Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

.pdf
Скачиваний:
61
Добавлен:
24.10.2023
Размер:
8.96 Mб
Скачать

130

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[гл. 4

т. е. содержащих одну экспоненту с положительным по­ казателем и ft экспонент с отрицательными показате­ лями. Вынося за скобку

 

 

 

 

 

 

e x p f - i

j k y ( s ,

 

v)ds

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uj(t,

li)

= (bj(t) + 8/(t,

 

e x p

^ 1 J X y

(s, Li)ds

 

 

 

 

 

 

 

 

(/ =

* + ! ,

 

 

 

 

 

 

 

где

оД^,

LI) не являются, вообще

говоря, малыми

вблизи

точки^ 0 ,

но на

сегменте

t0 < t0 ^

t ^

tx

(/„ = а0(х | In ц |,

где

Й 0

( Û 0

> а0 ) достаточно

велико)

 

6у (*, ц) —* 0 при

д.—>-0

равномерно относительно t.

 

 

 

 

 

 

Аналогичным

образом

можно

построить ft линейно не­

зависимых

решений, удовлетворяющих

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

bu(tlt

ѵ) = 0.

 

 

(4.182)

 

Полученный результат

сформулируем

в виде

леммы

(значок

~

над и • опускаем).

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а 4.7. При достаточно

больших

а0 и а1

и до­

статочно

малых

ц система (4.167)

имеет на [t0, tj] фун­

даментальную

систему

решений,

состоящую из ft

решений

Uj(t,

p)

=

yj(t,

ii)exp(-j-§kj(s,

 

 

n)ds)

( / = 1 ,

ft),

 

удовлетворяющих

условию

(4.182),

и M—ft

решений

 

Uj(t,

 

|A) =

 

 

|i) e x p

^

y - j к] (s,

LI) ds^

(j = k+l,

...

удовлетворяющих

условию

(4.180), где

 

 

 

 

 

yf(t,

 

fi) = (b/ (0 + ô/ (^, ji))

 

( / = 1 ,

. . . . M),

 

причем

вектор-функции

è^(t,

LI)

 

удовлетворяют

условию

bj(t,

|i)—i-0

при jo,—>0

на

сегменте

t0^.t^.t1

 

для

І — 1, ...,

k и на сегменте

t 0 ^ t

^.tl

для j = ft + 1, ...,

M

§ 14]

 

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

 

 

 

131

равномерно

относительно

t (t0

=

а 0 р \\n\i\,t1=\

 

—axp j In p |,

где а0

и

ах 0

< а0, ах

< ах )

достаточно

велики,

 

но

фик­

сированы

 

при р — • ()).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем

построенную

ф. с. р.

(4.167)

в

матричной

форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V(t,

v) = y(t, р) X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdiag ^

, . . . , e

' i

, e <•>

, ...,e

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.183)

где у

 

p)—матрица,столбцами которой являются yj(t, р).

Для дальнейшего важно не только то, что Dety(^,

 

р)=й=0

и, следовательно, существует y~x{t,

р),

но нужна

 

равно­

мерная

ограниченность у~*У,

р) при tg^t^tj^

 

и доста­

точно

малых

р ( 0 < р < р 0 ) . При і 0

^ £ < ; ^

в силу

свой­

ства вектор-функций ôf(t,

р), очевидно,

имеет место ра­

венство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Detv(f,

|і) = Det В (/) + ô (f, p),

 

 

 

где ô(t,

p)—»-0

при p—>-0

равномерно

относительно t.

Отсюда

следует,

что при t0^.t^.t1

и

при достаточно

малых р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|Detv(*.

 

р ) | > с > 0 .

 

 

 

 

 

Рассмотрим сегмент [t0, t0].

В точке

t0

предельная

мат­

рица для y(tg, р) при р—»-0 будет

иметь вид

 

 

jtaTt/ ..

 

rt-*-(£jg

 

в „ (

о ) + ° в „ ( 0 ) с ) ' ( 4 Л 8 4 >

-

где C=\CiJ—матрица

с размерами kx(M—k)

(i =

= 1,

k; / = £-+-1,

M), элементами

которой яв-

ляются предельные при р—*-0 значения

(ïï

 

с,- для величин

(/)

 

 

 

 

с-, (і = 1,

k; j = k-\-l,

M), определенных

из си­

стемы (4.181).

У п р а ж н е н и е . Проверить равенство (4.184).

132

 

 

 

 

 

 

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

 

 

 

 

 

[ГЛ.

4

Так

как

В12

 

(0) + Ви

(0) С = 0

(именно

так

выбира-

 

(/)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лись

с,),

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Det ѵ„ -

Det

/ Я ц

(0)

 

0

 

-

\

 

I =

 

 

 

 

иеіѵо

и е

\ в 2

1 ( 0 ) ß 2 2 ( 0 ) _ + ß 2 1 ( 0 ) C y

 

 

 

 

 

_

 

(Bu(0)

 

 

11(0)С\_

 

 

 

и(0)

 

B12(0f

 

-Uel\B21(0)

 

 

 

 

ß 2 2 ( 0 )

J--\BU{Q)

 

 

 

 

ß 2 2 ( 0 ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Det В (0) ф 0.

Так

как t0

= а„р, | In р | —->- 0 при р,—*0, то отсюда сле­

дует,

что

при

tÇ,[tn,

t0]

и

при

достаточно

малых

ц

I D e t Y U .

 

M . ) | =

| D e t ß ( 0 ) | +

o(/,

р , ) > с > 0 .

Аналогично

можно

доказать,

 

что | Det y(t,

р.) | ^

с > 0 при ^ ^ t ^

 

0 < р , ^ р 0

.

Тем самым доказана

равномерная

ограничен­

ность

 

Y "

1

(t,

\х)

при ^0

t <;

0 <

р ^ р,0 .

 

 

 

в) Построим теперь решение u0(t,

р.) системы

(4.167),

удовлетворяющее

краевым

условиям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

au0(t0,

 

\i) = au°,

 

bu0(tlt

\i) = bu°,

 

 

 

или,

что то же

самое,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

au0(t0,

 

 

 

 

\>) = {а+Ь)и»

= и\

(4.185)

где «°—заданный

постоянный

вектор.

 

 

 

 

 

 

Будем

искать

u„{t, ц) в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ua{t,

\i) = U(t,

\х)с,

 

 

 

 

 

где U (t, р)—фундаментальная матрица, определенная фор­ мулой (4.183), с—неизвестный постоянный вектор. Усло­ вие (4.185) дает

 

[aU(t0,

\i) + bU(tlt

ц)]с = и°.

 

Покажем, что существует

[aU(t0,

\i)-\-bU

(tu \x)]~l

и тогда

 

c=[aU(t0,

 

\i) + bU(tlt

p.)]"1 «0 ,

 

a следовательно,

 

 

 

 

 

 

u0(t,

p) = U(t, p)[aU(t0,

ц) + М/(*„

p ) ] _ 1 u°. (4.186)

Учитывая,

что

p.)

удовлетворяет

условию

(4.182)

§ U ]

 

 

 

УСЛОВНО

УСТОЙЧИВЫЙ

СЛУЧАЙ

 

 

 

133

при / =

1,

. . . , k и условию

(4.180)

при / == А +

 

1, ..... /И,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

г to

 

 

t,

 

 

 

 

 

 

 

 

Y n C o .

p)diag

ye

t l

,

...,е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

(

и

Г

,

"

 

 

 

 

 

 

 

 

V a i C o .

P.)diag

ye

, . . . , e

 

 

Y22 Co. Ц)

at/ (/0 ,

ц) =

 

V u

Co. H)diag

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

получается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W f t ,

 

|І)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 J

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

(4.187)

 

 

Г

 

 

 

'

' i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

\Ум(к<

P)diag

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

... . . .

• .."

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

all (t0,

rt

+

bUih,

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

r

'U

 

 

 

to

 

Л i

 

 

 

 

 

V n Co. H) diag

U

 

 

e

'*

)

j

0

 

 

 

 

у 0

i V 2 2 С,., Ц) diag

ie

 

 

 

e

 

 

j )

 

Так

как при р,—*0 уп (*<>. р)—*Ди(°)> у(к,

I 1 ) — " ^ г О ) .

то в

силу

условия

при достаточно

малых

р,

сущест-

' вуют и ограничены ѴГіЧАм

M*) и Тй1

(*і. !*•)•

По

формуле

(4.55),

• учитывая,- что

в - нашем

случае

Аіг=^

Аіг

0• и',

134

 

 

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

следовательно, # = Л2 2 , получим

 

[aU(t„

ii) +

bU(tlt

=

 

 

С

(

и

и

\

 

diag [e

u

, . . . . e

j У V u 1 (<o> (A)

0

 

 

 

 

 

.(4.188)

^ 0

i diag

(e

 

e

 

Из (4.187), используя (4.183) и (4.188), получим оконча тельно

"о (Л H ) = Y C І ^ ) Х

x

Отсюда следует, что если и° = 0, то u0{t, L I ) S = 0 , Т . система (4.167) с однородными краевыми условиями (4.180), (4.182) имеет только тривиальное решение, а следова тельно, задача (4.167), (4.185) имеет единственное реше­ ние. Полученный результат сформулируем в виде леммы.

Л е м м а

4.8.

При

достаточно

больших

а0 и at и

достаточно малых ц решение краевой задачи

(4.167),

(4.185;

существует,

единственно

и

представимо

в

виде

(4.189

г) Перейдем к построению матричной

функции

Гринй

G(t,

s,

LI)

для

краевой

задачи (4.165),

(4.180),

(4.18!^.

Существование и единственность G(t, s,

LI)

вытекает из

того, что, как только что

было

показано,

однородщя

краевая задача (4.167), (4.180), (4.182)

имеет только т^и-.

виальное

решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем искать

G(t,

s,

\і)

в

виде

(см. [46])

 

G(t,

s,

 

(

U (t,

[i)V(s,

 

LI)

при

/ „ < / < s < / 1 ,

ii)

= \

и (t,

\i)W

(s,

LI)

при

/0

<

s ^ / sg; ^ .

Матрицы V (s, ц) и W (s, p.) в соответствии с определением

 

 

 

 

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ

СЛУЧАЙ

 

 

135

G(t,

s,

р) должны

удовлетворять

условиям

 

 

 

 

 

aU

(t0, p) V(s, p) + bU (tlt

p) W (s,

p) =

0,

 

 

 

 

 

U

(s, ii)W(s,

p ) - f / ( s ,

 

p)K(s,

p) = ^ .

^ Л У и ;

Из (4.190)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V (s,

( 1 ) = - [ a £ / ( / 0 ,

|i) +

 

M / ( * l

f

P ) ] - 1

^ ^ ,

p)c/-!(s,

p).

Учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U-*(s,

p) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

s

 

 

 

s

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

—— Ç X.ds

 

——- Г Xtrfs

 

—— \hk + tds

 

 

=

diag

\e

M. J

, . . . ,

fi

J

 

*

e

 

И J

, . . .

 

e

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...,

e

 

У

1(s,

p).

a также формулы (4.187), (4.188), получим

 

 

 

V(s,

p) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

diag

 

, . . . ,

e

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

........

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

5

XMds

 

 

 

 

 

0 ; diag

*'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Ï ! s ( ' i . p.)diag

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

diag

\e

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

....

e

 

)

У 1

(s,

(0 =

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

y-1(s,n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

f

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 diag

...

]

J

136

 

 

 

 

 

 

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

 

 

 

 

[ГЛ.

4

В ^результате при ^

0 ^ ^

^ s

^

^

i

имеем

 

 

 

 

 

G(f,

s,

|г) =

£/(*,

p)V(s,

v) = y(t,

ц ) х

 

 

 

 

 

 

X

О J

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

(

 

s

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О idiag ye

 

*

,

...,

e

 

1

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

в силу

равномерной

ограниченности

y(t,

jx)

и

7 - 1 (s , \І) непосредственно вытекает

неравенство

 

 

 

 

\G(t,

s,

[ А ) | | < с е х р

 

X (s—

 

:сехр

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при

^ o ^ ^ ^ s ^ ^ ,

0 < р , ^ ц о

.

Аналогичную оценку для

G(t,

s,

р,) можно

получить

(выражая из (4.190)

W (s, р.))

при

t0 ^

 

t ^ tl t

0 < [А ^

ц0 . Тем самым

доказана

сле­

дующая

 

4.9. При достаточно

больших

а0,

а, и доста­

Л е м м а

точно

малых

р,

матричная

 

функция

Грина

G (t,

s,

ц)

краевой

 

задачи

(4.165), (4.180),

(4.182)

существует,

един­

ственна

 

и удовлетворяет

неравенству

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\\G(t,

s,

[ х ) | | < С е х р ( - ^ Ь і і ) ,

 

(4.191)

 

4) Сегмент

[0,

/ 0 ] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) Рассмотрим вначале вспомогательную систему (4.170).

Аналогично

тому,

как это

было

сделано

для (4.167) н;

[А>» *і]> Д л я системы(4.170)на

полупрямой 0 <

Ьа0

< о о

где

Ь0

достаточно

велико,

можно

построить,

пользуясі

методом

работы

[50], ф . с . р .

вида

 

 

 

 

 

 

 

иДто ) = £(0)аДто )ехр(Я( .(0)то )

 

( і « 1, . . . , M), (4.192;

где

а,- (т0 ) определяется

уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

=

(А (0) -

Я, (0) Ем)

а, + D 0 ) а,

 

(4.193>

и условиями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а{ (Ь0) = 0,

при

Re-Я, (0) >

Re \, (0),

 

 

 

 

 

 

аНоо) = 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.194

 

 

 

а,'(оо) = 0

при

Re%t(0)<ReX,(0),

 

іф\.

 

 

§ 14] УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ 137

Здесь

 

D ( T u ) =

ß - 4 0 ) A 0 ( T 0 ) ß ( 0 ) ,

(4.195)

а величина Ьй выбирается

столь

большой,

чтобы

интег­

ральный оператор

эквивалентной

системы

интегральных

уравнений для

а ( 0 )

был

сжимающим. Такой выбор Ь0

возможен, так как в силу

(4.169)

|| £>(т0) | | < с ехр (— хЬ0 )

при т 0 > 6 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор-функцию

а,(т0 ) можно представить в виде

 

 

а, (т0 ) =

^ + 6,. (т0 ),

 

 

(4.196)

где II е,- (т0 ) II ^

с ехр (— хт0 )

(по поводу постоянных с и к

см. замечания

1 и 2 из п.

3 § 10).

 

 

 

Продолжая непрерывным образом построенные реше­

ния а,.(т0 ) ( і = 1 ,

 

M) уравнений

(4.193) от Ь0

до 0,

получим для (4.170) ф . с . р .

вида (4.192) на [0, оо), при­

чем для а,.(т0 ) справедливо представление (4.196).

 

Обозначим

через а(т 0 )

матрицу,

столбцами которой

являются сс,(т0 ). Установим важное для дальнейшего не­ равенство

Det(5(0)a(0))u =^0.

(4.197)

Предположим противное

и рассмотрим решение

(4.170)

k

k

 

« Ы = 2 °iüi (т°)=

È с ' в ( ° ) а / (т о) е х Р (хі ( ° ) т о ) ,

которое, очевидно, стремится к нулю при т0—>-оо. Посто­ янные с( (не все равные нулю) можно выбрать так, что и 0 ) будет удовлетворять условию

au (0) = 0.

В самом деле, из этого условия получим относительно с{ (і= 1, . . . , & ) систему линейных уравнений

а 2 (0)а,- (0) = 0, t=i

определитель которой равен Det (0) а ( 0 ) ) а , и,следователь­ но, если Det (0) а (0))и = 0, то существуют нетривиальные решения этой системы относительно ct. В результате получается нетривиальное решение и(т0 ) системы (4.170), удовлетворяющее условиям (4.171), что противоречит тре­ бованию 3°. Таким образом, имеет место неравенство (4.197).

138

 

 

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

 

 

 

[ГЛ. 4

б)

Обратимся теперь к системе (4.167)

на [0, t0].

Сде­

лаем

замену независимой

переменной

^ = т 0 р , после чего

запишем (4.167) в виде

 

 

 

 

 

 

£- = [А(0) + А0в)\и

+ Н(т0, р)м ( 0 < т 0 < т 0 = а 0 | 1 п р | ) ,

°

 

 

 

 

 

 

(4.198)

где

Я(т 0 , р) = Л (т0

р) —Л(0) + A j .

Очевидно,

 

что

\\H(r0,

p) H—»-0

при

р—>-0

равномерно

относительно

т 0 € [0, т 0 ] . Всюду

далее

любые матрицы, а также

вектор­

ные или скалярные функции,

которые

стремятся

к

нулю

при

р—>-0 равномерно

относительно

т 0 € [ 0 , т 0 ],

будем

обозначать для удобства одним и тем же символом со(т0 , р).

Таким образом, Я(т 0 , р) = ©(т0 , р).

Замена неизвестной

функции ы = Б(0)т) приводит (4.198)

к

виду

 

| î = A(0)r| + D ( T o ) r | + co(T0 ,

р)п ,

(4.199)

где А(0) определяется формулой

(4.172), a D(x0) — фор­

мулой (4.195).

 

 

 

 

Построим ф. с. р. (4.199) при

0 < о 0 ^ т о ^ т о

в виде

p) = ß,-(x0, р)ехр~.(0)т0 )

(і = 1, . . . . M).

(4.200)

Подставляя (4.200) в (4.199), получим относительно Р,-(т0, р) уравнение

| i = ( A ( 0 ) - X , ( 0 ) £ M ) ß , . + D ( T 0 ) ß , + co(T0 , p)ß,, (4.201)

которое является по отношению к уравнению (4.193) ре­

гулярно

возмущенным

уравнением. Зададим для ß , ( T 0 , р)

краевые

условия

 

 

ß< (60) = а/0 ) = 0

при

ReX, (0) > ReЯ, (0),

ß/(*o) = «/(*o)

при

R e A , ( 0 X ReА; (0),

где а,-(т0 )—решение краевой задачи (4.193), (4.194). Сравнивая решение ß ,-(T0 , р) краевой задачи (4.201),

(4.202) с решением а,(т0 ) краевой задачи (4.193), (4.194) при & 0 ^ т 0 ^ т 0 (для разности ß ,-(T0 , р)—ос,-(т0) нетрудно написать систему линейных интегральных уравнений со сжимающим оператором и малой правой частью), полу­ чим, что решение задачи (4.201), (4.202) при достаточно

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

139

большом Ь0 и достаточно малых р существует, единственно и имеет вид

ß, (т0 , р) = а,- (т0 ) + со (т0 , р) (b0 < т 0 < т0 ; і = 1 , . . . , M). (4.203)

При непрерывном продолжении построенных решений ßi (то> Iх) уравнений (4.201) от Ь0 до 0 представление (4.203), очевидно, сохранится. Таким образом, система (4.198)

или,

в переменных

t, (4.167)) имеет на

[0, т0 ]

ф . с . р . вида

щ (т„ р) = В (0) ß, (т0 , р) ехр ( \ (0) т0 )

= 1

M),

 

 

 

 

 

 

 

(4.204)

причем для ß , ( T 0 ,

р) справедливо представление (4.203),

где

со (т0 , р)—>-0

при

р-*—»-0 равномерно

относительно

Вводя

матрицу

ß (т0 , р), столбцами

которой

являются

ß((To> И-)» в

силу (4.203)

получим

 

 

 

Det (0) ß (0, p ) ) n = Det (0) а (0))п + со (р),

где через со (р) здесь и далее будем обозначать любую величину, которая зависит только от р и стремится к нулю при р —І- 0 . Отсюда в силу (4.197) следует, что при достаточно малых р

Det (0) ß (0, р))и

Ф 0.

(4.205)

в) Используя ф. с. р. (4.204) и неравенство (4.205), как и в

подпункте 36), можно построить

M—k

линейно незави­

симых решений «; -(т0 , р) (/ = & + 1, . . . , М) системы (4.198),

удовлетворяющих

условию

 

 

 

 

 

 

аи(0, ц) = 0

 

(4.206)

и представимых

в

виде

 

 

 

ы, (т0 , р) =

у,0,

 

р) ехр Çk;(0)

т0 )

(j = k + 1, . . . , M),

где

 

 

 

 

 

(4.207)

 

р) = Б(0)(е,. +

е,.(т0) + со(т0, p)).

(4.208)

Y

/ ( T 0 ,

Здесь еу(т0 )—не те же самые функции, что в (4.196), но

удовлетворяют,

как и в (4.196), неравенству

|| (т0 ) || <;

^ с е х р ( — х т 0 ) ,

вследствие чего используется

старое обо­

значение.

 

 

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ