книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

180

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

компоненты у,

а при t2—вторую

компоненту г (номер

индекс

2

соответствует индексу точки tt)

y(ti,

ѵ) = УІ+МІ

+

• • • + Р * # ! +

• • -,

гх

(tlt

p) =

zU +

|izh +

. . . + n*zjt +

. . . , (4.321)

z2

(t2,

p) =

zt2 +

pz?2

+

. . . + p*zf2 +

. . . ,

где yl,

zlki(i~\,

2) — пока

не известные

параметры.

Асимптотику

решения

задачи

(4.319),

(4.321)

на сег­

менте

[0,

1] будем искать

в

виде

(см. §§ 9

и

14)

/ m

dl

x(t,

\i)-\-Qx(r1,

р)

при

O^t^t^

X(t

u)=

\

<JL

<2)

<2>

F /

I

x(t,

p)

+

IIJC (Тл ,

p)

+

QX(X2,

p)

при

^ <

t^t2,

(3)

(3)

V x(t,

р) +

Ш;(т2 ,

p)

при

/

2 ^

/ ^ 1 ,

(4.322)

где,

как

и прежде,

П означает пограничные члены вблизи

левого

конца

соответствующего

участка,

Q — пограничные

члены

вблизи

правого

конца, rï

= (t — tj/a,

х2

= (t — ^2 )/р.

Для х0

(t)

имеем

уравнения

.—

(О

(О

(*) (О

^

=

z0 ,

г0

= <р(у0,

t)

(t =

1,

2,

3).

(4.323)

Из

(4.321)

получаем

дополнительные

условия

m

УоѴі)

= УІ,

(4.324)

ill

Добавим

сюда

условие

УА*і)

= У\-

(4.325)

Уо(іг)

= Уо(і2),

(4.326)

которое обеспечивает непрерывность у0 (t) в

точке

t2.

Из

(4.323)

при і = 1 , 2 с начальными

условиями co-

Hi

ответственно (4.324) и (4.325) находим y0(t)(i=l,

2) как

функции

t, yl, ti

(предполагаем,

что эти начальные за-

182

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

решения

задачи

(4.319),

(4.320).

(

Ш

i/o (0

при

0 ^ t ^ t l

t

y " {

t )

= \ f a

( t )

при

^

<

/ 2

,

С 4 - 3 2 8 )

(3>_

Уо (О П Р И

^2 < ' < 1 •

<£>

(О

I I I .

Предположим,

что

(y0(t),

t) Ç D «a

соответ­

ствующем

отрезке изменения

t.

(О

(t =

IV.

Предположим,

что

собственные

значения

Xk(t)

l ,

2, 3; & = 1 , 2), определяемые

уравнениями

(О (О

(О

(О

Det(F z (<PÜ/o(0 - 0. Уо(0. 0 - ^ . )

= 0,

удовлетворяют

следующим

требованиям:

(D

(D

Re Я,! (О

> 0,

Re Л.а

(t)

> 0

л/зи

0 < / < / l

t

(2)

(2)

" P "

(4.329)

Re M * )

<

°>

Re M * )

>

0

(3)

(3)

"P"

R e M O < 0 ,

R e M O < 0

/ , < / < 1 .

Отметим, что так как z—двумерный

(2)

вектор, то МО и

(2)

МО действительны и имеют разные знаки.

Для пограничных функций нулевого порядка имеем,

как

обычно, равенства

(2)

(3)

(1)

(2)

<2оУ

= П0«/ (тх ) =

Q0y (т„) = U0y (т2) = О,

и уравнения

= ^ ( ï ( y J . M

+ Q

U

'

J

( Т і < 0 ) ,

(4.330)

(2)

^

= F{<p(yl,

Ъ) +

П0г,

у\,

tj

( Т і > 0 ) ,

(4.331)

^ dx2

= р{ц,{уІ,

Q

+

Q0z,

уі,

tj

( т 2 < 0 ) ,

(4.332)

(3)

^

= /Чф (Уо2 ,

У

+

П0 г,

*J

( т 2 > 0 ) ,

(4.333)

184

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

F (г, у*, t,),

1(0) = zl

(4.339)

можно

сформулировать

следующим

образом:

V. На фазовой плоскости

z,

отвечающей

присоединен­

ной системе (4.338), должна существовать

траектория

(обозначим

ее Ьг),

выходящая

из

узла

(или

фокуса)

z —

=

(D

^і) пРи

т і = — ° °

-

(2)

tj)

ф(#о,

и входящая в седло z = (ç(y\,

при

Tj =

oo,

и

точка

zj

должна

лежать на

L x .

Пусть,

кроме

того,

Fx

(z, у], tt)

сохраняет

знак

вдоль

L x .

На

фазовой

плоскости

z,

отвечающей

присоединенной

системе

(4.339), должна

существовать

траектория

L,,

выходящая

из

седла

=

(2)

t2)

при т2

= — оо и входящая

z = (p(yl,

в

узел

(или

фокус)

=

О)

t2)

при

т 2

= о о ,

и

точка г*

z = q>(y%,

должна лежать на Ь2. Пусть, кроме того,

F2(z,

у\,

t2)

сохраняет

знак

вдоль L 2 .

Требование V обеспечивает убывание пограничных функ­

ций

нулевого порядка

на

бесконечности,

но при этом

z\y

и

z„2 остаются

пока

не

определенными.

і"

Построим

следующие

члены

разложения

(4.322). Для

Xj (t) имеем

уравнения

U)

(О l£>

(£)

j -

(£)

%-

= Ft(t)z1

+ Fy(t)yl,

^

= z\

( i = l , 2,

3),

(4.340)

где

Fz(t)

= FÀ4>{y0(t),

t),y0(t),

t

F,(t)

=

Fy[<p[yt(t),t),y0(t),t

Из (4.321) получаем дополнительные условия

(см. (3.120),

(3.123))

<L>

7<і)

(4.341)

Уі(*г) = У\+

) Q0z(T)dx,

о

ВНУТРЕННИЙ

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

185

<?>

? (2)

Добавим сюда

0і(*і) =

0І + оІ П о г ( т ) Л ; .

(4.342)

условие

(3)

L2>

р(3 )

-(."(2)

0 і ( ' , ) =

0 і ( ' . ) +

} П о 2 ( т ) г і т - J Q 0 z ( T ) d T ,

(4.343)

о

ô

/<і>

? (3)

г/-компоненты

решения

в точке t2[

yx{t2)—^1І0г(т)гіт

и

<2J

"p" (2)

\

о

(т ) ^ т равны между собой, так как они равны

Уі Va) — j

Qoz

о

одному

и

тому

же у\,

если через

у\

обозначить

коэффи­

циент

при р

степенного разложения

по p y(t2, р), анало­

ствуют,

хотя можно было бы в

силу равноправия точек tx

и t2 в

условиях (4.321) вместо

y(tt, р.) задать y(t2, р-) и

в дальнейшем оперировать именно с коэффициентами

у\).

Из линейных систем (4.340) при / = 1, 2 с начальными

W

условиями соответственно

(4.341) и (4.342) находим

yx(t)

( і = 1 , 2) как функции t,

у\, zj t (зависимость от zjt

обу­

ным начальным значением ух

(t2),

получим ух (t) как функ­

цию t, у\, г\и

z20i.

Для определения у\, z\x,

z\2 из (4.320) получаем урав­

нения

(1)

(3)

0і

(0) = 0,

t/ 1 (l) = 0.

(4.344)

V I . Предположим,

что система

(4.344)

разрешима от­

носительно

у\,

z\x,

z\2,

и пусть

z\x

и zj2

удовлетворяют

условию V.

Это означает, что найденное z\x

принадлежит области

определения

функции

zj2 = / 1

(z\x),

т. е. по найденному z\x

186

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

можно

определить

2j 2

так, что точка zj с

координатами

(zoi> 2ог) будет

лежать

на

Ьг.

Аналогичное

разъяснение

можно

сделать

относительно найденного z%2.

(О

Определив у\,

zj 1 ;

z%2, окончательно находим

хг (t) и

пограничные

функции

нулевого порядка.

Соответствующий

(4.344)

функциональный

определи­

тель, записанный

в блочной форме, имеет вид

/ О )

(3)

А,: . Д Ѵ УІ( О ),

УіО)

D(y\, zji,

zî,)

<!_>

(U

ôy, (0)

agi (<i)

ayi (Q)

d )

Q0 z (T) dx

(3_)

(2)

(3)

(?)

(3)

% i (D

dyt

«,)

,

<^i(l)

fr/i

2

ду. (D

(3)

(2_)

(< )

(3)

(2)

(3)

ô*,

ôy, </,)

dtfi (f.)

01/, (h)

dyt

(/,)

(2)

Г

(2)

X

^

n0z(x)dx

^

Q„z(T)dT+

f

(3) 2 (T)

(1)

d )

(2)

(2)

дуі (0)

ô y 0

(0)

dt/p С г) .

(D

<і>

Cl)

дУі (h)

(2)

дУі (h)

Ôy0

3(/о (Л)

дУх (1)

_

дУо (1)

С,

(4.345)

(3)

(3)

дуг ih)

дУо Сг)

<і>

(D

(2)

(2)

дуг d )

_

дУі (h)

Oy_o_Çi).

%o_Çi).

dyl

dyl

§ 15]

В Н У Т Р Е Н Н И Й

П О Г Р А Н И Ч Н Ы Й слой

187

Здесь А , В, С—обозначения

соответствующих

квадрат­

ных матриц

второго

порядка,

Е2

— единичная

(2х2)-мат-

рица,

4 ^ = - A *

tu.

4 - F F Q U W * ) =

< Ч

" - А ,

дгпЛо

J

Ft(z0,

уо. t,)-

( 4

3

4 6 )

(°°

\

(2)

- - „ о

У

Fi (го, Уо,

h)

<J)

,

(?)

- g ^ - -

^ФІУо,

i«),

й і

- Ч Ч 0 о

. *»).

(4.347)

— 0 0

0 3

\

(3)

(2)

О

о

/

^ ( г о , Уо, t2)

Подставляя

формулы

(4.345)—(4.347) в выражения для

Д0 и Aj, получим

Аі =

j

— j

—

-

І — 2 Д 0 .

(4.348)

Fi (zl, yl, h) F2 (zl, yl

t2)

'

Так как F1(zl, yl,

^)ф0,

F2{zl,

yl,

t2)^0 в силу тре­

бования V, a A , ^ 0 в силу

требования I I , то из (4.348)

следует

^ФО.

У п р а ж н е н и е .

Проверить равенства

(4.345) — (4.348).

(О

(з_)

& + 1 ( 0 ) = 0,

У*+ і(1) = 0

(4.349)

относительно у\+1, z\x,

z\2. Нетрудно

показать, что опре­

делитель

этой

системы

равен

&г

и,

следовательно, систе­

ма (4.349)

однозначно

разрешима, что дает

возможность

построить xk+1(t)

и пограничные

функции

с номером k.

188

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

У п р а ж н е н и е .

Показать, что

определитель

системы

(3.349)

равен Aj.

На этом можно считать построение разложения (4.322)

законченным.

Обозначим через Xn(t,

L I ) ( І = 1 , 2,

3)

частичные

суммы

рядов

(4.322), и пусть

( <Л>

LI)

при

0 < ^ < ^ ,

X„(t,

ХпѴ,

\L) =

{

Xn(t,

LI)

при

t ^ t ^ t 2 ,

l

(3)

при

^ < ^ <

1.

Xn{t,

LI)

Введем

в

рассмотрение

кривую L 0 ,

состоящую

из

пяти

звеньев:

(1)

(1)

£ o 2 = { ( z ,

У,

t): Z=Z(T),

— о о < т < о о ; у = у\,

t =

t1},

V I I .

Пусть

F (z,

у,

t) имеет

непрерывные

производные

до (п-\-2)-го

порядка

включительно

в

некоторой

8-трубке

кривой

L 0 .

Справедлива следующая теорема, доказательства ко­

торой

мы

не

приводим.

Т е о р е м а

4.4.

При

выполнении

условий

I — V I I

най­

дутся

постоянные

L I 0

> 0,

ô > 0

и

с > 0 такие,

что

пр

0 <

LI sg;

L i 0

в

Ь-трубке

кривой

L 0

существует

единствен

ное

решение

X{t,

L I ) задачи

(4.319),

(4.320),

и

имеет

место

неравенство

\\X{t,

[i)—Xn(t,

ІІ)\\^СЦ"+1

при 0 < * <

1.

(4.350)

З а м е ч а н и я .

1.

Для

доказательства существования

и един­

ственности достаточно в условии V I I взять п =

0.

2.

Из

(4.350) следует, что предельной кривой для (/-компоненты

рассматриваемого решения является ломаная

линия (4.328), состоя­

щая

из трех звеньев.