
книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений
.pdf130 |
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ |
[гл. 4 |
т. е. содержащих одну экспоненту с положительным по казателем и ft экспонент с отрицательными показате лями. Вынося за скобку
|
|
|
|
|
|
e x p f - i |
j k y ( s , |
|
v)ds |
|
|
|
|
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
uj(t, |
li) |
= (bj(t) + 8/(t, |
|
e x p |
^ 1 J X y |
(s, Li)ds |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(/ = |
* + ! , |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
оД^, |
LI) не являются, вообще |
говоря, малыми |
вблизи |
|||||||||||
точки^ 0 , |
но на |
сегменте |
t0 < t0 ^ |
t ^ |
tx |
(/„ = а0(х | In ц |, |
|||||||||
где |
Й 0 |
( Û 0 |
> а0 ) достаточно |
велико) |
|
6у (*, ц) —* 0 при |
|||||||||
д.—>-0 |
равномерно относительно t. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Аналогичным |
образом |
можно |
построить ft линейно не |
|||||||||||
зависимых |
решений, удовлетворяющих |
условию |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
bu(tlt |
ѵ) = 0. |
|
|
(4.182) |
|||||
|
Полученный результат |
сформулируем |
в виде |
леммы |
|||||||||||
(значок |
~ |
над и • опускаем). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Л е м м а 4.7. При достаточно |
больших |
а0 и а1 |
и до |
|||||||||||
статочно |
малых |
ц система (4.167) |
имеет на [t0, tj] фун |
||||||||||||
даментальную |
систему |
решений, |
состоящую из ft |
решений |
|||||||||||
Uj(t, |
p) |
= |
yj(t, |
ii)exp(-j-§kj(s, |
|
|
n)ds) |
( / = 1 , |
ft), |
|
|||||
удовлетворяющих |
условию |
(4.182), |
и M—ft |
решений |
|
||||||||||
Uj(t, |
|
|A) = |
|
|
|i) e x p |
^ |
y - j к] (s, |
LI) ds^ |
(j = k+l, |
... |
|||||
удовлетворяющих |
условию |
(4.180), где |
|
|
|
|
|||||||||
|
yf(t, |
|
fi) = (b/ (0 + ô/ (^, ji)) |
|
( / = 1 , |
. . . . M), |
|
||||||||
причем |
вектор-функции |
è^(t, |
LI) |
|
удовлетворяют |
условию |
|||||||||
bj(t, |
|i)—i-0 |
при jo,—>0 |
на |
сегменте |
t0^.t^.t1 |
|
для |
||||||||
І — 1, ..., |
k и на сегменте |
t 0 ^ t |
^.tl |
для j = ft + 1, ..., |
M |
§ 14] |
|
УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ |
|
|
|
131 |
|||||||
равномерно |
относительно |
t (t0 |
= |
а 0 р \\n\i\,t1=\ |
|
—axp j In p |, |
|||||||
где а0 |
и |
ах (а0 |
< а0, ах |
< ах ) |
достаточно |
велики, |
|
но |
фик |
||||
сированы |
|
при р — • ()). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем |
построенную |
ф. с. р. |
(4.167) |
в |
матричной |
||||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V(t, |
v) = y(t, р) X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xdiag ^ |
'» |
, . . . , e |
' i |
, e <•> |
, ...,e |
*° |
) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.183) |
где у |
|
p)—матрица,столбцами которой являются yj(t, р). |
|||||||||||
Для дальнейшего важно не только то, что Dety(^, |
|
р)=й=0 |
|||||||||||
и, следовательно, существует y~x{t, |
р), |
но нужна |
|
равно |
|||||||||
мерная |
ограниченность у~*У, |
р) при tg^t^tj^ |
|
и доста |
|||||||||
точно |
малых |
р ( 0 < р < р 0 ) . При і 0 |
^ £ < ; ^ |
в силу |
свой |
||||||||
ства вектор-функций ôf(t, |
р), очевидно, |
имеет место ра |
|||||||||||
венство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Detv(f, |
|і) = Det В (/) + ô (f, p), |
|
|
|
||||||
где ô(t, |
p)—»-0 |
при p—>-0 |
равномерно |
относительно t. |
|||||||||
Отсюда |
следует, |
что при t0^.t^.t1 |
и |
при достаточно |
|||||||||
малых р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|Detv(*. |
|
р ) | > с > 0 . |
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим сегмент [t0, t0]. |
В точке |
t0 |
предельная |
мат |
|||||||||
рица для y(tg, р) при р—»-0 будет |
иметь вид |
|
|
||||||||||
jtaTt/ .. |
|
rt-*-(£jg |
|
в „ ( |
о ) + ° в „ ( 0 ) с ) ' ( 4 Л 8 4 > |
-(Щ
где C=\CiJ—матрица |
с размерами kx(M—k) |
(i = |
||
= 1, |
k; / = £-+-1, |
M), элементами |
которой яв- |
|
ляются предельные при р—*-0 значения |
(ïï |
|
||
с,- для величин |
||||
(/) |
|
|
|
|
с-, (і = 1, |
k; j = k-\-l, |
M), определенных |
из си |
стемы (4.181).
У п р а ж н е н и е . Проверить равенство (4.184).
132 |
|
|
|
|
|
|
КРАЕВЫЕ |
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
[ГЛ. |
4 |
|||
Так |
как |
В12 |
|
(0) + Ви |
(0) С = 0 |
(именно |
так |
выбира- |
||||||||||
|
(/) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лись |
с,), |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Det ѵ„ - |
Det |
/ Я ц |
(0) |
|
0 |
|
- |
\ |
|
I = |
|
|
|
|
||||
иеіѵо |
и е |
\ в 2 |
1 ( 0 ) ß 2 2 ( 0 ) _ + ß 2 1 ( 0 ) C y |
|
|
|
|
|
||||||||||
_ |
|
(Bu(0) |
|
|
-В11(0)С\_ |
|
|
|
(Ви(0) |
|
B12(0f |
|
||||||
-Uel\B21(0) |
|
|
|
|
ß 2 2 ( 0 ) |
J--\BU{Q) |
|
|
|
|
ß 2 2 ( 0 ) , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Det В (0) ф 0. |
|||
Так |
как t0 |
= а„р, | In р | —->- 0 при р,—*0, то отсюда сле |
||||||||||||||||
дует, |
что |
при |
tÇ,[tn, |
t0] |
и |
при |
достаточно |
малых |
ц |
|||||||||
I D e t Y U . |
|
M . ) | = |
| D e t ß ( 0 ) | + |
o(/, |
р , ) > с > 0 . |
Аналогично |
||||||||||||
можно |
доказать, |
|
что | Det y(t, |
р.) | ^ |
с > 0 при ^ ^ t ^ |
|
||||||||||||
0 < р , ^ р 0 |
. |
Тем самым доказана |
равномерная |
ограничен |
||||||||||||||
ность |
|
Y " |
1 |
(t, |
\х) |
при ^0 |
t <; |
0 < |
р ^ р,0 . |
|
|
|
||||||
в) Построим теперь решение u0(t, |
р.) системы |
(4.167), |
||||||||||||||||
удовлетворяющее |
краевым |
условиям |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
au0(t0, |
|
\i) = au°, |
|
bu0(tlt |
\i) = bu°, |
|
|
|
|||||||
или, |
что то же |
самое, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
au0(t0, |
|
|
|
|
\>) = {а+Ь)и» |
= и\ |
(4.185) |
||||||||
где «°—заданный |
постоянный |
вектор. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Будем |
искать |
u„{t, ц) в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ua{t, |
\i) = U(t, |
\х)с, |
|
|
|
|
|
где U (t, р)—фундаментальная матрица, определенная фор мулой (4.183), с—неизвестный постоянный вектор. Усло вие (4.185) дает
|
[aU(t0, |
\i) + bU(tlt |
ц)]с = и°. |
|
|||
Покажем, что существует |
[aU(t0, |
\i)-\-bU |
(tu \x)]~l |
и тогда |
|||
|
c=[aU(t0, |
|
\i) + bU(tlt |
p.)]"1 «0 , |
|
||
a следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
u0(t, |
p) = U(t, p)[aU(t0, |
ц) + М/(*„ |
p ) ] _ 1 u°. (4.186) |
||||
Учитывая, |
что |
p.) |
удовлетворяет |
условию |
(4.182) |
§ U ] |
|
|
|
УСЛОВНО |
УСТОЙЧИВЫЙ |
СЛУЧАЙ |
|
|
|
133 |
|||||||
при / = |
1, |
. . . , k и условию |
(4.180) |
при / == А + |
|
1, ..... /И, |
|||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
г to |
|
|
t, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Y n C o . |
p)diag |
ye |
t l |
, |
...,е |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
' |
( |
и |
Г |
, |
" |
|
™ |
|
|
|
|
|
|
|
V a i C o . |
P.)diag |
ye |
'« |
, . . . , e |
'« |
|
|
Y22 Co. Ц) |
|||||
at/ (/0 , |
ц) = |
|
V u |
Co. H)diag |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично |
получается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W f t , |
|
|І) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 J |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(4.187) |
|
|
|
Г |
|
|
|
' |
' i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
\Ум(к< |
P)diag |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
... . . . |
• .." |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
all (t0, |
rt |
+ |
bUih, |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
r |
'U |
|
|
|
to |
|
Л i |
|
|
|
|
|
|
V n Co. H) diag |
U |
|
|
e |
'* |
) |
j |
0 |
|
|
|||||
|
|
у 0 |
i V 2 2 С,., Ц) diag |
ie |
|
|
|
e |
|
|
j ) |
|
|||||
Так |
как при р,—*0 уп (*<>. р)—*Ди(°)> у2г(к, |
I 1 ) — " ^ г О ) . |
|||||||||||||||
то в |
силу |
условия |
4° |
при достаточно |
малых |
р, |
сущест- |
||||||||||
' вуют и ограничены ѴГіЧАм |
M*) и Тй1 |
(*і. !*•)• |
По |
формуле |
|||||||||||||
(4.55), |
• учитывая,- что |
в - нашем |
случае |
Аіг=^ |
Аіг |
— 0• и', |
134 |
|
|
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ |
[ГЛ. 4 |
|
следовательно, # = Л2 2 , получим |
|
||||
[aU(t„ |
ii) + |
bU(tlt |
= |
|
|
С |
( |
и |
и |
\ |
|
diag [e |
u |
, . . . . e |
j У V u 1 (<o> (A) |
0 |
|
|
|
|
|
|
.(4.188) |
^ 0 |
i diag |
(e |
|
e |
|
Из (4.187), используя (4.183) и (4.188), получим оконча тельно
"о (Л H ) = Y C І ^ ) Х
x
Отсюда следует, что если и° = 0, то u0{t, L I ) S = 0 , Т . система (4.167) с однородными краевыми условиями (4.180), (4.182) имеет только тривиальное решение, а следова тельно, задача (4.167), (4.185) имеет единственное реше ние. Полученный результат сформулируем в виде леммы.
Л е м м а |
4.8. |
При |
достаточно |
больших |
а0 и at и |
||||||||
достаточно малых ц решение краевой задачи |
(4.167), |
(4.185; |
|||||||||||
существует, |
единственно |
и |
представимо |
в |
виде |
(4.189 |
|||||||
г) Перейдем к построению матричной |
функции |
Гринй |
|||||||||||
G(t, |
s, |
LI) |
для |
краевой |
задачи (4.165), |
(4.180), |
(4.18!^. |
||||||
Существование и единственность G(t, s, |
LI) |
вытекает из |
|||||||||||
того, что, как только что |
было |
показано, |
однородщя |
||||||||||
краевая задача (4.167), (4.180), (4.182) |
имеет только т^и-. |
||||||||||||
виальное |
решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Будем искать |
G(t, |
s, |
\і) |
в |
виде |
(см. [46]) |
|
||||||
G(t, |
s, |
|
( |
U (t, |
[i)V(s, |
|
LI) |
при |
/ „ < / < s < / 1 , |
||||
ii) |
= \ |
и (t, |
\i)W |
(s, |
LI) |
при |
/0 |
< |
s ^ / sg; ^ . |
Матрицы V (s, ц) и W (s, p.) в соответствии с определением
|
|
|
|
УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ |
СЛУЧАЙ |
|
|
135 |
||||||||
G(t, |
s, |
р) должны |
удовлетворять |
условиям |
|
|
|
|||||||||
|
|
aU |
(t0, p) V(s, p) + bU (tlt |
p) W (s, |
p) = |
0, |
|
|
||||||||
|
|
|
U |
(s, ii)W(s, |
p ) - f / ( s , |
|
p)K(s, |
p) = ^ . |
^ Л У и ; |
|||||||
Из (4.190) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V (s, |
( 1 ) = - [ a £ / ( / 0 , |
|i) + |
|
M / ( * l |
f |
P ) ] - 1 |
^ ^ , |
p)c/-!(s, |
p). |
|||||||
Учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U-*(s, |
p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/ |
s |
|
|
|
s |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
—— Ç X.ds |
|
——- Г Xtrfs |
|
—— \hk + tds |
|
|
||||||
= |
diag |
\e |
M. J |
, . . . , |
fi |
J |
|
* |
e |
|
И J |
, . . . |
|
|||
'» |
e |
'» |
|
, |
|
'» |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
..., |
e |
|
'« |
У |
1(s, |
p). |
||
a также формулы (4.187), (4.188), получим |
|
|
|
|||||||||||||
V(s, |
p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
diag |
|
'° |
, . . . , |
e |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
........ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
5 |
XMds |
|
|
|
|
|
|
0 ; diag |
*' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Xi |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Ï ! s ( ' i . p.)diag |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
diag |
\e |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
.... |
e |
|
) |
У 1 |
(s, |
(0 = |
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y-1(s,n) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
||
|
|
|
|
|
f |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 diag |
... |
] |
J |
136 |
|
|
|
|
|
|
КРАЕВЫЕ |
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
[ГЛ. |
4 |
|||||
В ^результате при ^ |
0 ^ ^ |
^ s |
^ |
^ |
i |
имеем |
|
|
|
|
|
||||||||
G(f, |
s, |
|г) = |
£/(*, |
p)V(s, |
v) = y(t, |
ц ) х |
|
|
|
|
|
|
|||||||
X |
О J |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
! |
|
( |
|
s |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
О idiag ye |
|
* |
, |
..., |
e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
|
в силу |
равномерной |
ограниченности |
y(t, |
jx) |
и |
||||||||||||
7 - 1 (s , \І) непосредственно вытекает |
неравенство |
|
|
|
|||||||||||||||
|
\G(t, |
s, |
[ А ) | | < с е х р |
|
X (s— |
|
:сехр |
^ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
при |
^ o ^ ^ ^ s ^ ^ , |
0 < р , ^ ц о |
. |
Аналогичную оценку для |
|||||||||||||||
G(t, |
s, |
р,) можно |
получить |
(выражая из (4.190) |
W (s, р.)) |
||||||||||||||
при |
t0 ^ |
|
t ^ tl t |
0 < [А ^ |
ц0 . Тем самым |
доказана |
сле |
||||||||||||
дующая |
|
4.9. При достаточно |
больших |
а0, |
а, и доста |
||||||||||||||
Л е м м а |
|||||||||||||||||||
точно |
малых |
р, |
матричная |
|
функция |
Грина |
G (t, |
s, |
ц) |
||||||||||
краевой |
|
задачи |
(4.165), (4.180), |
(4.182) |
существует, |
един |
|||||||||||||
ственна |
|
и удовлетворяет |
неравенству |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
\\G(t, |
s, |
[ х ) | | < С е х р ( - ^ Ь і і ) , |
|
(4.191) |
|||||||||||
|
4) Сегмент |
[0, |
/ 0 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a) Рассмотрим вначале вспомогательную систему (4.170). |
||||||||||||||||||
Аналогично |
тому, |
как это |
было |
сделано |
для (4.167) н; |
||||||||||||||
[А>» *і]> Д л я системы(4.170)на |
полупрямой 0 < |
Ьа^х0 |
< о о |
||||||||||||||||
где |
Ь0 |
достаточно |
велико, |
можно |
построить, |
пользуясі |
|||||||||||||
методом |
работы |
[50], ф . с . р . |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
иДто ) = £(0)аДто )ехр(Я( .(0)то ) |
|
( і « 1, . . . , M), (4.192; |
|||||||||||||||||
где |
а,- (т0 ) определяется |
уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
^ |
= |
(А (0) - |
Я, (0) Ем) |
а, + D (т0 ) а, |
|
(4.193> |
|||||||||
и условиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
а{ (Ь0) = 0, |
при |
Re-Я, (0) > |
Re \, (0), |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
аНоо) = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.194 |
|
|||||
|
|
а,'(оо) = 0 |
при |
Re%t(0)<ReX,(0), |
|
іф\. |
|
|
§ 14] УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ 137
Здесь
|
D ( T u ) = |
ß - 4 0 ) A 0 ( T 0 ) ß ( 0 ) , |
(4.195) |
|||||
а величина Ьй выбирается |
столь |
большой, |
чтобы |
интег |
||||
ральный оператор |
эквивалентной |
системы |
интегральных |
|||||
уравнений для |
а ( (т 0 ) |
был |
сжимающим. Такой выбор Ь0 |
|||||
возможен, так как в силу |
(4.169) |
|| £>(т0) | | < с ехр (— хЬ0 ) |
||||||
при т 0 > 6 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор-функцию |
а,(т0 ) можно представить в виде |
|||||||
|
|
а, (т0 ) = |
^ + 6,. (т0 ), |
|
|
(4.196) |
||
где II е,- (т0 ) II ^ |
с ехр (— хт0 ) |
(по поводу постоянных с и к |
||||||
см. замечания |
1 и 2 из п. |
3 § 10). |
|
|
|
|||
Продолжая непрерывным образом построенные реше |
||||||||
ния а,.(т0 ) ( і = 1 , |
|
M) уравнений |
(4.193) от Ь0 |
до 0, |
||||
получим для (4.170) ф . с . р . |
вида (4.192) на [0, оо), при |
|||||||
чем для а,.(т0 ) справедливо представление (4.196). |
|
|||||||
Обозначим |
через а(т 0 ) |
матрицу, |
столбцами которой |
являются сс,(т0 ). Установим важное для дальнейшего не равенство
Det(5(0)a(0))u =^0. |
(4.197) |
|
Предположим противное |
и рассмотрим решение |
(4.170) |
k |
k |
|
« Ы = 2 °iüi (т°)= |
È с ' в ( ° ) а / (т о) е х Р (хі ( ° ) т о ) , |
которое, очевидно, стремится к нулю при т0—>-оо. Посто янные с( (не все равные нулю) можно выбрать так, что и (т0 ) будет удовлетворять условию
au (0) = 0.
В самом деле, из этого условия получим относительно с{ (і= 1, . . . , & ) систему линейных уравнений
а 2 cß (0)а,- (0) = 0, t=i
определитель которой равен Det [В (0) а ( 0 ) ) а , и,следователь но, если Det (В (0) а (0))и = 0, то существуют нетривиальные решения этой системы относительно ct. В результате получается нетривиальное решение и(т0 ) системы (4.170), удовлетворяющее условиям (4.171), что противоречит тре бованию 3°. Таким образом, имеет место неравенство (4.197).
138 |
|
|
КРАЕВЫЕ |
ЗАДАЧИ |
|
|
|
[ГЛ. 4 |
|
б) |
Обратимся теперь к системе (4.167) |
на [0, t0]. |
Сде |
||||||
лаем |
замену независимой |
переменной |
^ = т 0 р , после чего |
||||||
запишем (4.167) в виде |
|
|
|
|
|
|
|||
£- = [А(0) + А0(хв)\и |
+ Н(т0, р)м ( 0 < т 0 < т 0 = а 0 | 1 п р | ) , |
||||||||
° |
|
|
|
|
|
|
(4.198) |
||
где |
Я(т 0 , р) = Л (т0 |
р) —Л(0) + A j . |
Очевидно, |
|
что |
||||
\\H(r0, |
p) H—»-0 |
при |
р—>-0 |
равномерно |
относительно |
||||
т 0 € [0, т 0 ] . Всюду |
далее |
любые матрицы, а также |
вектор |
||||||
ные или скалярные функции, |
которые |
стремятся |
к |
нулю |
|||||
при |
р—>-0 равномерно |
относительно |
т 0 € [ 0 , т 0 ], |
будем |
обозначать для удобства одним и тем же символом со(т0 , р).
Таким образом, Я(т 0 , р) = ©(т0 , р). |
Замена неизвестной |
|||
функции ы = Б(0)т) приводит (4.198) |
к |
виду |
|
|
| î = A(0)r| + D ( T o ) r | + co(T0 , |
р)п , |
(4.199) |
||
где А(0) определяется формулой |
(4.172), a D(x0) — фор |
|||
мулой (4.195). |
|
|
|
|
Построим ф. с. р. (4.199) при |
0 < о 0 ^ т о ^ т о |
в виде |
||
p) = ß,-(x0, р)ехр(А~.(0)т0 ) |
(і = 1, . . . . M). |
(4.200) |
Подставляя (4.200) в (4.199), получим относительно Р,-(т0, р) уравнение
| i = ( A ( 0 ) - X , ( 0 ) £ M ) ß , . + D ( T 0 ) ß , + co(T0 , p)ß,, (4.201)
которое является по отношению к уравнению (4.193) ре
гулярно |
возмущенным |
уравнением. Зададим для ß , ( T 0 , р) |
|
краевые |
условия |
|
|
ß< (60) = а/(Ь0 ) = 0 |
при |
ReX, (0) > ReЯ, (0), |
|
ß/(*o) = «/(*o) |
при |
R e A , ( 0 X ReА; (0), |
где а,-(т0 )—решение краевой задачи (4.193), (4.194). Сравнивая решение ß ,-(T0 , р) краевой задачи (4.201),
(4.202) с решением а,(т0 ) краевой задачи (4.193), (4.194) при & 0 ^ т 0 ^ т 0 (для разности ß ,-(T0 , р)—ос,-(т0) нетрудно написать систему линейных интегральных уравнений со сжимающим оператором и малой правой частью), полу чим, что решение задачи (4.201), (4.202) при достаточно
УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ |
139 |
большом Ь0 и достаточно малых р существует, единственно и имеет вид
ß, (т0 , р) = а,- (т0 ) + со (т0 , р) (b0 < т 0 < т0 ; і = 1 , . . . , M). (4.203)
При непрерывном продолжении построенных решений ßi (то> Iх) уравнений (4.201) от Ь0 до 0 представление (4.203), очевидно, сохранится. Таким образом, система (4.198)
или, |
в переменных |
t, (4.167)) имеет на |
[0, т0 ] |
ф . с . р . вида |
|||
щ (т„ р) = В (0) ß, (т0 , р) ехр ( \ (0) т0 ) |
(і = 1 |
M), |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(4.204) |
причем для ß , ( T 0 , |
р) справедливо представление (4.203), |
||||||
где |
со (т0 , р)—>-0 |
при |
р-*—»-0 равномерно |
относительно |
|||
Вводя |
матрицу |
ß (т0 , р), столбцами |
которой |
являются |
|||
ß((To> И-)» в |
силу (4.203) |
получим |
|
|
|
Det (В (0) ß (0, p ) ) n = Det (В (0) а (0))п + со (р),
где через со (р) здесь и далее будем обозначать любую величину, которая зависит только от р и стремится к нулю при р —І- 0 . Отсюда в силу (4.197) следует, что при достаточно малых р
Det (В (0) ß (0, р))и |
Ф 0. |
(4.205) |
в) Используя ф. с. р. (4.204) и неравенство (4.205), как и в |
||
подпункте 36), можно построить |
M—k |
линейно незави |
симых решений «; -(т0 , р) (/ = & + 1, . . . , М) системы (4.198),
удовлетворяющих |
условию |
|
|
|
||
|
|
|
аи(0, ц) = 0 |
|
(4.206) |
|
и представимых |
в |
виде |
|
|
|
|
ы, (т0 , р) = |
у,(т0, |
|
р) ехр Çk;(0) |
т0 ) |
(j = k + 1, . . . , M), |
|
где |
|
|
|
|
|
(4.207) |
|
р) = Б(0)(е,. + |
е,.(т0) + со(т0, p)). |
(4.208) |
|||
Y |
/ ( T 0 , |
Здесь еу(т0 )—не те же самые функции, что в (4.196), но
удовлетворяют, |
как и в (4.196), неравенству |
|| (т0 ) || <; |
^ с е х р ( — х т 0 ) , |
вследствие чего используется |
старое обо |
значение. |
|
|