книги из ГПНТБ / Зелкин Е.Г. Линзовые антенны

следовательно,

С другой стороны, если задаться коэффициентом пре­ ломления п, то из (3.76) можно определить RQ (область фокусировки):

До=(иЯ)/2(/1—1).

При п>2 область фокусировки находится внутри линзы, а при 1</г<2 —вне линзы.

На рис. 3.13 изображены кривые, характеризующие зависимость коэффициента преломления п от угла 0! при четырех значениях С, когда фокус лежит на поверхности

циентом преломления отклонение фазового фронта от плоского было незначительным.

Как следует из (3.75), для каждого луча, выходяще­ го из линзы параллельно оси X, требуется свой коэффи­ циент преломления. Осуществить такую линзу принци­ пиально невозможно. Если потребовать, чтобы парал-

100

лельно оси X шел луч, выходящий из фокуса под некото­ рым заданным углом 6i, то коэффициент преломления линзы можно задать согласно (3.75). Для обеспечения параллельности лучей в параксиальной области коэффи­ циент преломления можно определить в соответствии с (3.76).

мы тем самым одновременно нарушаем условие парал­ лельности всех остальных лучей. Угол, образуемый эти­ ми лучами с осью X:

Рис. 3.14. Ординаты точек выходов лучей и отклонение длин опти­ ческих путей в плоском раскрыве шаровой линзы (С=1) .

101

При этом отклонения оптических длин лучей от фокуса до раскрыва относительно длины центрального луча можно рассчитать по формуле

AL/R= (1—cos Pi)—2п{\—cos pY) — —С (1 —cos 0( ) + [1 —cos (Pi — ]/cos \\>.

На рис. 3.14 приведены зависимости от угла Oi ординат точек выходов лучей и отклонения оптических длин лучей в плоском раскрыве линзы, имеющей радиус, равный единице, при различных ко­ эффициентах преломления. Облучатель расположен на поверхности линзы (С=1) .

Из рисунка видно, что раскрыв линзы используется неполностью. Действующий раскрыв составляет лишь 0,7—0,8 диаметра. Крайний

Минимальные фазовые искажения в центральном секторе, как это и следует из рис. 3.13, наблюдаются при коэффициенте прелом­ ления п=2. Этот сектор составляет всего лишь ±15°. В секторе ±23° отклонения в длине оптических путей различных лучей не пре­ вышают 6 • 10~3 R, а при больших углах они резко возрастают.

При l,9^/i<2 в центральном секторе фазовые искажения не­

ное значение коэффициента преломления, при котором фазовые иска­ жения минимальны во всем рабочем секторе, ге03,( = 1,92.

На рис. 3.15 изображены ординаты выхода лучей с плоского рас­ крыва и отклонения оптических длин путей для линз с различными коэффициентами преломления при положении облучателей на раз­ личных расстояниях от поверхности линзы.

Из рисунка видно, что действующий раскрыв составляет не бо­ лее 0,7 диаметра линзы. Минимальные отклонения, не превышающие

довательно, линза с ( О Д ) < 3 0 может быть применена для фокуси­ ровки лучей и качания диаграммы направленности в широком секто­ ре углов.

В ряде работ упоминается об экспериментальной проверке таких лииз. Так, в [25] приводятся некоторые характеристики линзовой антенны, состоящей из линзы диаметром 12,4Х, выполненной из ди­ электрика с п=1,56, и рупорного облучателя. На частоте f=9 375Mi4 получены следующие данные: усиление 29 дБ, ширина диаграммы направленности по уровню 3 дБ 5,6°, боковые лепестки 21,5 дБ. Эта линза отличается от рассматриваемой в следующей главе фокуси­ рующей линзы Люнеберга таких же размеров только несколько мень­ шим усилением.

103

Глава четвертая ЛИНЗЫ ИЗ НЕОДНОРОДНОГО ДИЭЛЕКТРИКА

До сих пор мы рассматривали линзы с постоянным коэффициентом преломления. Фокусирующие свойства этих линз обеспечивались специальным образом выбран­ ным профилем одной или обеих поверхностей. По суще­ ству они ничем не отличаются от линз, обычно применяе­ мых в оптике и, естественно, их расчет проводится по известным формулам геометрической оптики.

Перейдем теперь к рассмотрению линз с переменным коэффициентом преломления, зависящим от координат точек тела линзы. Траектория лучей внутри этих линз не будет прямолинейной, как в линзах из однородного диэлектрика, а будет иметь криволинейную форму, опре­ деляемую законом изменения коэффициента преломления. Формой поверхности линзы обычно задаются, исходя из требований практики; она не является здесь определяю­ щей, хотя от ее выбора зависит закон изменения коэф­ фициента преломления. Последний выбирается так, что­ бы обеспечить в раскрыве линзы требуемый синфазный фронт.

Линзы из неоднородного диэлектрика не нашли прак­ тического применения в оптике, так как для работы в оптическом диапазоне необходимо очень плавное, весь­ ма точно соответствующее расчетному значению измене­ ние коэффициента преломления. Практическое осущест­ вление таких линз встречает значительные трудности. Другое дело диапазон радиоволн. Сравнительно боль­ шая длина волны этого диапазона позволяет успешно выполнять линзы с коэффициентом преломления, при­ ближенно равным расчетному. Даже линзы, изготовлен­ ные из «слоеного» диэлектрика с постоянным коэффи­ циентом преломления в каждом слое, но меняющимся от слоя к слою по заданному закону, работают в радио­ диапазоне вполне удовлетворительно. Такие линзы можно практически осуществить.

Линзы из неоднородного диэлектрика можно изгото­ вить с самым различным законом изменения коэффици­ ента преломления. Имеется большая свобода при выборе

104

libpnTb разнообразным требованиям практики. Так, на­ пример, неискаженное качание диаграммы направленно­ сти в большом секторе в линзе из неоднородного ди­ электрика осуществляется значительно проще, а именно выбором специального закона изменения коэффициента преломления, а не формы поверхности, как в линзе из однородного диэлектрика.

В данной главе будут рассмотрены некоторые линзы из неоднородного диэлектрика: линзы Максвелла и Люнеберга, коэффициент преломления которых зависит только от радиального расстояния от центра линзы, линза Микаэляна или так "называемая линза «равной толщины», коэффициент преломления которой является функцией одной декартовой координаты, и др.

4.1.1. КОЭФФИЦИЕНТ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Рассмотрим линзу единичного радиуса и определим закон изменения коэффициента преломления, обеспечи­ вающий нужный, ход лучей. Поскольку линза обладает центральной симметрией, то она может быть либо сфе­ рической, либо цилиндрической формы в зависимости от требований к диаграмме направленности. Не теряя общ­ ности, можно рассмотреть ход лучей в какой-нибудь одной плоскости, например 2 =0 , поскольку в цилиндри-

105

ческой линзе все лучи лежат в плоскостях 2=const И картина хода лучей в них одинакова, а сферическая лин­ за может быть получена вращением этой плоскости во­ круг оси X. Задача сводится теперь к интегрированию уравнения, зависящего от двух переменных R и 0.

Одним из методов определения.хода лучей и коэффи­ циента преломления в линзе является решение уравне­ ния эйконала. Применительно к неоднородным линзам этот метод разработан Я. Ы. Фельдом и Л. С. Бененсоном в монографии [1]. Вследствие центральной симметрии коэффициент преломления п. зависит только от расстоя­ ния R, отсчитываемого от начала координат. Уравнение эйконала в этом случае принимает следующий вид:

Для нахождения полного интеграла этого уравнения воспользуемся методом разделения переменных. Пред­ ставим решение в виде

L=f(R)+fi(Q). (4.2) Подставляя (4.2) в (4.1), имеем

U'(R)?+[f'i(Q)IR]2=n2(R). ( 4.3) Это уравнение удовлетворяется при условии, что

здесь h — произвольная постоянная разделения перемен­ ных. Интегрируя выражение (4.4), находим:

Используя теорему Якоби, можно найти уравнение се­ мейства лучей. Для этого необходимо продифференциро­ вать выражение (4.6) по параметру h и приравнять ре­ зультат постоянной Pi:

1 06

Чтобы определить траектории лучей, даваемых урав­

янной величиной. Определим пределы изменения h. По­ скольку поле симметрично относительно оси X, то будем рассматривать лучи, выходящие из точки А под углами

107

здесь через ti\ обозначен коэффициент преломления па окружности единичного радиуса.

Вследствие симметрии задачи относительно оси У лучи должны собираться в фокусе В, лежащем на том же расстоянии от начала координат н имеющем координаты:

Ид

Интегрирование в выражении (4 . 15) производится вдоль луча от точки А до точки В, однако из-за полной симме­ трии задачи относительно оси Y можно разбить этот интеграл на два равных и рассматривать лишь интегри­ рование вдоль луча от точки В до точки С:

Это равенство удовлетворяется для любых лучей, если только h удовлетворяет условию (4.13), поэтому уравне­ ние (4.16) можно рассматривать в качестве уравнения,

В новых координатах уравнение (4.16) с учетом (4.17) примет вид

108

Но, согласно (4.18):

\\) = d{\\\R)ldR.

Следовательно:

J 2 Vh, (ft, - и)

Интеграл справа является табличным и легко вычисля­ ется:

\nR = i arccos \/ uju.

Подставляя значения и и Ui из (4.18) и произведя эле­ ментарные преобразования, получаем:

Из формулы видно, что коэффициент преломления в на­

для коэффициента преломления является решением по­ ставленной задачи определения коэффициента прелом­ ления в линзе Максвелла.

Линии равных значений коэффициентов преломления представляют собой концентрические окружности с ра­

Если примять коэффициент преломления на внешней поверхности линзы при R = l равным единице, то коэф­ фициент преломления в центре линзы будет равен двум.

4.1.2. ТРАЕКТОРИИ ЛУЧЕЙ

Цилиндрическая или сферическая линза, рассчитан­ ная таким образом, фокусирует пучок лучей, исходящих из произвольной точки на ее поверхности, в диаметраль-

109