книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

Таким образом, независимо от того, относительно каких осей ведется расчет, определяют приращения кривизн продольной оси стержня, проходящей через центр тяжести второго расчетно­ го сечения. Это очевидно, так как, когда составляют уравнения равновесия приращений внешних и внутренних сил и моментов при переходе стержня из одного состояния равновесия в беско­ нечно близкое к нему второе состояние, определяются правиль­ ные значения всех деформаций и в том числе кривизн.

Приращения радиусов кривизны центральной оси второга расчетного сечения равны:

а приращения радиусов кривизны геометрической оси равны:

Рассмотрим теперь второй частный случай, когда прираще­ ния получает только сжимающая сила, приложенная в геомет­ рическом центре сечения. Тогда в (1.53) — (1.55) нужно подста­ вить

dM0x = dM0y —0.

Выполнив эту подстановку, из (1.54) получим

20

Подставив это значение в (1.53), найдем

Из (1.78) и (1.79) видно, что бесконечно малая сила dN, при­ ложенная в геометрическом центре сечения, вызывает изгибаю­ щие моменты dM2x и dM2y и, следовательно, не только сжимает, но и изгибает стержень.

Выясним, в какой же точке должна быть приложена сила dN,.

Следовательно, сила dN должна быть приложена в центре тяжести второго расчетного сечения. Только в этом случае при­ ращение деформаций по всему сечению будет одинаковым II равным

E F 2

т. е. все сечение получит приращение деформации в виде равно­ мерного сжатия.

§ 4. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РАСЧЕТНЫХ УСИЛИЙ, ЖЕСТКОСТЕЙ И ОТПОРНОСТЕЙ СЕЧЕНИЙ

При расчете стержней из упругого материала лю­ бое сложное напряженно-деформированное состояние представ­ ляется как сумма простых. Напряжения раскладываются на нормальные а и касательные т, а эти, в свою очередь, разделя­ ются на вызванные сжимающей и сдвигающей силами ос и тс и изгибающими и крутящими моментами ст„ и тк. Аналогично раскладываются и деформации. Такое разделение на простей­ шие составляющие облегчает практические расчеты и анализ напряженно-деформированного состояния стержня и конструк­ ции.

Относительные деформации при простейших напряженных состояниях, как известно, определяются из следующих зависи­ мостей:

21

щая и сдвигающая силы, изгибающий и кру­ тящий моменты.

В знаменателях (1.83) стояН жесткости стержня единичной длины на сжатие, сдвиг, изгиб и кручение или жесткости сечения стержня. Таким образом, жесткости сечения связывают усилия и относительные деформации по их направлениям.

Полные взаимные перемещения концов стержня длиной I по направлениям тех же усилий будут равны:

Несколько непривычные выражения (1.85) вполне оправда­ ны, так как, действительно, с ростом длины стержня взаимные перемещения его концов от неизменного усилия растут, а жест­ кости соответственно уменьшаются.

Из выражений закона Гука (1.83) и (1.84) для различных напряженных состояний видно, что деформации и перемещения по каждому из направлений вызываются только одним из воз­ действий.

Получение аналогичных простых зависимостей желательно и для стержня из упругопластического материала, поэтому про­ анализируем формулы, приведенные в § 2 и 3, с этой точки зре­ ния, ограничившись лишь рассмотрением нормальных напря­ жений.

В общем случае сжатия и изгиба стержня в двух направле­ ниях усилия N, М0х и Моу связаны с перемещениями ео, kx и kv

уравнениями (1.13) — (1.15). Поскольку каждое из трех усилий /Ѵь М0х, М0у связано с каждой из трех деформаций ео, kx, kv, то, следовательно, все эти усилия обобщенные, а не простые. Систе­ му уравнений (1.13) — (1.15) можно записать и в иной форме, разрешив их относительно деформаций ео, kx и ky. В этом случае

они примут вид

22

В этих уравнениях все коэффициенты Ац выражаются через жесткости первого расчетного сечения.

Обозначим через D определитель, составленный из коэффи­ циентов-уравнений (1.13) — (1.15):

Матрица-столбец свободных членов этих же уравнений имеет вид

N

Подставляя матрицу (1.90) поочередно вместо е0, kx и ky, по­ лучим три новые матрицы, определители которых обозначим со­ ответственно D1 , D2, D3. Тогда, как известно, можно записать

Если координатные оси совместить с главными центральны­ ми осями первого расчетного сечения, то статические моменты

23

ей (рис. 5,6). Кривизну оси можно определить из (1.100), а от­ носительная деформация сжатия в центре тяжести сечения (в геометрическом центре) следующая:

( 1. 101)

Эпюра напряжений в сечении будет отличаться от эпюры от­ носительных деформаций только масштабом Е. Все внутренние усилия сведутся к осевой силе N, приложенной в геометрическом центре сечения и к изгибающему моменту М.

Рассмотрим теперь этот же участок стержня при воздействи­ ях, вызвавших в части сечения переход деформаций за предел упругости материала. Для простоты будем считать, что диаграм­ ма работы материала совпадает с диаграммой Прандтля, хотя все рассуждения справедливы при любой диаграмме, если для нее на всех участках касательный модуль не отрицателен, т. е. выполняется условие (1.1).

Эпюры относительных деформаций и нормальных напряже­ ний в поперечных сечениях такого стержня показаны соответ­ ственно на рис. 5, в и г. Равнодействующими внутренних усилий в сечении опять будут сила N' и истинный изгибающий момент М', но сила будет приложена в физическом центре сечения, т. е. в центре тяжести первого расчетного сечения, отстоящем от геометрического центра на ат. Кривизна и укорочение продоль­ ной оси, проходящей через этот физический центр, будут

При бесконечно малом увеличении М' и N' деформированное и напряженное состояние сечения изменится и примет вид, пока­ занный ’на рис. 5,д, е. Равнодействующие внутренних усилий будут равны силе N" и моменту М":

Вэтом случае физический центр сечения сместится на da^,

исила N" будет приложена в этом новом центре. Кривизна про­ дольной оси, проходящей через этот центр, увеличится и будет равна:

1

Равнодействующая внутренних дополнительных усилий опять сведется к силе dN и моменту сШгоСила dN будет приложенй в центре тяжести второго расчетного сечения, удаленном на а о от геометрического центра, а приращение момента будет

Индекс 20 означает, что момент берется относительно центра тя­ жести второго расчетного сечения.

На рис. 5, з пунктиром отсечена треугольная площадка а, а, а «лишних» напряжений, образовавшаяся в результате допущения о неизменности размеров упругого ядра при переходе от одного состояния равновесия сечения к другому, бесконечно близкому. В силу близости этих состояний равновесий площадь указанной треугольной площадки является бесконечно малой второго по­ рядка, и учет ее не внесет существенных погрешностей в расчет. Из рассмотрения рис. 5, е, з видно, что сжимающая сила N", представляющая собой сумму двух сил N' и dN, приложенных в разных точках, будет приложена в новом физическом центре, отстоящем на da^ от физического центра, отвечающего напря­

женно-деформированному состоянию, вызванному усилиями N'

и М'.

Следует, однако, скйзать, что физический центр сместится и при переходе к новому деформированному состоянию в резуль­ тате прироста только момента при стационарном значении сжи­ мающей силы N'. Действительно, если на эпюру напряжений,

угольника а, а, а на рис. 5, з), но равнодействующая сместится на некоторую величину da . Все это указывает на непрерывное

изменение жесткости и отпорности сечения в процессе деформи­ рования стержня из упругопластического материала.

Из сказанного не следует, что нельзя вести расчет на основе использования обобщенных деформаций и усилий. В отдельных случаях такой расчет может быть даже более простым по форме (см. § 6). В то же время использование в расчете величин, кото­ рые в привычных расчетах упругих систем имеют вполне четкий физический смысл, налагает дополнительные сложности и под­ час приводит к недоразумениям. Например, в [24] рассматри­ вается случай нулевой продольной деформации в геометричес­ ком центре сечения. Такой случай при деформировании автоном­ ных сжато-изогнутых стержней из упругопластического мате­ риала вообще исключен и возможен только при каких-то дополнительных внешних связях, препятствующих укорочениям стержня, поэтому и величина отпорности в [24] получена завы­ шенной и соответствует суммарной отпорности стержня и этих дополнительных связей.

27

В [2 и 19] предполагается, что, поскольку момент внешних ■сил II момент инерции сечения определяются относительно гео­ метрической оси, полученная из расчета кривизна относится к геометрической оси. Однако фактически в таком расчете опре­ деляются истинные деформации и напряженное состояние в се­ чении. Если же краевые деформации в сечении равны еі и ег, то кривизна, найденная из выражения

Различие между этими значениями обычно невелико, но иногда оно имеет принципиальное значение.

В работах [2 и 19] есть и другая нечеткость. Для значения отпорности на изгиб [2] или для эквивалентной ей величины мгновенной жесткости [19] получены выражения, содержащие dN. Из вышесказанного же видно, что полученные отпорности отвечают некой обобщенной деформации, содержащей как на­ гибные составляющие, так и укорочение оси. Следовательно, по­ лученные выражения не являются отпорностью на изгиб или мгновенной жесткостью на изгиб, как ошибочно полагают авто­ ры. Это более сложные характеристики, отвечающие некоторому комплексному приращению деформации в сечении.

При расчете сравнительно простых конструкций все изложен­ ное выше не имеет особого значения, поскольку напряженное со­ стояние в сечении легко мож$т быть определено из простых ус­ ловий равновесия (1.7)-—(1.9), однако при более сложных на­ пряженных состояниях использование физически четко обосно­ ванных величин необходимо.

§ 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ ЖЕСТКОСТИ И ОТПОРНОСТИ

Как установили, жесткости и отпорности сечения как на сжатие, так и на изгиб для стержней из упругопластическнх материалов отличаются одни от других.

Попытаемся установить связь между этими величинами. Для простоты рассмотрим сечение сжато-изогнутого стержня, сим­ метричного относительно оси 0Уи изгибаемого в этой же плоско­

сти (My= 0 ) .

Рассмотрим два бесконечно близких иапряженно-деформи- рованных состояния элемента такого стержня длиной dz.

.28

С учетом (1.29) и (1.65) это равенство можно записать в сле­ дующем виде:

Записав условия равновесия внешних и внутренних сил и мо­ ментов для среднего сечения внецентренно-сжатого стержня в предположении искривления его по полуволне синусоиды, В. Н. Гусаков получает выражения сжимающей силы N и высо­ ты с сжатой зоны в сечении в функции максимальной деформа­ ции сжатия ес на кромке.

Выполнив ряд преобразований и взяв частные производные по s от характеристик первого расчетного сечения, он приходит к следующим зависимостям:

<1. П 2)

Определив частные производные по высоте сжатой зоны с, он находит следующие зависимости:

29