книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

Диаграмму работы соединительных стерженьков на изгиб примем в виде, показанном на рис. 60.

Обозначим

Под ф в дальнейшем будем понимать относительное значение угла, выраженное в долях фт отвечающего т — 1. Прямолиней­ ность диаграммы т = т ( ф) до значения т = 1 будет лишь при п—0. В общем случае т = т ( ф , п). Значения т и ф , отвечающие началу разгрузки, обозначим тр, фр

Запишем выражение полной энергии системы. Потенциал внешней нагрузки равен:

При S-образном искривлении ßi = —ß2. Разложим деформа­ цию на симметричную уі и антисимметричную у2. Тогда

130

Условия равновесия можно принять в виде

где f и W7— площадь и момент сопротивления сечения связи.

При уі = 0 оба слагаемых (8.19) обращаются в нуль, так как из k \ = —k2 следует гп \= —тп2.

Параметр антисимметричной деформации у2 определяется из

Из (8.22) следует, что при антисимметричной поперечной на­ грузке форма равновесия также антисимметрична. Эта форма

2biMr ф ^ (1 - 2 D + МіФт( ^ -

dm.

~dk.

При антисимметричном деформировании разгрузка в связях не возникает и из равенства /« і= —m2следует, что

дпц _дт2 dki dk2

В этом случае, как видно из (8.24), Ті2= Т 2і= 0.

Условие (8.23) принимает вид

Обращение в нуль первого сомножителя Тп соответствует появлению симметричной формы. Если же в нуль раньше обра­ тится Т2 , то потеря устойчивости произойдет по антисимметрич­ ной форме.

Для выявления низшей формы потери устойчивости рассмот­ рим разность Гц—Т22. Из (8.24) находим

Так как все буквенные сомножители, входящие в правую часть этого выражения, положительны, то при любом п

На основе этого неравенства можно сделать вувод, что не­ зависимо от соотношения между продольными и поперечными силами, места приложения поперечной нагрузки и степени раз­ вития пластических деформаций потеря устойчивости сопровож­ дается возникновением симметричной формы.

Параметр внешней нагрузки, при которой антисимметричная форма равновесия становится неустойчивой, найдем из условия 7’11= 0 . Согласно (8.24),

При достижении внешней нагрузкой величины, определяемой значением пк, произойдет бифуркация равновесных форм и на антисимметричную форму наложится симметричная. Причем ра­ венство Тп = 0 означает, что геометрический параметр симмет­ ричной деформации уі может иметь любые значения (в рамках предпосылок о малости деформаций).

Существенно то, что вывод о возможности произвольного из­ менения параметра симметричной деформации вытекает из ана­ лиза работы модели, причем предполагается, что разгрузка в связях отсутствует. При п<.пк это предположение справедливо. Если п ^ п к, оно нарушается, так как возникновение симметрич­ ной формы вызовет разгрузку в одной из связей. Следовательно, исследование деформирования модели при п > п к необходимо вести, считая, что одна из связей разгружается. Для конкретно­ сти дальнейших рассуждений допустим, что разгружается вто­ рая связь. •

Оценим устойчивость равновесия формы, когда п—п1;, считая

дтп

—- = 1. Найдя из (8.24) все величины,, входящие в определи- dk2

тель D, а также используя (8.28), после преобразования получим

(32

повышает жесткость связи, а вместе с ней и всей системы. Ус­ тойчивость равновесной формы означает, что система способна воспринять внешнюю нагрузку, превышающую пК.

Для полной обоснованности приводимых здесь рассуждений необходимо показать справедливость предположения о разгруз­ ке связи, так как факт появления симметричной составляющей

Второе слагаемое в правой части полученного равенства по­ ложительно, и условие разгрузки второй связи .(8.30) выполня­ ется.

Неравенство (8.30), кроме того, показывает, что при п>п-А система деформируется по смешанной форме — растут и симмет­ ричная (уі) и антисимметричная (уг) составляющая полной де­ формации. Параметры равновесной формы находим из (8.10) и

( 8. 20) :

Определим величину максимальной нагрузки, при которой бу­ дет исчерпана несущая способность стержня. Подставив (8.24)

дт

в (8.23) и учитывая, что при разгрузке второй связи —- = 1, 0*2

получим

D= 4M2cp2 (1-2£)(Яшрт£)2-

Т' Т

dmj

(8.33)

3*7.

133

ной 7 2 деформации, вычислив значение определителя D, можно получить величины критических нагрузок П\ и /гг, отвечающих симметричной и антисимметричной формам потери устойчивости рамы. В упругой стадии п\ всегда больше /і2, следовательно, по­ теря устойчивости упругой рамы всегда происходит по антисим­ метричной форме.

В отличие от этого для модели рамы со связями из упруго­ пластического материала низшая критическая сила может отве-

Тп и Г22 в зависимости от п

для примера № 1

чать и симметричной форме потери устойчивости. Это будет в случаях преобладания деформаций ригеля над деформациями стоек, т. е. при относительно слабом ригеле и более жестких стой­ ках. Характер деформирования таких рам остается неизменным от начала загружения до потери устойчивости.

Деформирование же моделей рам с более жестким ригелем, по сравнению со стойками, двухстадийно. Из-за появления анти­ симметричных составляющих деформаций у2 при определенной нагрузке пк устойчивость симметричной формы деформирования теряется. В связях одной из стоек (1 и 2 или 4 и 5) возникает разгрузка, жесткость рамы возрастает и рама оказывается спо­ собной воспринимать нагрузку п, превышающую іік. Деформа­ ции рамы будут смешанными, содержащими составляющие как симметричные уі, так и антисимметричные у2.

На рис. 64—66 приведены результаты решения В. А. Икриным двух примеров. В обоих примерах принято, что податливые связи выполнены и^ коротких стерженьков прямоугольного се­ чения. Материал связей подчиняется диаграмме Прандтля.

Пример № 1. Исходные данные: фт= 1 0 -2; Г=100; 1=2; £= = 0,5. Изменение составляющих полной деформации уі и у2, а также критериев формы потери устойчивости Гц и Т22 в зависи­ мости от п показано на рис. 64. В этом примере в нуль раньше обратилось Гц, что указывает на симметричную форму потери устойчивости. Это произошло при пк=0,0851; уі = 6,48; у2= 0 .

Пример № 2. Исходные данные: cpT= 10~2; Х = 100; ѵ=10;

136

I— 1; £=0,5. На рис. 65'показано изменение уі и у2. До п—пк=

=0,2024 деформация системы была симметричной (у2=0), при

п> 0,2024 модель деформировалась по смешанной форме (у2Ф

=#=0). На рис. 66 показано изменение Тп и Т22 при /г^/гк и D при п > п к в зависимости от п.

Кроме моделей однопролетного стержня при антисимметрич­ ной нагрузке и модели П-образной рамы при симметричной на­ грузке В. А. Икрин рассмотрел также реальные такие же стерж-

ни и раму. Однако форму искривления каждого из стержней пришлось задавать в виде ряда и получать на ЭВМ численные решения.

Этими решениями полностью подтвердились результаты, по­ лученные в общем виде при исследовании моделей, т. е. при оп­ ределенной нагрузке п„ происходит потеря устойчивости перво­ начальной формы деформирования, но состояния равновесия при нагрузках, превышающих пк, устойчивые. Деформации конст­ рукций в этой стадии смешанные.

На рис. 50 дана схема модели стержневой системы, рассчи­ танной А. М. Проценко [22]. Стержни модели предполагались из упругопластического материала. Расчет выполнялся в пред­ положении отсутствия горизонтальных смещений узлов В и С, что равносильно постановке в одном из этих узлов опорного стерженька, препятствующего горизонтальному смещению стержня ВС.

В результате расчета системы получено, что до определенной нагрузки Рк вертикальные перемещения узлов В и С одинаковы, т. е. деформации системы симметричны.

137

По достижении силами Р величины Рк происходит потеря ус­ тойчивости симметричной формы деформирования, появляются антисимметричные составляющие (один из узлов В или С пере­ мещается вниз, другой — вверх). При такой новой смешанной форме деформирования состояния равновесия системы устойчи­ вы, и она воспринимает приращение нагрузки.

В рассматриваемой системе повышение жесткости объясня­ ется не появлением зон разгрузки, а включением в работу гори­

Таким образом, вторая стадия работы конструкции после ее потери устойчивости характерна для симметричных систем раз­ личных типов.

§ 40. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

с т е р ж н е й , д е ф о р м и р у ю щ и х с я S -о б р а з н о

Для проверки теоретических выводов о второй ста­ дии устойчивых состояний равновесия у систем, принудительно деформирующихся по высшей форме, Б. И. Оськиным выполнено

правлению силами Р, приложенными в четвертях длины стержня.

В табл. 4 даны результаты испытаний стержней по первой схеме. В этой таблице для каждого из стержней указаны:

k— отношение концевых эксцентрицитетов;

138

так как, несмотря на тщательно поставленные испытания, прак­ тически невозможно абсолютно точно осуществить S-образную форму искривления стержня с несмещаемой точкой в середине пролета.

Определение теоретической величины критического напряже­ ния выполнено Р. А. Скрипниковой на ЭВМ «Урал-4» по про­ грамме, учитывающей переменность жесткости и отпорности се­ чений на изгиб по длине стержня. Критическую силу вычисляли

139