcsin 4А^[

— r d R

(4 -б9)

Это выражение определяет функцию P(R), для кото рой существует решение интегрального уравнения (4.64). Подбирая на интервале (а, 1) различные P(R), удовлет воряющие этому условию, можно получить ряд различ

ных линз с одними и теми же фокусами.

122

На рис. 4.5 изображены кривые изменения коэффици ента преломления для различных линз с одними и теми же фокусами R i = l , l и R2=oo. Кривая / получена для обычной линзы Люнеберга, кривая 2 — для линзы с внеш ним однородным слоем от Д' = 0,8696 до R=l, с /г = 1,15 и, наконец, кривая 3 соответствует линзе с внешним не

однородным слоем от .г? = 0,7906 до R—1 с	n=l,6R.
В двух последних случаях при переходе от ядра	линзы

к внешнему слою коэффициент преломления не терпит

Рис. 4.5. Различные		законы		.		3	2	/
изменения	коэффициента						/	/
преломления в линзах			Лю				/	/
неберга с	вынесенным		фо				/	/
	кусом:						/
1 —.обычная	кусом:						'	/
1 —.обычная	линза Люнеберга;						'	/
2 — линза с	однородным		внеш				s	/
ним слоем;	3 — линза	с неодно
родным	внешним	слоем.
				0,2	OA	0,6	0,8	R

разрыва. Как видно из рисунка, в линзе Люнеберга без внешнего слоя коэффициент преломления минимален и изменяется от 1,36 в центре до 1 на краю.

Введение однородной внешней оболочки увеличивает коэффициент преломления в центре до 1,403, но умень

шает	пределы	изменения коэффициента		преломления.
При внешнем слое с n=l,6R			линза не имеет макси
мума коэффициента преломления в центре.
	4.2.3. МОДИФИЦИРОВАННАЯ		ЛИНЗА ЛЮНЕБЕРГА
Рассмотрим теперь случай, когда один фокус нахо
дится	внутри	линзы, т. е. Ri<l,	a R2>1.	Показатель

преломления этой линзы по-прежнему удовлетворяет ин

тегральному уравнению		(4.62),		где f(h)	определяется
той же формулой	(4.48), a 'F(h)			имеет несколько другой
вид:
F ( A ) = f	, Ш	+ Г		, h d R	•
J	R VРг (R) — Л 2		J	RVP*{R)—h?
a		ft

Общее решение интегрального уравнения аналогично ре шению для случая двух внешних фокусов и имеет вид


n(p)=a-iexp{<7(p, R$+q{p,		Ri)—Q{p)},
R(p)=p/n(p),	0 < р < 1 .

123

Это выражение отличается от (4.65) лишь видом функ ции Q(p):

			dR
Q ( P , = ^ a r		c t g ( ( / _ ! ^ _ )
	a
	I
Решение	существует	и в "данном	случае не для любой
функции	P(R). Условием наличия		решения	является не
равенство	(4.69). Подбором функции P(R),			удовлетво

ряющей этому неравенству, можно получить различные

частные	решения.
Так решение Брауна получается, если предположить,
что
	P(R)		= V		- г - Т ( 1 - Я ) ( Я - Я , ) Г 2 . '			(4-71)
где		а	у — некоторая положительная					величи
на. Функция Q(p) при этом принимает вид:									'
'	fR,	(1 +		W	Y + ^ 4 ( 1 - Р») +	Y	(1—/?,)»	V

Другое более простое решение для модифицирован ной линзы было дано Гутманом. Он получил выражение для коэффициента преломления линзы:

n = ]/l+R;

-R'lR,.

(4.73)

Это решение также является частным случаем общего решения, данного Морганом. Если задать

	Р (/?) = /?	+ а	д	,
то функция	Q (р) будет иметь вид:
Q ( P ) =	- L l n	2(1 + К Г ^ - )
Подставив	это выражение	в (4.65)	и	положив R2=oo,

придем к формуле (4.73).

124

Модифицированная линза Люнеберга позволяет ка чать луч в широком секторе углов. От обычной линзы она выгодно отличается тем, что имеет меньший радиус вращения облучателя, что очень важно для линз боль ших размеров. Однако здесь следует отметить некоторые особенности. Коэффициент преломления в модифициро ванной линзе обратно пропорционален фокусному рас стоянию Ri, поэтому во избежание больших значений коэффициента преломления в центре линзы следует огра ничить величину Ri. Максимально возможный радиус фокальной окружности будет равен

Кроме того, так как облучатель находится внутри лин зы, где коэффициент преломления заведомо больше еди ницы, требуются специальные меры для его согласова ния.

На		рис.	4.6	изображены			кривые n(R)	для		модифи
цированной			линзы с У?1 = 0,5				и R2—00. Кривая		/	соответ
ствует		решению Гутма
на, а		кривая 2 — линзе
с однородным				внешним
слоем		с п = 2 и R от			0,5
до	1.
	Линза,		рассчитан
ная	согласно			решению
Гутмана, имеет в цент
ре	п = 2,236,		далее		ко
эффициент			преломле
ния плавно			уменьшает
ся до единицы на гра
нице.			с	внешним		Рис. 4.6. Коэффициент			преломления
В линзе			с	внешним		в	модифицированной	линзе Люне
однородным			слоем		п		берга.
изменяется			от	2,351	в
центре		до двух		при R~Q,b.			Далее п остается			неизмен

ным. Недостаток этой линзы заключается в том, что

коэффициент	преломления резко меняется от	п=2
в линзе до /2=1 в свободном пространстве, что вызовет
нежелательные	отражения.

С решением Гутмана полностью совпадает решение Брауна, если положить у = 8.

125

4.2.4. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

Полученное выше строгое решение для обычной лин зы Люнеберга справедливо для всех значений Ri и Rz, однако найдено оно в параметрической форме и имеет простое выражение лишь для нескольких частных слу чаев.

С другой стороны, получить диэлектрик с заданным законом изменения коэффициента преломления очень трудно, и обычно прибегают к изготовлению линз из ди электрика с коэффициентом преломления, лишь прибли женно совпадающим с расчетным, а чаще всего к изго товлению линзы в виде слоистой конструкции, каждый слой которой имеет некоторый коэффициент преломле ния, изменяющийся от слоя к слою по заранее выбран ному закону.

В связи с этим наряду с поисками точных решений предпринимаются попытки для нахождения приближен ного значения коэффициента преломления в линзе с цен

тральной симметрией при любых значениях Ri					и R& зна
чительно	облегчающие расчет	линз.
Так, в работах [11, 12] дается			приближенное		значение
n = n(R)	в предположении, что		Rz>Ri^l,	в виде ряда
л (Я) = 1 + J - (1 _ Г)1'2		+ 1 L (1 -		3#2 )	+
			2#,

г д е р = ( 1 " l = RJRa, 0 < т < 1 .

На рис. 4.7 представлены кривые, выражающие зако ны изменения коэффициента преломления в линзе Лю

неберга и линзе	Максвелла в виде полного цилиндра
или сферы с Ri=l,	у = 1 , а также первое (кривая 2), вто

рое (кривая 3) и третье (кривая 4) приближения, вы ражающиеся соответственно двумя, тремя и четырьмя членами ряда (4.74).

Из рисунка видно, что второе и особенно третье при ближения достаточно хорошо совпадают с точным ре

шением	при всех значениях	R, за исключением области
вблизи	R = \. Действительно,	при R = \ лишь приближе-
126

ние первого	порядка дает /г(1) =		1, а второго и третьего
соответственно /г(1)<1		и / г ( 1 ) = о о . Однако участки кри
вых вблизи точки R=\		довольно легко скомпенсировать,
заменив их	отрезками	прямых	линий, касательными

п(К)

1,8

1,0			J	>	\\
					\\
0,6		OA a				\\
0	0,2	OA a	0,6		0,8
Щ
—					i
—
1.3					2
					2
					/
1,1			/		\ \\ \\	V
					\	\
						V
						\
	0.2	OA	0,6		0,8

Рис. 4.7. Сравнение точного решения (кривая 1) с прибли женными (кривые 2, 3, 4):

а — линза Максвелла; б— линза Лгонеберга.

к кривым и проходящими через точку R = l. Используя эту эмпирическую коррекцию, можно получить прибли

женные	значения п(R)	для всех	значений	параметров
# i и Rz,	которые вполне могут удовлетворять практиче
ским требованиям.
	4.2.5. ТРАЕКТОРИИ		ЛУЧЕЙ
Уравнение траекторий лучей,			выходящих	из	фокуса
С координатами Я о =1		и 0п = п, можно получить,			подста-

127

вив в выражение [4.41] найденное значение коэффициен та преломления [4.58]:

1 = « dr h

(2 — R2) — ft2

R Vl?

С помощью

подстановки

x=R2

интеграл

в правой части

сводится к

табличному:

— И X л Г

dxr

• \ j

=Ttr!r -s-arcsmX

Viz

— х2 -А=

2 КI -

(Д=2 — Л=)

/Л< (1 — Л

)

h(Rr — ft2) —

—

ft2)

—

или

s i n 2 9 _ f t

(fl2 — ft2) — (l - f t 2 )

V\-(&-v)4R*(\

=HF) _

R2 Y\ — ft2

Это уравнение легко упростить, если выразить постоян ную Клеро, согласно (4.11), через sin Qi:

Я2 ctg- 6, sin 20 = R- - sin2 0, - cos 0, У Ж - tf4-sin2 0,.

Освобождаясь от радикала и произведя некоторые пре образования, получим уравнение траектории лучей в по лярной системе координат:

Я2 —sin2	Oi—i?2 sin 20 ctg 0j sin2 04 —R2				cos2 Qi cos 20 = 0
или	R2=sin2		8i/( 1—cos 0i cos (20—0,)).			(4.75)

Задавая угол		выхода луча 0i (или h),			можно	найти R
как функцию		угла	0 или, наоборот, как Q(R).
Траекторию лучей можно рассчитать в декартовой
системе координат. Для этого предварительно						преобра
зуем (4.75) следующим				образом:
(R2—sin2	00IRZ		sin2 0i—sin 20 ctg 9i—ctg2 0i cos 20 = 0
или
R2—\—2R2sin20			ctg2 0i—2R2 sin 0 cos 0 ctg 0i = O.
Учитывая,	что x = RcosQ,			a y=R sin Q, можно		записать
	x2+y2{\		+ 2ctg2 0,) —2x«/ctg0,—1 = 0.			(4.76)

138

129

Траектория лучей в модифицированной линзе Люне берга может быть получена аналогично:

х- -\|- if (ctg 0, +		R) /sin2	6,) - 2ху ctg 8, -			R] =		0,	(4.77)
где Ri — фокус		линзы.
Уравнения (4.76) и (4.77) описывают							семейства эл
липсов, параметром которых является угол 0i.
Если	линза	имеет радиус,			равный	Ь,	то	уравнения
(4.76) и	(4.77)	примут	соответственно			вид:
	A-2 -2xf/ctgG,		+	у 2 (1 + 2 ctg2 6,) =			б2 ,
х* — 2ху ctg 8, + if (ctg2				8, +	R] /Ь2 sin2 8J		-	R\ =	0.

Эти уравнения показывают, что в обычной и модифици рованной линзах Люнеберга раскрыв используется пол ностью. Действительно, при 01 = л./2 уравнения упроща ются и траектория крайних лучей принимает вид окруж ностей, описываемых уравнениями: x2+y2=l, х2 + у2=Ь2 для линз с радиусами, равными единице и b соответст венно и для модифицированной линзы:

(b°[R])x* + ,f = b\

4.2.6. АМПЛИТУДНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В РАСКРЫВЕ ЛИНЗЫ

Для расчета диаграммы направленности необходимо знать либо распределение фаз и амплитуд в раскрыве, являющемся полуокруж ностью единичного радиуса между крайними лучами, либо эти же характеристики на прямой MN

(рис. 4.8).

В линзе Люнеберга лучи ортогональны линии А Ш , поэтому фаза па иен постоянна. Не теряя общности, примем ее равной нулю. Тогда в некоторой точке раскры ва С фаза будет равна

•ф= (2яДо) С С ' = = (2яД 0 ) ( 1 — cosG) .

Найдем распределение	мощности
на раскрыве линзы	Люнеберга

с фокусом на поверхности. Для этого рассмотрим два луча, выхо


дящие		под	углами 0\|		н	0i + rf0i.
Они	пересекают			раскрыв		в	точ	Рис. 4.8. К расчету амплитуд
ках	С	и D	соответственно.				Не
								ного распределения в раскрыве
трудно		показать,		что	полярный			линзы Люнеберга.

9-342

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20237.44 Mб14Зевин, Л. С. Количественный рентгенографический фазовый анализ.pdf
#
23.10.20235.83 Mб11Зезин В.Г. Эффективность применения в строительстве теплоизоляционных материалов.pdf
#
19.10.20233.58 Mб9Зелевинский, В. Г. Ядерное вращение и высокие вращательные состояния.pdf
#
19.10.20233.53 Mб10Зеленский, В. А. НОТ в проектных организациях.pdf
#
23.10.20237.68 Mб15Зелигер Н.Б. Основы передачи данных учеб. пособие.pdf
#
24.10.20239.22 Mб97Зелкин Е.Г. Линзовые антенны.pdf
#
23.10.20234.82 Mб54Зелонджев О.М. Монтаж вентиляторов и дымососов тепловых электростанций.pdf
#
22.10.202313.6 Mб15Зельвенский, Я. Д. Ректификация разбавленных растворов.pdf
#
19.10.20232.46 Mб12Зельцер, П. Н. Машинист грейдер-элеватора.pdf
#
25.10.202313.27 Mб30Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf
#
21.10.20239.35 Mб246Земляновский, Д. К. Общая лоция внутренних водных путей учеб. пособие.pdf