книги из ГПНТБ / Евреинов Э.В. Цифровые автоматы с настраиваемой структурой (однородные среды)

этому

в оценку сложности реализации А Н С входят стои­

мость

элементарных

автоматов и стоимость

к а н а л о в . и

их отождествлений.

В нашем

случае

стоимость

к а н а л о в

и их отождествлений

может

быть

определена

общим

числом автоматов Рц.

Примем дл я простоты, что все автоматы

имеют оди­

томат,

реализующий з а д е р ж к у . В этом, случае сложность

L&.u.c(in,

п, k)—логической

сети, реализующей АНС ,

матов Л ь - . -As

и настроечных

автоматов

Pij.

Покажем,

что

если -т-\~ k — О

и

1 о

1 д

- ' 1 —>0, то

La.B.c

(Щ

п,

к ) ~ 2

hog

N(in,

п,

к).

П о к а ж е м

прежде

всего,

что

Ьй.а.с(т,

п,

k)^

!>21og2 iV(m, п,

k).

Пусть логическая

сеть реализующая

А Н С , содерх^ит

R

настроечных

автоматов

и

S эле­

ментарных

автоматов

А\,

так

что

о б щ а я сложность

M=R

+ S. Так

как по предположению

к а ж д ы й

элемен­

тарный

автомат имеет

дв а

входа

(всего

25 входов) и

к а ж д ы й

вход

элементарного

автомата

отождествляется

либо

с выходом

другого

элементарного

автомата

(всего

5 выходов), либо

с

выходом

настроечного

автомата

(всего R выходов),

либо

является

внешним

полюсом

сети

(всего

т

полюсов),

то 2S—R

+ S + m. Следователь ­

но,

S~R

и

M ~ 2 i ?

(R

имеет

порядок

2 т ) .

Оценим

теперь число

Q(R)

различных

операторов,

реализуемых

А Н С с R

настроечными

автоматами

Рц.'Т&к

как

к а ж д ы й

из автоматов

Pti

может

находиться

в двух

состояниях,

то общее число всевозможных настроек равно

2R

и, сле­

довательно,

Q(R)^2R.

Очевидно,

если

А Н С

реализует

все операторы

из

класса

Qm,n,h,

то

д о л ж н о

выполнять­

ся неравенство

Q(R)^N(rn,

п,

к),т.

е.R^log2N(in,п,k).

Следовательно, сложность Ьа.в.с(>п,

п, к)

А Н С , реализу ­

ющего все операторы из к л а с с а

Qm,

п, h,

можно

опреде­

лить

к а к

Ьл.н.с(>п,

п,

k)p>2\og2-N(m,

п,

к).

П о к а ж е м

теперь, как по-

строить

АНС ,

реализующий

любые

операторы

из

Qm,n,k

и имеющий сложность асим­

птотически

не

выше,

чем

2 \og z N(m , п,

к).

I

I

Р е а л и з а ц и я оператора

0 е

е В т , п , л

сводится

к реализа­

X

ции

(n + k)

булевых

функ­

т

ций от (m+k)

переменныхи

k з а д е р ж е к .

П о к а ж е м ,

что

Рис.

2-5. Схема блока

L(a).

можно построить схему, ко­

2 • 2 т + к

торая

содержит

асимптотически не более

элемен­

ствующей настройке

может

реализовать

любую

функ­

цию от (m + k)

переменных. Отсюда будет

следовать,

что

на реализацию

всех

функций

потребуется

2 (n + k)

•

2m+k

вующей

настройке

любой

оператор

б е б т . и . л .

асимпто­

тически

не

превосходит Ьал1Л(т,

п.,

k)^2(ti

+

k)2m+h+

+ k~\og2N(m,

п,

k).

Пусть

з а д а н а функция

f(xt).. .,хр)

от р

переменных.

Р а з л о ж и м

ее 'по д

первым

переменным:

f(x{,...,

Хр)=

\/

х^х^.-.х

X

менных, имеет вид рис. 2-5.

Блок А имеет q входов, 2"

выходов

и" реализует

2ч

конъюнкции

в и д а ^ 1 , .... ха "а . Сложность блока

A

L(A)<

.q2<i. Блок

В

имеет

(р

q)

входов,

2 Р " «

выходов

и

реализует 2

v

~

q

конъюнкции

вида

•

х

у р

Слож-

р

.

ность блока

В

L(B)<(p

—

q)2v~<i.

Б л о к

С

имеет 2^-я входов,

2ч выходов

и

реализует

функции

вида

ф ( о ь . . .,aq;

хч~\,..

.,xv).

К а ж д а я

из

функ ­

ций ф реализуется следующим образом

(рис. 2-6). Функ­

ция ф представляется

в

совершенной

дизъюнктивной

нормальной

форме (с. д. н. ф . ) :

К а ж д ы й

вход

блока С через настроечный

автомат по­

д а е т с я

на

вход

дизъюнктора

F,

в котором

осуществ ­

ляется

дизъюнкция

всех

входов.

При этом

в зависи­

мости

от

того,

входит

или

не

входит

конъюнкция

Xi+V' " " Л "рР в Р а з л

о ж е н и е

Д л я

Т. соответствующий на­

пропускать сигнал (выдавать

константу 0). Таким обра­

зом, на реализацию одной

функции ср требуется 1v~q

L

JL

Pi

Pz

P,e-g

V

1

Рис.

2-6. Схема блока с p2 входами.

Блок D имеет 2('-\~2(i

входов, 2'> выходов

и

реали­

зует умножение конъюнкции

д;*1 , x g

° 2

на

соответст­

вующую функцию ф((Ть.. .,aq;

xq+i,..

.,xv).

Б л о к D имеет сложность L(D)

= 2i.

Наконец,

блок F состоит из 2? элементарных

автома­

тов, реализующих дизъюнкцию . Таким

образом,

о б щ а я

сложность

L =

L{A)+L(B)+L(C)+L(D)+L(F)

=

= q-2i + (р—

q) 2Р-1 + 2-- 2? +

2?+

+ 2"= (<7 + 3)29+ (/7—<7)2 Р-З+2

-2р.

Полагая

q—J-f-^

(]/г[ — наибольшее

целое

число,

не большее

/г), получаем:

зуется из

клеток

ограниченного

числа типов Е\,..

.,ES.

Н а б о р всех отличных друг от

друга

(типов) клеток

тка­

ни будем

называть базисом

и

обозначать

{£,•}.

Легко

увидеть, что любая ткань G в пространстве

Н

.может

быть задана,

если

з а д а н ы

базис

{£,},

р а з м е щ а ю щ а я

функция F(G,

Н)

и коммутирующая

функция

K(G,

И).

Существует бесконечное

множество самых

различных

по своим

свойствам тканей.

Д л я

тканей

можно

ввести

стем [Л. 2-3].

П р е ж д е

всего представляют интерес ткани, которые

позволяют

реализовать

А Н С . Н а и б о л е е интересны ткани,

физическая

реализация

которых является простейшей.

реализации

необходимо

стремиться к

однородности.

В случае тканей необходимо стремиться к

минималь­

ному .количеству различных типов клеток

базиса

максимально возможной их простоте, к

.минимальной

сложности

размещающей

и коммутирующей

функции.

Обозначим через q мощность базиса {Е{},

через

г,- —

мощность

множества состояний настройки

клетки

Е\,

ляемых системой

уравнений:

x=x0

+ Ui

(7=0,

± 1 ,

± 2

. . . ) ;

y=y0y+jh

(7=0,

±1,

± 2 . . . ) .

В частности, при х0=0,

уо=0

число необходимых кон­

стант равно п= \

(h— константа) . Д л я оценки сложно ­

соб з а д а н и я функции. Д л я каждой клетки

будем

указы ­

вать полюсы клеток, с которыми отождествляются

полю­

сы данной клетки. Фактически для к а ж д о й

клетки

ткани

3*

35

может быть

з а д а н а

своя

коммутирующая

'функция К к.

В этом случае обозначим через

Р мощность

множества

коммутирующих

функции

К для

клеток данной ткани G.

Введем

т а к ж е пара-метр /,

оценивающий степень

«сосед­

ства», клеток, для которых задается

коммутирующая

функция

с данной

клеткой. Н а п р и м е р , в случае

размеще ­

ния ткани в

плоской

решетке (каждой

клетке

соответ­

ствует

параллелотоп

(квадрат)

при

/ = 1

для

клетки

задается коммутирующая функция с соседними

клетками.

Па рис. 2-7

одной звездочкой

(>|с) обозначены

клетки,

являющиеся

непосредственными

соседями данной

«летки

Рис.

2-7.

Схема задания коммутирующей

функции.

Ей что

соответствует / — 1 ,

двумя

з в е з д о ч к а м и ^ ^ )

обозначены

клетки, которые

расположены от данной

ных и

трехмерных

целочисленных

решеток.

2-4. О Ц Е Н К А С Л О Ж Н О С Т И Э Л Е М Е Н Т О В А Н С

И з

теории у п р а в л я ю щ и х

систем

[Л. 2-3] известно, что

всякая

у п р а в л я ю щ а я система

может быть

з а д а н а с .по­

мощью

графа

of

с конечным

или

счетным

множеством

вершин,

причем

в

к а ж д у ю

вершину

входит

(и

выходит)

конечное

число

ребер . К а ж д о й

вершине

г р а ф а

ставится

в соответствие

некоторый

объект

(например,

оператор,

конечный

автомат

и т. д . ), а

к а ж д о м у

ребру

ставится

в соответствие некоторая связь между

объектами

(на­

пример, канал

связи) . Рассмотрим

поэтому задачу

ото­

б р а ж е н и я на

ткани

геометрической

реализации

произ­

вольной схемы. Будем вначале

рассматривать г р а ф

cf

как геометрический

объект, не

о б р а щ а я

внимания

на

то,

обозначать

такой граф

. Д л я простоты

сначала рас­

смотрим двумерные тк-апн, .которые получаются

в резуль­

тате

разбиения

плоскости

на

квадраты,

заполняющие

плоскость без налеганий и просветов. В ы д е л и м

на

сторо­

нах

к в а д р а т а с

координатами

(i, /)

точки

cj,

с2 ,

с3 , с/х

(рис. 2-8,а).

Поставим в соответствие

к а ж д о м у

квадрату

клетку с четырьмя внешними

полюсами т а к и м ' о б р а з о м ,

J

1 °

сЛ(и)'

со

1 с*

(MJ)

а)

Рис. 2-8. Схема элемента iF.

что

к а ж д о й точке

с* (i=l,

2,

3,

4) соответствует

внеш­

ний

'(входной — выходной)

полюс

клетки,

а тело

клетки

наложено на квадрат . В соответствии

с п р а в и л а м и

ком­

позиции полюсы

клетки

(/,

/)

отождествляются

с

соот­

ветствующими полюсами клеток (i—1J),

( i + 1 , / ) ,

—1)

( р и с 2-8,a).

Так, полюс

C i

клетки

( i , / ) отождествляется с полюсом

с 2 «летки (i,

j—1),

полюс

с 3

«летки (i, j)

с полюсом с,

клетки (/ — \,\ ) и

т. д. Клетка

может

реализовать

функ­

ции соединения, которые можно представить в виде

гра­

ф а

с четырьмя

вершинами .

Д р у г и м и

словами,

з а д а ч а

отображения на

ткани геометрической р е а л и з а ц и и про­

извольной

схемы

сводится к отображению г р а ф а

3"

с конечным

или

счетным множеством вершин на ткань,

пли

только

выходят,

или не заходит и не выходит ни

одно

ребро,

то

через

данный

полюс

нельзя провести

путь.

Будем

называть

такой

полюс

изолированным;

4) если данный

полюс

ci, соединен путями только с .изо­

рованным.

Введем

некоторые

определения.

связ­

Будем

говорить, что клетка обладает свойством

ности

между полюсами c/t и

С\, если имеется

путь из сц

в с/

(путь

может проходить

как

внутри данной клетки,

так и других клеток)

и полюсы

С/< и

С/ соединены

реб­

рами разве что с изолированными или

квазпизолпрован -

ными полюсами данной клетки.

пе­

Будем

говорить, что клетка

обладает свойством

ресечения,

если в ней

для двух

пар

полюсов

выполня­

ребра отсутствуют.

объ­

Будем говорить, что клетка обладает свойством

единения,

если

в ней хотя

бы

д л я

одной тройки

полюсов

выполняется условие: между

полюсами С/,, ch

cm

проведе­

ны ребра

вида

(с/ь ci); (cm,

Ci);

и,

наконец,

клетка

обла­

дает свойством

ветвления,

если

в

ней хотя бы д л я

одной

с/„ ст, С/ проведены дуги {сh, ст);

(ch, Ci).

Систему функций соединений

клетки будем называть

любой

граф

0'.

Д л я

того

чтобы система функций соединений -клетки

лось

к а ж д о е

из следующих

условий: 1)

для любой

пары

полюсов Ci,

Cj выполняется свойство С В Я З Н О С Т И ;

2)

для

пар

полюсов

С[, сг \\ ся, с4

выполняется

свойство

пересе-

объединения

и потому

нельзя

выбрать

одну

функцию,

в которой одновременно соблюдались бы

эти

свойства.

Пусть не учитываются

свойства

ветвления,

объединения

и пересечения. Тогда, если одна

и та ж е

функция реали­

зует все виды связности, то эта

функция

образует пол­

ный граф с

четырьмя

вершинами. П р и

этом все клетки

еще одна функция соединения, с

помощью

которой мож­

но б ы л о

бы изолировать друг от

друга вершины

отобра­

ж а е м о г о

графа .

Следовательно,

и в этом

случае

требу­

ется более одной функции.

И з

сказанного следует, что

в

полной

системе

функ­

ций соединении

должно быть их

не менее

двух.

Д о

сих пор

рассматривали

отображение на

ткань

графа

при

этом вершины

и

дуги отображались на

ствующих функциям

соединения. Н а самом деле нуж­

но учитывать, что в

графе £f вершинам могут соответ­

каждого

конечно-детермированного

оператора

можно

з а д а т ь логическую сеть, его реализующую . -Введем

набор

элементарных

автоматов, удовлетворяющих

требованию

автоматной полноты. Поставим

в соответствие к а ж д о м у

элементарному

автомату клетку

таким образом, что

входные

и выходные полюсы

автомата

отождествляются

с внутренними полюсами клетки, причем

выбираются

автоматы с числом полюсов, меньшим или равным

числу

полюсов

клетки. В данном

состоянии

клетка

реализует

* В случае трехмерных тканей условие 2 не является

необхо­

димым.