Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

160				КРАЕВЫЕ		ЗАДАЧИ		[ГЛ. 4
к	условно		устойчивому		случаю, является			задача опти
мального		регулирования			(« — управление)
	dz					Г 1	z, u)dt = min,
	V--äf = f(t> z>			J (z> ")=)F(t,
					2 \	о
			z(0,n) =			z ( l , n )	= z1 .
	Перечисленные			вариационные			задачи	исследовались
в	работах		[2, 3].
	В заключение специально обратим внимание на'один
важный		частный		случай	(4.248).		Речь идет о нахожде

нии периодического решения системы (4.89). Пусть пра вые части (4.89) периодичны по t с периодом Т (неавтоном ный случай). Без ограничения общности положим 7 = 1. Тогда условия периодичности искомого решения имеют вид

х(0, \x) — x(l,		LI).	Это—частный случай условий							(4.248).
Будем	считать, что			уравнение		F (z,	у,	0 = 0	имеет ко
рень	2 = ф(г/, t).		Поступая		в	соответствии			с методом,
описанным в начале настоящего пункта, получим										'
(z. (0) + П 0 2 (0)) +			lifc (0) + П і 2			(0)) +	• • • =
	(z. (1) +		Q0z (0)) - f			(1) +QlZ		(0)) +	- - -	(4.255)
	Уо + Ш+--			- =Уо		+	( ! ) + • • •			(4-256)
В	нулевом	приближении			из (4.256) имеем
				Уо =	Уо (1).					(4-257)
Поскольку в		силу		(4.124)	г/0 (0) = г/0, то (4.257) представ

ляет собой требование периодичности «/-компоненты ре

шения

вырожденной системы

Уо(0) = у0(1).

(4.258)

Это требование

встречалось в

различных

работах, по

священных

рассматриваемой

задаче

(см.,

например,

статью

Д . В.

А н о с о в а

[1],

статью

Л.

Ф л э т т о и

Н.

Л е в и н с о н а

[60]

и другие.

Библиография имеется

[10]). Заметим,

что

ни

в одной

из этих

работ

задача

о периодических решениях не трактовалась

как

част

ный случай

краевой задачи.

Из (4.255), учитывая, что в

силу (4.258) г0 (0) =

г0 (1),

получим

1V(0) = Q0 2(0).

(4.259)

§ 14]

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

161

П 0 2 и Q0z определяются из уравнений (см. (4.125))


^	= f (ф(Уо, 0) + По г,				у0,	0)	(т = т0	= - £ ) ,	(4.260)
^	= ^(Ф(Й,(1),			l ) + Q 0 z , ] ? o ( l ) , l )			(т = Т і	= ^ ) .	(4.261)
В	силу	периодичности			F по £ с периодом Г = 1 и в силу
(4.257)		уравнения		(4.260)		и (4.261)	совпадают, но только
в	(4.260) т		изменяется		от 0 до со , а в			(4.261)	от	— с ю
до	0.	Условие (4.259)			означает,		что П0 г является			про
должением			Q0z.	Так как		Q0z(—оо)	= 0,	а П 0 г ( о о ) = 0,

то П0 г и Q0z могут быть отличными от нуля лишь в том

случае, если на фазовой плоскости системы-^-= F (z, у0, 0) имеется замкнутая траектория, исходящая из ф(г/0 , 0) и входящая в ту же точку (петля). Оставляя в стороне этот исключительный случай, приходим к выводу, что

					no z = Q0 z=0.				(4.262)
Далее,		из (4.256)
						Уі =	Угі})-		(4.263)
Кроме	того		(см. (3.123))
							со
				а ( О )		= 0і +	$іУ(т)гіт.			(4.264)
							о
Но в	силу		(4.262)		П о	/ ( Т ) З Е 0 И тогда из		(4.263),		(4.264)
получаем		у1(0)		=	у1(1).
Как уже говорилось в начале данного								пункта,		разре
шимость		уравнения			Ro	= 0 относительно у0,			k компонент
no z(0)	и	M—k		компонент			Qo z(0) вместе	с	требованием

отличия от нуля соответствующего определителя обеспечи вает разрешимость уравнений R.k=0 относительно yk и соответствующих компонент Ukz(0) и Qkz(0). В рас сматриваемой задаче о периодических решениях уравне ния относительно у0, yt отделяются (см. (4.257), (4.263)); то же самое будет иметь место и для любого ук. Нетрудно

показать		непосредственно	для рассматриваемого	случая,
что	разрешимость (4.257)		относительно у0 при	отличии
от	нуля	соответствующего	определителя
		д < У о ( и у . ) - У , ) # 0		(4.265)

à А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов

162

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[гл. 4

обеспечит

разрешимость

(4.263) относительно

ух.

Иными

словами, можно сказать,

что

требование

периодичности

y0(t)

вместе с условием (4.265) обеспечивает существова

ние

периодического

решения

y^it).

(В

упомянутых

рабо

тах,

посвященных

периодическим решениям,

требова

ние

(4.265)

также

употребляется,

но

обычно

другой,

эквивалентной

форме;

см. [16].)

Исследуя

дальнейшие

члены

асимптотики,

нетрудно

получить,

что все

ïlkx

= Qkx=0.

Например,

для

k=\

обращение Пх«/ и Q^y в нуль

является

прямым

следст

вием

(4.262).

Что

касается

Q{Z,

то

в силу

(4.262)

они удовлетворяют одному и тому же уравнению с постоян

ными

коэффициентами

= ^ ( ф ( У о . О ) , у 0 , 0 ) П і 2

( т > 0 ) ,

= M<PG/o.O),0.,O)Ql Z

( Т < 0 ) ,

откуда при условии ïl1z(0)

= Q1z(0),

выводимом анало.

гично (4.259), и

условии

П 1 2(оо) = 0, Qtz(—оо)

= 0

полу,

чаем

i z = QI z=Ö. Для остальных

доказательство ана.

логично.

Что

касается

xk(t),

то

все

yk(t)

должны

подчиняться

требованию

периодичности

У*(0) = #А (1)

этому

требованию

можно

удовлетворить,

как

и для

k =

силу

условия

(4.265).

Периодичность

zk(t)

получается

как следствие периодичности

yk(t).

Таким образом, характерной особенностью задачи о

периодических

решениях

является

отсутствие

погранич

ных

членов.

Асимптотическое

разложение

решения

пред

ставляет

собой

ряд

по

степеням

р,

коэффициентами,

зависящими

от

Случай, когда система (4.89) автономна,

т. е. в

пра

вых

частях

не

содержится

мы

детально

разбирать

не

будем.

Заметим

только,

что

этом

случае

величина

периода

заранее не

известна

и Т

следует искать

также

виде

разложения

по

р. Мы

приходим,

таким

образом,

задаче,

содержащей

неизвестный

параметр

крае

вых условиях (ср. п. 3

§ 13). Соответствующие

выклад

ки

для

асимптотически

устойчивого

случая

приведены

[16].

§ 1 5 ]

ВНУТРЕННИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ слой

163

§15. Краевые задачи с внутренним пограничным слоем

1.Предварительные замечания. До сих пор мы рас сматривали случаи, когда в построении предельной векторфункции, к которой при р —>• 0 стремится решение исходной краевой задачи, и вообще в построении асимптотики

участвовал только один корень z = q>(y, t) уравне ния F {z, у, t) = 0, на который накладывались определен ные требования.

Однако может случиться так, что в построении пре дельной вектор-функции нужно использовать не один,

(О

а несколько различных корней z = (p(y, t) уравнения F(z, у, t) = 0. При этом внутри промежутка [0, 1] возни кают зоны, в которых решение рассматриваемой задачи быстро переходит из окрестности вырожденного решения,

(/)

определяемого корнем ф, в окрестность вырожденного

<*)

решения, определяемого корнем ф (мы будем кратко гово-

(/)<*)

рить: переход с корня ф на корень ф), т. е. наблюдается так называемое явление внутреннего пограничного слоя.

Таким случаям и будет посвящен настоящий параграф.


2. Переход с корня,		устойчивого влево,			на	корень,
устойчивый вправо *).		Рассмотрим		сначала	следующий
модельный случай (г и у—скалярные				функции):
H ^ - = F(z,	у, t),	- § - = z		( 0 < * <	1),	(4.266)
у(0,	ц) = 0, у(\,		р) = 0.			(4.267)
Пусть уравнение F (z, у, t)=0						V)
			имеет два корня г = ф (у,Ч)

(i — 1, 2). Этим корням соответствуют вырожденные урав нения

j -	(0	(0 <0 (£)
f - = z ,		5 = ф(у, t) ( i = l , 2).

ü>

Определим y(t) первым из условий (4.267), т.е. условием

(1)(2)

г/(0) = 0, a y(t)—вторым из условий (4.267), т.е. усло-

*) Такой переход рассматривался в работах [61, 14].

164					КРАЕВЫЕ	ЗАДАЧИ			[ГЛ. 4
	(2)					(1)	(2)
вием	г/(1) = 0.			Пусть	кривые	y = y(t) и y = y(t)		пересе
каются		в	некоторой точке tg,			причем 0 <	< 1,	и	пусть
	(1)	<1>		<і>		(2) (£)	(2)
F*{<t(y(t),t),				y(t),t)>Q,		F2(y(y(t),t),	y(t),t)<0,
									(4.268)
т. е. вдоль			<1>		(i)		влево,	a	вдоль
т. е. вдоль			y (t)	корень cp (y, t) устойчив			влево,	a	вдоль
(2)			(2)
y(t)	корень ц>(у, t)				устойчив	вправо.

Обозначим через y(t) ломаную линию

^ 0 = (	1 ( '	) П Р И	° < ' < ' П '	(4.269)
I	у it)	при	/ 0 < * < 1 .

Очень простыми рассуждениями можно убедиться в том, что существует решение уравнения (4.266), имеющее для переменной у в пределе ломаную линию (4.269), и что это решение приближенно удовлетворяет условиям (4.267). Действительно, рассмотрим для (4.266) задачу с началь ными условиями в точке t0

	У (to, Р) = У°, z(*o,		р) = 2 ° ,		(4.270)
где у° — известная		величина, равная	(І>	(или, что т о ж е
где у° — известная		величина, равная	y0(ta)	(или, что т о ж е
	(2)
самое,	y0(t0)), а	г°—произвольное	число	из	интервала
(1)	(2)

(ф(*Л tg), Ф(//°, tg)). Предполагая, что в указанном интер вале нет других точек покоя присоединенной системы

•^ = F(z, у", tg), получим согласно § 7, что «/-компо нента решения задачи (4.266), (4.270) имеет слева от t0 в ка-

честве предела при р —* 0 величину у (t), а справа от /„ —

(2)

величину y(t). Так как эти функции удовлетворяют усло виям (4.267), то y(t, р) при достаточно малых р в точках t = 0 и / = 1 будет близко к нулю. Таким образом, мы получили приближенное решение краевой задачи (4.266), (4.267). При этом г° в большой степени произвольно.

ВНУТРЕННИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

165

Естественно ожидать, что, пользуясь этим произволом, можно добиться того, чтобы решение начальной задачи (4.266), (4.270) в точности удовлетворило (4.267). Даль нейшие строгие рассуждения (они будут проведены для случая несколько более общего, чем (4.266), (4.267)) под твердят это предположение.

Характерной особенностью такого решения является то, что пограничный слой имеется не вблизи начала или конца отрезка [0, 1], как это было в рассмотренных выше слу чаях, а в окрестности некоторой внутренней точки t0 этого отрезка. Поэтому такой пограничный слой называется

внутренним пограничным слоем.

Интересно отметить, что для задачи (4.266), (4.267) не существует, вообще говоря, решения такого типа, как


рассмотренное		в	§ 13. Действительно,			уравнение		(4.16)
в	данном случае		имеет	вид у„ = 0, г/0 (1,			у0) = 0;	г„ сюда
не	входит, и	мы, таким		образом,	имеем		два уравнения
с	одним неизвестным у0,			которые	могут	оказаться		несов

местной системой, другими словами, у0 = 0 может не удов летворить второму уравнению.

Перейдем теперь к систематическому рассмотрению задачи для системы более общего вида, имеющей решение с внутренним пограничным слоем, откуда результат, отно сящийся к (4.266), получится как частный случай.

Рассмотрим систему (с произвольными пока размер


ностями M	и m векторов		гну)
\x^- = F(z,	у, t),	4L = f{z, у,		t)	( 0 < ^ < 1 )	(4.271)
с краевыми	условиями
	R(x(0, р),		х(\,	р)) =	0,	(4.272)

где R — (M + т)-мерная вектор-функция. Это та же задача, которая была рассмотрена в § 13, но здесь будет постро ено ее решение, обладающее иными асимптотическими свойствами, а именно, имеющее внутренний пограничный слой. Условия на правые части (4.271), которые нала

гаются в ходе исследования,			будем нумеровать, как		и в
предыдущих	разделах,	I , I I , ...
I . Пусть	уравнение	F (z,	у,	t) = 0 имеет два	корня

(1)(2)

z = q>(y, t) и 2 = ф(г/, t), каждый из которых определен

166		КРАЕВЫЕ	ЗАДАЧИ		[ГЛ. 4
соответственно		(О		2) пространства	пере
		в области D(i=l,
менных	(у, t).
Будем исследовать задачу			(4.271), (4.272) по схеме § 13
в том	смысле,	что подставим	в	(4.272) асимптотическое

представление решения некоторой вспомогательной задачи для (4.271). В соответствии с предполагаемым типом

решения

качестве

вспомогательной

задачи

рассмотрим

задачу с начальными условиями в некоторой

внутренней

точке

(пока

не

известной)

сегмента

[0, 1]

(в

отличие

от §

13, где начальной

точкой было t — 0)

x (t0,

р) =

х0

р*! +

. . . +

\ikxk

+ . . . ,

(4.273)

где xk—не

известные

пока параметры.

Асимптотику

решения начальной задачи (4.271), (4.273)

будем искать

виде

(см. § 9)

<і>

(О

x(t,

\i) = x(t,

p)+Qx(T,

р.)

при

0 < / < ? 0 ,

(4.274)

(£)

(2,

x(t,

\i)

x(t,

р) +

Пх(т,

р)

при

^ 0 < * <

(4.275)

где в соответствии с замечанием 2 § 11 символ

Q означает

пограничные

члены

вблизи

правого

конца

промежутка

О ^

t ^

t0,

а П — пограничные члены вблизи левого конца

промежутка

% = (t — t0)/\i.

При

построении

асимптотики

на

[0, t0]

будем

использовать

корень

(1)

(2)

у (у,

t),a

на

[*0,

1]—корень

<р(у,

t).

Для

х0

(t)

получаем уравнения и начальные

условия:

^ ° -

/(z„,

уи,

t),

2 0 =

ф(у0 ,

( i = l , 2),

(4.276)

УоСо) =

У»Ѵо) = Уо-

(4.277)

Предположим, что эти начальные задачи имеют

решения

на

соответствующих

сегментах

при

произвольных у0, t0

из некоторой области их изменения.

Для

определения у0 и t0

воспользуемся условием

(4.272).

Подставив в (4.272) разложения

(4.274)

и (4.275),

ВНУТРЕННИЙ

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

167

получим

О)

<£)

(2)

/ ? ( * . ( 0 ) + | J W 1 ( 0 ) + . . . . x 0 ( l ) + f x x 1 ( l ) + - - - ) =

/?. + ц / ? 1 + . . . = 0

(4.278)

(пограничные

члены в

точках

t = 0 и

^ =

1 экспоненци

ально малы и мы их отбрасываем). Из (4.278) в нулевом

приближении

имеем

О)

(2)

Я 0

= Я(д:0 (0),

*.(1)) = 0.

(4.279)

эту систему

уравнений

в качестве

неизвестных

входят

(£)

<£)

(«)

(£)

г/0

/0 , так

как

j / 0 ( 0 и

(*) = ф (#„ (О,

зависят

от

г/0

как от

начальной

точки. Таким

образом,

М-\-т

уравнениях

(4.279)

имеем

т + 1 неизвестных у0,

и, сле

довательно, система (4.279), вообще говоря,

переопределена.

Поэтому сделаем

следующее предположение.

I I .

Пусть

z—скалярная

функция,

т.е.

М=\.

В силу предположения

I I число неизвестных в системе

(4.279)

будет

равно числу

уравнений.

I I I .

Пусть

система

(4.279)

имеет

решение

уй = уІ,

/,=

/8,

0 < f g <

(1)

(2)

причем

(у°о, t°0)£D,

(у°0,

t°0)ÇD.

Кроме

того, предположим,

что соответствующий

функциональ

ный

определитель

D(R0)

= = д о о ^ о .

(4.280)

D (у0, to)

Уо=УІ

Определив значения yl, t%, окончательно находим члены

<£>

х0 ( 0 ( » = 1 ,

разложений (4.274),

(4.275).

IV. Пусть

(Г)

( 1

)

* <

(2)

(

)

{у, (t), t)£D

при 0 <

t%, а {у, (t),

t)ÇD

при

^ < * <

Пусть

(D О)

<J_)

£ г (ф(«/о(0,

t),

у»(t),

t) > 0

при

0 < ^ < ^ ,

Я П

(2) <£>

(з

^ . Z

^ Л Ф Ы О ,

Уо(і),

t)<0

при

« < * < 1 .

(ср. с

(4.268)).

168

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

(2) (1)

Перейдем к пограничным членам П0 л:(т), Q0x(x). Как обычно,

			(1)		(2)
(П		(2)	Q0y(x)		= U()y(x)^0,		(4.282)
(П		(2)
a Q0z (т) и П„2 (т)				удовлетворяют следующим			уравнениям
и начальным			условиям:
^ =	^	( Ф	« t°)+QBz,		уі,	Ц)(х =	О
(D		d)					(4.283)
Qoz(0)	= z0-<p(yl,			К).
. й 1 ,		(2)		(2)		/
(2)		(2)					(4.284)
IIo z(0) =		zo -cpG/»,
Если		в	(4.283)	сделать		замену переменных z(x) =

d)d)

= ф ( # о > *S) + Q O Z ( T ) , а в (4.284) замену переменных Z ( T ) =

(2)(2)

= ф ( У о ,	*°>) + П„г(т),		то в обоих случаях			получится				одна
и та же система уравнений:
		§=Р(г,		уі	Ц),				(4.285)
		z(0) = z0 ,						(4.286)
являющаяся		присоединенной системой (см. (2.23)),								отне
сенной к точке (г/2, tl). Напомним, что у°0 и tl								уже опре
делены,	а z0	остается	пока не известным.
Потребуем, как обычно,				чтобы	(1)	(2)		г(т)		удов-
					Q0z(x)	и П0
		(1)				(2)
летворяли условиям			Q 0 Z ( T ) - > - 0		при т-> — с»,				П 0 г ( т ) - * 0
при %->оо.		В переменных		г(т) это означает,			что г(т) -»•
(I)	tl)		~	(2)		tl)	при		г - ^ с о .
— Ф(г/°„		при т - > —оо,		г(т) —ф(г/°,

Отсюда следует, что г0 должно принадлежать области вли-

	(1)
яния	точки покоя y(yl, tl), асимптотически устойчивой
при	т-»- — со в силу V, и точно так же z0 должно при-
	(2)

надлежать области влияния точки покоя <f(yl, tl), асимп тотически устойчивой при г - * » в силу того же V. Так как z—скалярная функция, то это требование можно

ВНУТРЕННИЙ

ПОГРАНИЧНЫЙ

СЛОЙ

169

выразить

проще:

должно

принадлежать

интервалу

(1)

(2)

§ 7).

«p

(ф(Уо, П),

Ф (г/«, /g)) (см. п. 5

Чтобы

определить

z0,

нужно рассмотреть

члены

х1 (t)

( і = 1, 2),

которые удовлетворяют следующим

уравнениям

и начальным

условиям:

(£)

<£>

(£>

(£)

j -

(О

(£)

(£) <£)

^ r

= Fg{t)z1

+ Fy(t)ylf

^=fz(t)z1

+ fy(t)y1,

(4.287)

(О

(£)

где Fz(t)

= Fz(z0(t),

y0(t),

и аналогичный смысл

имеют

(£)

(О

M ' ) . 7,(0. /,(0.

01 ('S) = 0 i +

о Qo/(t)A,

(4.288)

<J>

? S(2)

(4.289)

0i ('S) = 01 +

J П 0 / (т) dt.

(£)

Отсюда

определяются

y t ( 0 и z1{f),

зависящие через на

чальные

условия

(4.288),

(4.289)

от

неизвестного

пара-

(1)

метра ух и неизвестного параметра z0 , входящего в Q 0 / ( T )

(2)

и П0 /(т). Для определения этих параметров из (4.278) имеем систему уравнений R1 = 0, которая в более под робной записи имеет вид

		(О		(2)
		#0 і*і(0) +		Д$хг (1) = 0			(4.290)
(обозначения		RI и R2	аналогичны тем, которые				исполь-
зовались в § 13). Так			как x^it)<_£>		согласно (4.287) —(4.289)
являются	функциями		yt и	z0 ,	то (4.290)	представляет
собой систему		/ п + 1 уравнений			относительно	т + 1		неиз
вестных ylt	z0.
• V I . Пусть		(4.290)	имеет		решение 0 1 = 0 ? ,		z0	= zg,
					(1)	(2)

причем z\ принадлежит интервалу (ф(08, ^о). ф(0о. К))-

Сравним функциональные определители системы R0—0 относительно переменных у0, ta и системы Я ^ О относи-

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ