Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[ГЛ.

X„(t,

р.) частичную

сумму порядка п

разложения

(4.104)

Xn(t,

v)=È

Ѵ-к(хк(і)

+ Пкх(т0)+

QsirJ).

(4.149)

fc = 0

Т е о р е м а

4.2.

При

выполнении

условий

I—V

най

дутся

постоянные

р,0

0, Ô > 0,

с > 0

такие,

что

при

0 <

р, ^

р 0

в 8-трубке

кривой

L 0

существует

единственное

решение

x(t,

р.) краевой

задачи

(4.89) — (4.91),

имеет

место

неравенство

[\x(t,

Xn(t,

n J I K c n ^ 1

при 0 < f < l .

(4.150)

З а м е ч а н и е .

Если

речь идет только о существовании и един

ственности

решения,

то достаточно положить в условии I п = 0.

Оценки

пограничных функций.

(t =

Л е м м а

4.6. Для пограничных

функций

И(х (т0 ) и Qtx

(хх)

п)

справедливы

неравенства

II П,л: (т0 ) | К

с ехр ( — х т 0 )

при

т 0 > 0 ,

(4.151)

II Q,-«(Ti)|Kcexp(xTl )

при

Т ! < 0 .

(4.152)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Начнем с t' = 0. Согласно (4.123)

П0 г/(т0 )Е=0, а для П 0 2 (т0 ) требуемая оценка следует сразу из леммы 4.2, если вспомнить, что система (4.125), опре

деляющая П0 2(т„),			совпадает с системой (4.99), для							кото
рой	выполнено требование V а),				а точка		П 0 2 (0)			лежит
на	5 + . Совершенно			аналогичное положение			с	Ço^fa).
	Обратимся теперь к оценкам IIjX (т0 ). Эти вектор-функ
ции определяются			из (4.127), (4.128).			Для	G1(x0)			имеет
место такое же представление, как (3.35)							в	п.	3 § 10.
Поэтому путем таких же рассуждений,						как в		п.	3 § 10,
получим
	IIG i Ы	І К с ехр (— хт0 )			при	т0 >	0.
Далее, из (4.134)			вновь, как в п. 3 § 10, получим						оценку
для	I I J # ( T O ) :
	Ц П ^ Ы І К с е х р Н хт0 )				при	т 0	> 0 .
Поэтому для IIjZ^o)				имеем такую	же систему, как (3.74)
	d	- ^		= Ft{rt)Illz-T-Gl	(т0 ),				(4.153)

	УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ	СЛУЧАЙ		121
где II Gj (т0) II <. с ехр (— хт0 ) при		т 0 ^ 0 .	Дополнительные
условия для П1 г(т0 ) согласно (4.130) и (4.132)				имеют вид
	(111^(0) = — az^O),	П1 2(оо) = 0.		(4.154)
Задача (4.153), (4.154), как нетрудно видеть,				является
адачей,	рассмотренной в лемме 4.5, откуда и			последует
(4.151)	для IIjZ^o)
	Ц П ^ ^ І К с е х р ^ хт0 )	при	т 0 > 0 .

Таким образом, благодаря тому, что П0 г(т0 ) принад лежит многообразию S+ определяющей его системы (4.125), для П ^ т , , ) остаются справедливыми все рассуждения, проведенные для П ^ т ) в п. 3 § 10. По тем же причинам рассуждения п. 3 § 10 можно перенести и на оценку П-функ- ций всех последующих номеров, и тем самым неравенства (4.151) доказаны.

Неравенства (4.152) получаются подобным же образом. 8. Уравнение для остаточных членов. Положим и (t, ц.) =

= z(t, \i)—Z„ (t, \i), v(t, [i)=y(t, \i) — Y„(l, ц), гдеZn(t, \i), Yn(t, \i) определяются формулой (4.149):

|i) = S И-* (z* (t) +

f t

(T«) +

(t,

ftn= 0

(

)),

Y„(t,

\i)=2\ik(yk(t)

+ Ilky(r0)

Qky(T1)).

k = 0

Остаточные члены и и ѵ удовлетворяют следующим уравне ниям и дополнительным условиям:

					(4.155)
* = f(u + Zn,			v + Y„,		t)-¥f;
			n
au (0,	\i) = — a 2			PkQkz	( — V J A ) .
			k = 0		(4.156)
			n	\|1П2(1/Ц),
bu(l,	\|i) =	- 6	2	\|1П2(1/Ц),
			A = 0
			n
o(0,	ц) =	-	2 \|i*Qf t ï/(-l/[x).

k=0

В отличие от (3.86), остаточные члены удовлетворяют не

122	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ		(гл. 4
нулевым дополнительным условиям, однако в силу		(4.151),
(4.152) правые части (4.156) экспоненциально малы.
Введем Нх (t,	р) и # 2 (t, р) в точности по формулам (3.88).
Но теперь, в отличие от (3.89), они удовлетворяют			нера
венствам
	Ц Я Д г , Р ) \| \| < Ф И + 1 ,	(4.157)
\НгѴ, I*) I K С	p ^ - f p " e x p ( — ^ ) + p"exp^ - x (	1	0
	( 0 < i t < l , 0 < p < p 0 ) .

Доказательство (4.157) можно провести по той же схеме, что и доказательство (3.89) в главе 3, и с применением подобной же техники. Поэтому мы его детально воспро изводить не будем.

У п р а ж н е н и е .

Провести

детальное

доказательство

оценок

(4.157).

Запишем

теперь

(4.155)

виде,

аналогичном

(3.92)

в главе 3:

V'dTt = Fz{t>

V)u + Fy(t,

p)o + Gj(u,

и,

p),

V-)u + fy(t,

(4.158)

5т = / Л ^

p)u + G2 (u,

p),

где элементы матриц Fz(t,

p),

Fy(t,

p), fz(t,

p),

fy(t,n)

вычисляются

точке (г0 (t) + Uuz (т0 ) +

Q0z

(

T J

y0 (t), t),

Gi{u,v,t,

\L)

= F(U +

Z„,

V + Y„,

—

— F2{t,

\k)u — Fy(t,

\\)v,

G, (и, V, t, p) = / ( U

+ Z„,

v + YN,

t)-^f-

—fz{t,

\i)u

— fy(t,

\i)v.

Отметим важные для дальнейшего два свойства функ ций Gx и G2 , которые доказываются так же, как в главе 3.

1. При 0 < / < 1, 0 < р < р 0


J СЛО, 0,	t, p)\|\| =		\| \| ^ ( ^	р ) \| \| < Ф " +		\
Il G,(О, О,	U р)\|\| =		\|\|Я 2 (^,	р ) \| \| <		(4.159)
	+l +	е х р I		+	е х р (	*

1 \

§ H l

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

123

Для

любого

е > 0

найдутся

такие

постоянные

6 = 6(e)

р 0 = М е

) .

ч т

с л и

| K | K ô ,

I K I K Ö .

Il f i I K 6. II о, I K б, 0 < р < р 0 , то

l | G , - ( " i . v i ,

\i) — Gi(u2,v2,

t, p) |Ke (ll"i—"211 +Il Oi—0,11)

( i = l , 2 )

(4.160)

Сделаем еще одно преобразование: запишем

Fz(t, р) =

Fz(z0(t)-\-I[oz(T:0)-\-Qoz{xï),

y0(t),

t) в

виде

Fz(t,

p) = F , ( 0 + n 0 F z

+ Q A + O(p),

где

согласно

обозначениям

п.5

Fz{t)

Fz(zj(t),

y0(t),

/),

По/7 , (т0 ) =

Fz(z0(0)

+ П„2(т0 ),

у0(0),

0)-Fz(z,(0),

у0 (0), 0),

Q o ^ i ) = = M * . ( l )

+ Q o Z ( * i ) .

i/o(l),

l ) - f , ( z 0 ( l ) , y e

( l ) , 1).

В результате (4.158) можно записать в виде

\>Ш = (?г(t)

+ П./7 ,(т„) +

Q0FZ(т,))u

+ Fy(t,

ѵ)ѵ +

GAu,

V, t,

p),

(4.161)

Yt = fz{t,

v)u+fy(t,

\i)v + G2(u,

t, p).

Входящие

сюда G,- ( i = l , 2)

отличаются

от G,- в

(4.158)

членами вида

О (р) ы и поэтому

для них также

справед

ливы

неравенства

(4.159)

и (4.160),

вследствие

чего мы

использовали прежнее обозначение G,-

Дополнительные условия (4.156) можно записать в

виде

аи(0,

\i) = au\

bu(l,

\i) = bu\

(4.162)

о(0,

|i) = o°,

(4.163)

где

силу

экспоненциальной

малости

правых

частей

(4.156)

можно

считать,

что для любого п

Il au0

(I +

}\bu° II +

11 и0

I X с р л + 1 .

(4.164)

В п. 10 система (4.161) с дополнительными условия ми (4.162), (4.163) будет сведена к системе интегральных уравнений, к которой, как и в главе 3, можно применить метод последовательных приближений. В п. 9 будут проведены некоторые необходимые для этого предвари тельные построения.

124

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

Матричная

функция

Грина.

1) Рассмотрим

линей

ную систему

уравнений

Vjt

= A(t,

v)u+f(t,

p),

(4.165)

где

матрица

A (t,

р) и вектор-функция f(t,

р) непрерыв

ны

ограничены

при t1^.t^.t2,

0 < р ^ р о .

Зададим

для

u(t, р) краевые

условия

au{tlt

р) = 0,

bu(t2,

р) = 0

(4.166)

(матрицы а и b—те

же, что в (4.92), (4.93)).

Матричной

функцией

Грина

краевой

задачи

(4.165),

(4.166)

назовем

матрицу G(t, s,

р), определенную при

t 1 ^ . t^ . t 2 ,

s ^

t2 и удовлетворяющую

условиям:

1. G (t,

р) как функция t

является

решением со

ответствующего

(4.165)

однородного уравнения

\i%

= A(t, p)u

(4.167)

на

всем отрезке

t i ^ t ^ t 2 ,

кроме

точки t = s;

условиям

G (t,

удовлетворяет

граничным

(4.166)

aG(tu

p) = 0,

bG(t2,

s, p) = 0.

3. В точке t - s диагональные элементы G(t, s, p) имеют разрыв первого рода со скачком, равным едини це, т. е.

G(s + 0, s, p)—G (s—0, s, \n) = EM.

Известно (см., например, [46]), что если краевая за дача (4.167), (4.166) имеет только тривиальное решение, то матричная функция Грина G (t, s, р) существует, единственна, и решение краевой задачи (4.165), (4.166), которое при этом также существует и единственно, пред став имо в виде

		и
	u(t, v) = $jG{t,		s,	p)/(s,	p) ds.	(4.168)
		и
2)	Будем	рассматривать	теперь		системы	уравнений
(4.165) и (4.167) на сегменте			О ^ ^ ^ І		в предположении,
чт 1	атрица	A (t, р) имеет вид
A (t, р) = Л (0 + А0 (тэ ) + А1 (т1 )				(т0 = */\|і, т 1=		(/ —1)/ц),
причем выполнены следующие				требования:

§ H ]		УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ									125
1°.	A (t)	определена		и	имеет		непрерывную			вторую
производную		при O ^ ^ ^ l ,			а	ее собственные				значения
Ki(t) удовлетворяют			условиям (4.96),					(4.97).
2°. А0 (т0 )		и А1(х1)	определены				и	непрерывны		соответ
ственно при		т 0 ^ 0	и т х ^ 0		и	удовлетворяют				неравен
ствам
	II А 0 ( т 0 ) \| \| < с е х р ( — х т 0 )						при		т 0 > 0 ,
	II	(^і) II ^	с exp (xTj)				при		т х < 0 .	^	'
3°.	Уравнение
		а \| = И ( 0 )		+ А„(т0 )]и				( т 0 > 0 )		(4.170)

не имеет нетривиальных решений, удовлетворяющих условиям

аи(0) =	0,	и(оо) =	0,	(4.171)
a уравнение
^ = [Л(1) +	А1 (т1 )]и		( т х < 0 )

не имеет нетривиальных решений, удовлетворяющих

условиям	и(—оо) = 0.
6и(0) = 0,

Пусть В (t)— матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы A (t). Как уже отмечалось, матрица B(t) преобразует A (t) к диагональному виду

ß - 4 * M ( ' ) ß ( 0 = diagfo (0.							. . . . %M(t))^A(t).		(4.172)
Потребуем выполнения еще одного условия:
	4°. D e t ß u		(0)Ф0,		D e t ß 2 2 ( 0 ) # 0 ,			D e t ß a	(1)^=0,
D e t ß 2 2 ( l ) # 0 .
	З а м е ч а н и е .		Матрица		/4		ц,) = F Z (/) +	П0 /: 'г (т0 ) + Q 0 F ï ( T 1		)
в системе (4.161) удовлетворяет						условиям 1° —4°. В частности, вы
полнение условия 3° обеспечено следствием из леммы 4.4,									а условие
4°	выполнено в силу V.
	Разобьем	сегмент		[0,	1]	на	три части,	[0, t0],	[t0, / J ,
[tv	1], где	t0 =	a0\i I	In LI	I,	tx =	1 — ö j L i I In \|х I, причем a0 >			0

и a , > 0 будут выбраны далее достаточно большими, но фиксированными при u —* 0. По самому определению

126				КРАЕВЫЕ	ЗАДАЧИ			[ГЛ. 4
t0	—»• 0	при ц —*• О,		/х —>• 1 при р. —»- О,			но при	этом т0 =
=	/0/(х = а01 In р, I —* оо при				р.—>0,	а	т1 = (/1	— 1)/\|І =
=	—ajlnp,!—t- — о о			при ц—»-0.
	Основной целью данного пункта будет построение на
каждом		из	трех сегментов		решения	однородной		системы
(4.167)		с	краевыми	условиями типа		(4.166), но		неодно

родными, а также построение на каждом из трех сег

ментов матричной		функции				Грина		для системы			(4.165) с
краевыми условиями вида (4.166).
3) Сегмент	[t0,		tj].
а) Рассмотрим сначала однородную систему (4.167) на
сегменте [t0,	г\],	где		а0	и	ах	возьмем		столь	большими,
чтобы выполнялись			неравенства
І І Д / С О І К Ф 2				при				(1=1,		2).	(4.173)
Такой выбор а0 и			alt		очевидно,			возможен,		так как в
силу (4.169)
II До (т0) І К					при		т 0	> ^	(t>t0),
Il Ai (Ti) II <			Ф ч я		'	при	т ^ т ,		(t^tj.
Построим	для (4.167) на [t0,							фундаментальную си

стему решений (ф.с.р.), пользуясь известным методом по


строения	ф.с.р.		для	линейных	систем.		Сделаем замену
переменных		u = T(t,		\i)r\, которая		приводит (4.167) к
виду (штрих		означает		производную		по	t)
			р ^ = ( Г " М Г — и Т ^ Г ) ^					(4.174)
Положим	T{t,		\|х) = 5(г')(£'Л і +		ц5 1 (0), где			B(t)—введен

ная выше матрица, столбцами которой являются собст

венные векторы	матрицы A (t),	a в качестве	Вг	(t) возь
мем матрицу, с элементами
(	О	при	і =	}.-

Тогда, как известно, будет иметь место равенство

T-iÄT-nT-ir^AW

+ iiD^O + ^DAt,

ц), (4.175)

H ]

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ

СЛУЧАЙ

127

где Л(/) определена формулой (4.172),

D1 (0 = ciiag(d1 (t)

(t)),

di (t) =

-(В-1

(О В'

(t))",

(t,

LI) =

[Ем

Lißt (t)] ^

(t) B'

(t)

(/)-

-BM-B^D^t)].

У п р а ж н е н и е .

Убедиться

справедливости

(4.175).

У к а

з а н и е :

удобнее

проверить

эквивалентное

равенство

Т (Л +

(iZ)j -f

u.2 D2 ) =

AT — цТ',

сравнивая

коэффициенты

при

одинаковых

сте

пенях

il.

З а м е ч а н и е .

связи

наличием

рассмотренных

выше

ра

венствах

производных

В' (t)

Вх

(t) возникает

вопрос,

как

связаны

свойства гладкости собственных вектор-функций

матрицы

A (t)

(дру

гими словами,

свойства

гладкости

В (і)) со свойствами

гладкости

са

мой матрицы A (t).

силу условия

1°

каждому К/ (t)

отвечает

один

собственный

вектор,

координатами

которого

могут служить,

напри

мер, алгебраические дополнения какой-либо строки определителя

матрицы (A

(г)— Я,- (t)

Ef/i), если сумма квадратов этих алгебраических

дополнений

отлична

от

нуля

всюду

на

[0,

1]. В

этом

случае

порядок

гладкости

собственных

векторов

(и порядок гладкости

В (t))

будет

таким же, как и порядок гладкости A

(t).

Может,

однако

случиться,

так, что не существует строки, для

которой

сумма квадратов

алгебраи

ческих

дополнений

отлична от

нуля всюду

на

[0,

1],

хотя

для

каж

дого фиксированного t

строка

отличной от нуля суммой квадратов

алгебраических дополнений обязательно найдется. Тогда вопрос о

гладкости собственных векторов осложняется. Тем не менее и в этом

случае

можно

построить собственные

вектор-функции,

обладающие

той

же степенью

гладкости,

что

сама матрица

A{t)

(см. [37]).

Вернемся

системе

(4.174),

которую

можно

записать

теперь в

виде

VL§

= {A(t) + ViD1(t)

+ v.*Dt(t,

il)) л,

(4.176)

гдец»о, =

ц»£>, +

7 , - 1 ( Д 0

+ Д 1 ) 7 \

В силу (4.173) \i2D2(t,

ii)

удовлетворяет

при

t0 ^

t ^

0 <

ii ^

іі0

неравенству

Будем искать ф.с.р. (4.176) в виде

т),(/,

\x) = ai{t,

ii) exp f -

j "

%; (s,

ti)ds^

( i = l , . . . .

M),

(4.177)

где

(t,

il)—новая

неизвестная

вектор-функция,

k;(t,

L I ) = I , . ( 0 +

K ( 0 .

Подставляя

(4.177)

(4.176),


128	КРАЕВЫЕ		ЗАДАЧИ	[ГЛ. 4
получим	уравнение относительно a{(t,			L I ) :
ц ^ = (Л (0 + LiA (t)-\t		(t,	LI) EM)	a,. + ^D2 {t, LI) a,.

Зададим для a,- (/, LI) дополнительные условия (верхний индекс означает номер компоненты вектора)

а / ( / 0 ,

(х) =

( / = 1 , . . . .

і—1),

«/Ci .

И) =

(/ = * ' + 1 ,

. . . . Л!),

Перейдем

эквивалентной

системе

интегральных

уравнений:

«/(*,

И) =

ехр

j (л-, (s,

ц ) — \ . ( s , |i))ds^x

t о

Xfi

[D2 (s,

n)a,-(s,

u.)p'ds

( / = 1 , . . . .

a\(t,

ii) =

1 + $

[A [A,(s, LI)a,(s,

LI)]''ds,

(4.178)

a((t,

LI) =

Jexpf-i- j(a.y (st

LI) —X,(s,

ц)) ds J

X LI [D2 (s,

[x)a,. (s,

Li)p'ds

a = t + i ,

M).

Так

как входящие

сюда экспоненты

e x p ^ J ( X y ( s ,

м-)—Я,-(5,

ii))ds^

ограничены

в силу

требования

1° на

собственные значе

ния

матрицы A(t),

||iiD2 (£,

ц ) | К ф ,

то

при достаточ

но малых ц интегральный оператор системы (4.178) является сжимающим и, следовательно, система (4.178)

имеет	единственное			решение, которое, как нетрудно ви
деть,	можно		представить в		виде	at(t,	[n) = ei-T-el(t,
где через		et	здесь	и далее	обозначается		вектор, у	кото
рого	і'-я	компонента		равна	единице, а		остальные	нулю,
а через е,-(^,			LI) — функции,		удовлетворяющие неравенству
І К С	М - ) \| \| < Ф при			* 0 < * < * г ,		0 < L I < \| V

H ]

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

129

Так

как

T(t,

p) a, (t,

р) = В (t) [Ем

+ цВ1

(t)] х

X(e, +

e,(f,

jx)) =

ß ( 0 (e, + e,(f,

р)) = М 0 +

М ' -

Р), где

—і-й

столбец

матрицы

B(t),

то

построенную на сег

менте

[t0,

tt] ф.с.р. (4.167)

можно записать

в виде

Щ С

I1) = (й« (0 +

в/ (Л К))е х Р (j7 J

(s,

v) rfs

(і =

M).

(4.179)

б)

Используя

ф.с.р. (4.179), построим решение

(4.167),

удовлетворяющее

условию

au(t0,

р) = 0.

(4.180)

Будем

искать его в

виде u(t,

р ) = 2

с{щЦ,

р). Из усло-

вия

(4.180)

получим

<=1

a S сіЩ (fe ,

p) =

a S с,- (ô, (fe ) + e, (f0 ,

p)) = 0.

(4.181)

Это

k линейных

уравнений

с M неизвестными cl t

. . . , с Л І

Так

как

t0—»-0 при

р—*-0, а

||е; (£, р ) | | ^ с р ,

то при

достаточно малых р матрица коэффициентов при си

..., ck

системе

(4.181) сколь угодно

мало отличается

от ß n ( 0 ) ,

так как

D e t ß u ( 0 ) = £ 0 в

силу

условия

4°, то,

задавая

произвольно

ck+1,

см,

можно из

(4.181) определить

си

ск.

Придавая неизвестным ck+1,

см

значения

</>

с, — Ьи(і,

/ = £ 4 - 1 ,

и определяя

при

каждом

(/)

k),

M—k

остальные

неизвестные

с,- (г =

получим

линейно независимых

решений

Uj(t,

р) (/ = £ +

. . . , М)

системы (4.167), удовлетворяющих условию (4.180)

представимых в виде

* (/)

(bj{t)

Bj(t,

p))exp( - i - jX ; (s,

p)ds)

+ £(<S

(*/(') + M * ,

p ) ) e x p ^ | ^ ( s ,

5 A. Б. Васильева, В, Ф. Бутузов

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ