книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

20

ОСНОВНЫЕ

п о н я т и я

[гл. 1

входят

производные только

от yk(t):

другими словами,

она является системой более низкого

порядка, чем исход­

ная (1.4),

точно так же,

как и

система

(1.5),

которой

удовлетворяет х0 (t)), то частичная

сумма (1.25) построен­

ного таким образом ряда

(1.23) не будет

давать

прибли­

жения

к

решению

задачи

(1.4), (1.21) с точностью более

высокого

порядка,

чем ц. В главе 3 выяснится,

что для

того,

чтобы сумма

(1.25)

обеспечивала

равномерную

точ­

ность 0(|д,"+ 1 ) на

отрезке

t 0 ^ t ^ T ,

нужно

положить

ykiU)

равными не

нулю,

а

некоторым,

вообще

говоря,

отличным

от

нуля

постоянным, значения

которых

нахо­

дятся

по определенному

правилу.

Итак,

при помощи

ряда

типа (1.23) удается

построить

равномерную

асимптотику

решения задачи (1.4),

(1.21)

на отрезке і 0

^ ^ ^ Г .

Как же получить

асимптотическое

виде суммы (1.23) и некоторого другого, также

степенного

по

fi ряда,

коэффициенты

которого

зависят,

однако, не

от

t, а от r = (t— /и )/[і

x(t,

f i) = x 0 ( 0 + | w 1

( 0 + - - - + n . ( x ) + n n i ( T ) + . . .

(1.26)

Употребляемый

здесь

символ П происходит от слова «по­

граничный». Ряд П 0 (т) +

(т) +

. . . + ц*ПА (т) +

. . . по­

лучил

название

пограничного

ряда.

Его

члены

(будем

называть их пограничными

членами,

или

пограничными

функциями,

или

И-функциями),

находятся

по определен­

ному правилу,

которое будет

дано

в главе 3.

Функции

ПА (т) имеют характер затухающих

экспонент,

т. е. по

норме

оцениваются

сверху

величиной

сехр( — ит) =

Г

j( U

{ \1

= сехр

-

. Пограничный

ряд играет для нели-

L

M1

J

нейной

системы (1.4) ту же роль,

что члены экспоненци­

экспоненты зависят

именно от i—(t — t0)/[i

— і/\і(іо = 0)),

т. е. в окрестности

начальной точки t0 он

компенсирует

§ 5 ]

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА

К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ

21

Частичная сумма

ряда (1.26)

2

р*[хк(і)

+ Пк(т)]

(1.27)

0(\іп+1)

на всем отрезке

* 0 ^ £ < : 7 \

Асимптотическое разложение решения задачи (1.4),

(1.21) в

виде

ряда типа

(1.26) было

впервые построено

А. Б . В а с и л ь е в о й

[13], затем его форма видоизменялась

и совершенствовалась.

В

настоящей

книге принята одна

из последних

редакций, на наш взгляд, наиболее удачная.

построить

не

только

асимптотику

решения

начальной

задачи

для

(1.4),

но и

асимптотику

решений

различных

классов

краевых

задач,

асимптотику решений

некоторых

более сложных

систем,

таких, как

системы интегро-диф-

22

ОСНОВНЫЕ п о н я т и я

удаления от них.

Мы подчеркиваем условность предло­

разложением (1.26),

например, в случае релаксационных

колебаний

(см.

[49,

43]), в

случае

нелинейных систем

с сингулярными начальными

условиями (см. [26]).

Краевые задачи, асимптотику решений которых можно

построить

по

методу пограничных

функций, подробно

системе может иметь место одновременно

и на левом, и на

правом

концах отрезка [t0,

Т] (см. пример (1.14), (1.19)).

В таких случаях к разложению (1.26) добавляются

чле­

ны

Qk,

играющие

ту

же

роль в

окрестности

t = T,

что

П А

в

окрестности

t — t0.

Кроме

того,

при

построении

асимптотики решений краевых задач отрезок [t0,

Т] иногда

приходится разбивать

на

части,

на каждой из которых

альных

и интегральных линейных операторов. Эти задачи

в

книге

не

рассматриваются, интересующихся отсылаем

к

работам

[24, 25].

нятым

обозначением

вектор-функции

x(t) с m

компонен­

тами

в виде

столбца,

элементами

которого

являются

компоненты xk(t)

(k = 1,

. . . ,

m)

X(t)=[

';

.

\x"(t),l

Норму

вектора

x(t)

определим

равенством

II* (0 11= max

I** (0 I-

Сформулируем

следующую

классическую теорему (до­

многих учебниках

по

дифференциальным

уравнениям,

например в [32]).

Т е о р е м а

2.1.

Пусть

для

системы

% = f(x,

t,

К),

(2.1)

где X и f—т-мерные

вектор-функции, h—числовой пара­

метр,

выполнены

условия:

1.

Функция

f{x,

t,

Я)

определена

и непрерывна в

замк­

нутой

области

\\х—лг°||<&,

\t — f 0 |<a ,

| X | < d ,

(2.2)

и,

следовательно,

в

этой

области

\\f{x, t,

Х)||^УИ,

где

M

— некоторая

постоянная.

24

ТЕОРЕМА

О ПРЕДЕЛЬНОМ

ПЕРЕХОДЕ

[ГЛ.

2

2.

f(x,

t,

X)

удовлетворяет

в

области

(2.2)

условию

Липшица

по X

\\f(xlt

t, X)-f(x2,

t,

X)\\^L\\Xl-x2\\,

где постоянная

L > 0 не зависит

от

х,

t,

X.

Тогда

на

сегменте

\t — £01

А = min (a,

b/M)

сущест­

вует

единственное

решение

x = x(t,

X)

системы

(2.1),

удовлетворяющее

условию

x(t0,X)

= x<>,

и

это

решение

является

непрерывной

функцией

t

и

X

при

З а м е ч а н и я .

1.

Если

h <

а

и || х (t0-\-h,

X)—х°

||

<

Ъ,

т.

е.

при t = t9-j-h

решение х (t,

Я) находится внутри

области

|| х—х°

||<Ь,

то,

исходя

из

точки (<„-[-A, x(t0-\-h,

X)),

можно продолжить

решение

от t0-\-h

до

^о +

А + Аі,

где

hx

>

0—некоторое

число.

Продолжая

решение таким образом, мы либо достигнем равенства \\x(t,

К)—х°

\\ = Ь

при некотором

і —

< t0-\-a,

и далее

решение

будет

непродолжимо,

либо решение

будет существовать

при

t0

«S / <

tu-\-a

и удовлетворять

неравенству \\x(t,

К)—*0||<6.

Аналогично

можно

рассмотреть

про­

должение решения влево от точки

2.

Обозначим

М 0 =

max

\\f(x\t,l)\\.

Очевидно,

М0<,М.

Нетрудно

показать

(см. [32]),

что

если

^ [ e x p ( L a ) - l ] < ô ,

(2.3)

то

решение x(t, X)

существует

при

\t

— ^ 0 | < а

(т.

е.

h =

ä),

не

выходит из области \\х—*°||<6

и

является

непрерывной

функ­

цией t и X при \t

— / 0 | < а ,

| A , | < d .

3.

Вместо

сегмента \ t — < 0 | < а

в теореме

2.1

можно

рассматри­

вать сегмент / 0 < < < f 0 - f - a

или

/ 0

— а < < < < 0 .

В

данном

параграфе

будем

иметь

дело

в

основном

с сегментом

+ а ,

который

обозначим

[/0,

/ о + я ] -

2.

Вспомогательная

лемма. В теореме

2.1

утверждается

существование

решения

не

на

всем

сегменте

\

t—і0Ка,

а

только

на

сегменте

\t — t0\-^.h<^.a.

В замечании

2

ука­

зан

случай,

когда

решение

существует

на

всем

сегменте

\t—А) К а

-

Может

случиться

так,

что

при

некоторых

значениях

X

решение

существует

на

всем

сегменте

\t

— / 0

| ^ а ,

а при других X достигает

равенства

Цл:—х°|| = 6

при

\t—

t„\<a

и непродолжимо

далее. Пусть

при

неко-

ОБЩИЕ

СВЕДЕНИЯ

25

тором X,

например,

Х = 0,

решение

существует на всем

сегменте

\ t — / 0 | ^ а .

Будет

ли решение при достаточно

малых I X I существовать также на всем сегменте \t — tg | ^ а?

ответ на него мы получим в теореме

2.2,

доказательство

которой

основано

на следующей лемме.

Л е м м а

2.1. Пусть

в

системе

% = F(u,

t,X),

(2.4)

где и и F—т-мерные

вектор-функции,

X—параметр,

вы­

полнены

условия:

1. Функция

F (и, t,X)

определена,

непрерывна

и

удо­

влетворяет

условию

Липшица

по и с постоянной

L в об­

ласти

2.

I H K * . t 0 ^ t ^ t 0 + a,

F(0,

f, 0) = 0

при

t 0 s ^ t ^ t 0 + a.

(2.5)

Пусть,

кроме

того,

3. t0

(X)— непрерывная

функция

X

при

\X\^d

такая,

что

ta<t0(X)^t0

+ a

при | X | < d .

(2.6)

Тогда

найдется

Х0

(0 < Х0 ^

d) такое, что при

\X\^LX0

решение

и (t, X) системы

(2.4), удовлетворяющее

условию

и (/„(*.),*.) = О,

(2.7)

существует

на

всем сегменте t0^.t^.ta-\-a,

и

равномерно

относительно

tÇ: [t0,

t0-\-a]

имеет

место

предельный

пе­

реход

lim

и (f, X) = 0.

(2.8)

X -» о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как

в

силу

(2.6) для всех

^€[А)> А>+а ] выполняется

неравенство | / — / 0 ( Â , ) | ^ a , то

в соответствии

с

замечанием

2 к

теореме

2.1

решение

u(t,

X) задачи

(2.4), (2.7) будет существовать

при | Я | ^ Я , 0

на

всем

сегменте

[t0, t0

+ a],

если

выполнено

неравен­

ство

(2.3),

причем

в данном случае в силу (2.7)

М 0 =

max

\\F(0,t,X)\\.

teue. U+à\

I А. К Я.,

26

ТЕОРЕМА

О

ПРЕДЕЛЬНОМ

ПЕРЕХОДЕ

[ГЛ. 2

Из

(2.5)

следует,

что

||F(0,

t,

%)\\ сколь

угодно мала

при

| л - | ^ Я 0 ,

если

К0

достаточно

мало. Поэтому

существует

такое

\ ,

что

при

|Я,]^Я,0

неравенство (2.3)

будет

выпол­

нено, и, следовательно, решение u(t,

X) при

\

будет

существовать

на

всем

сегменте

^

t ^

tQ

+ а

и

будет

непрерывной

функцией

t

и

Я. В

силу

(2.5)

решением

системы

(2.4)

при

Я = 0,

удовлетворяющим

нулевому

на­

чальному

условию

(2.7),

является

u(t,

0) =

0.

Отсюда и

из

непрерывности

u(t,X)

вытекает

(2.8). Лемма

2.1. до­

казана.

3. Теорема о непрерывной зависимости решения си­

стемы дифференциальных уравнений от параметра,

входя­

щего в правую часть системы и начальные условия.

Рассмотрим вновь

систему

(2.1) и докажем

для

нее

тео­

рему о непрерывной зависимости решения от параметра %,

входящего в правую часть системы и

начальные усло­

вия, в такой форме, как. это понадобится далее

при

доказательстве

теоремы

2.3. Пусть

D—открытая

область

в

пространстве

переменных

(х,

t).

Обозначим

G = D х

X

(|A-|<d).

Пусть

в

системе

выполнены

Т е о р е м а

2.2.

(2.1)

условия:

1.

Функция

f(x,

t,

%) определена,

непрерывна

и

удовлет­

воряет

условию

Липшица

по

х в области

G.

2.

Система

d£=f(x,t,0),

(2.9)

получающаяся

из

(2.1)

при

Я =

0,

имеет

на

сегменте

t0

^

t ^

h + а

решение

х = х (t),

удовлетворяющее

условию

x{t0)

=

xa,

(2.10)

(x(t),t)£D

при

t£[t0,

t0 + a}.

(2.11)

Пусть

далее

3.

t0

(К) и ô(К) — непрерывные

функции

X при

\%\^.d

такие,

что

t0^t0(X)^t0

+

a,

/0 (0) = /0 ,

6(0) = 0.

(2.12)

Тогда

найдется

\

(0 < Х0 ^

d)

такое,

что

при

| % ] ^ К0

решение

x(t,X)

системы

(2.1),

удовлетворяющее

условию

x{t0(%),l)

= x° + b(k),

(2.13)

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

27

существует

на сегменте

t0^.ts^.t0-}-a,

и равномерно от­

носительно

t£ [/„, t0 + a]

имеет место

предельный переход

lim x(t, X) = x(t).

(2.14)

где М=

max

\\f{x(t),

t, 0)||. Отсюда, так как t0(X) —*

te[t0, t0 + a]

—+t0 при X —+0

в силу

(2.12),

следует

х(t0(X)) — х° +

+ s(X),

где Е(%)

— непрерывная

функция

% при

и 8 (0) = 0. Обозначим

 (К) = ô (X)—е (X) и введем вместо х

новую функцию и:

u(t,X) = x(t,X)—x(t)~A(X).

(2.15)

Подставляя

x(t, X) = x(t) + u {t,Х) + à (X) в (2.1)

и (2.13),

получим для и (t, X) систему

уравнений

% = F(u,

t, X)^f(x(t)

+ u + A(X),

t, X)-f(x{t),

t, 0)

и начальное

условие

(2.16)

u(to(X),X)

= 0.

(2.17)

Так как Д(0) = 0, то F (0, t,0) = 0

при t 0 ^ t ^ t 0 + a,

Так как (x(t),

t)^D

при t€[t0,

t0 + a] (см. (2.11)), то

существуют

такие

достаточно

малые Ь > 0 и А,0- > 0, что

при II и II <

Ь и IXI ^ Х0 точки

(х (t) + и + А (Я-), ^) g D при

^€ [*<>> ^> + fl]-

Следовательно, функция F (и, t, X) опреде­

в области | | и | | < : о , t0^t^t0-{-a,

\Х\^Х0,

т. е. выпол­

нены все условия леммы

2.1. В силу

леммы 2.1 при до­

статочно малом Х0 решение

u(t,

X) задачи

(2.16), (2.17)

при I X \ Х 0

существует

на сегменте

t 0 ^ . t ^ t 0 + a

и

равномерно относительно tÇ:[t0,

ta-\-a]

имеет место

пре­

дельный переход lim u(t,

Х) = 0.

Отсюда и из (2.15) полу-

а, -> о

чаем, что решение x(t,X)

задачи

(2.1),

(2.13) при |Ä,|s$TA.a

существует

на сегменте

t0 ^

t ^

t0 + а, и

справедливо

предельное

равенство (2.14).

Теорема 2.2 доказана.

28

ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЬНОМ ПЕРЕХОДЕ

[ГЛ. 2

p% = F(z,y,t),

%=f{z,y,t),

(2.18)

z(0,

ji) = z»,

у(0,ц)

= у\

(2.19)

где

2° и у0

будем

считать не зависящими от

ц, и иссле

дуем решение

г (^, jx), y(t,\i)

задачи

(2.18),

(2.19) на

сегменте

0 ^

t ^

Т.

Если

положить

в

(2.18)

ц = 0, то

получим

систему

0 = F(z,

y,t),

^=f(z,y,

t),

(2.20)

которую

в

§ 2 мы назвали

вырожденной в связи с тем

что порядок ее ниже, чем

порядок

системы

(2.18), так

как

первые

M

уравнений

в

системе

(2.20)

конечные

нужно

задать

меньшее число начальных

условий,

чем

для

(2.18). Как уже отмечалось в

§ 4, наиболее естест­

венно

оставить

начальное условие для у, т. е. положить

У(0)

= У,

(2.21)

и отбросить начальное условие для г.

ц, реше­

Поставим вопрос о том, будет ли при малых

ние

z(t,

y{t,

\і) задачи (2.18), (2.19) близко

к реше­

нию

z(t),

y(t)

вырожденной

задачи

(2.20),

(2.21).

Тео­

здесь

не применима,

так как система (2.18) не является

системой

типа

(2.1);

если ее

записать в виде (2.1), то

при

ц = 0 правая часть будет

иметь разрыв. Получаю­

щаяся здесь при ц = 0 вырожденная система (2.20) каче­

ственно

отличается

от системы, получающейся из (2.1)

при

А, = 0, так

как

порядок системы (2.20) ниже порядка

тором

говорится в теореме 2.2,

порядок

системы

(2.9)

(при

к — О) был таким же как в

исходной

системе

(2.1).