Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

п о

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

компонент вектора z, а на правом конце остальные

M—к

компонент. Условие

(4.90) можно записать

также

в виде

аг(0,ц)

= аг°,

(4.92)

te(l,H)

te°,

(4.93)

(Eh

Полагая

в (4.89) р = 0, получим вырожденную

систему

0 = F(l,y,t),

% = f(z,y,t),

(4.94)

для которой зададим

начальное

условие

У~(0) = у°.

(4.95)

Оставим

силе

требования

I , I I , I I I

из

п. 1 § 9.

Обозначим

их

вновь

I ,

I I , I I I . Что

касается

требова

ний IV и V теоремы

3.1, то они существенно

изменятся.

Вместо

(т.

е.

вместо

(3.22))

введем

следующее

требование, которое обозначим снова IV.

IV. Пусть собственные значения A,, (t) матрицы

Fz (t) =

= Fz(z(t),

y{t),

удовлетворяют

условиям

ReX, (t) <

(i =

1, 2, . . . ,k,k

R e M * ) > 0

(i = b+U

(в этом случае

корень

г = ц>(у, t)

уравнения

F(z,

у,

t) = 0

будем называть условно устойчивым).

Кроме

того,

пред

положим,

что имеют

место

неравенства*)

R e 3 t , ( 0 < R e M 0 <

••• < R e Ä M ( 0 при 0 < * < 1 .

Заметим, что число k собственных значений А.,- ( Н е о т рицательными действительными частями совпадает с числом компонент вектора z, заданных при f = 0, а число M—k собственных значений ХТ,-(£) с положительными действи тельными частями—с числом компонент вектора г, задан ных при t = 1.

*) Для начальной задачи этого не требовалось. Это условие, по-видимому, не является существенным, а связано с методом, кото рый применяется при рассмотрении задачи (4.89) — (4.91).

§ U ]

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

111

Требование V заключалось в условиях, накладывае мых на начальные значения г". Чтобы сформулировать заменяющее его в настоящем случае требование (назовем его снова V) на вектор г°, при помощи которого задаются краевые условия (4.90), сделаем в первом уравнении (4.89)

замену	переменных xi=t-^-	(i = 0,	1) и положим у = у(<),
t = i. При t' = 0 получим		систему,	которую в главе 2 мы
назвали	присоединенной	системой,	отнесенной к точке
у = у{0),	t = 0,
	^ = F(S,y(0),0).		(4.98)

Точка 2 = ф(г/(0), 0) является точкой покоя этой авто номной системы, но на этот раз, в отличие от того, что было в главах 2 и 3, она уже не будет асимптотически устойчивой точкой покоя, а в силу (4.96) будет условно устойчивой точкой покоя. Систему (4.98) можно свести к системе (4.57), описанной в п. 3, если в ней сделать за мену переменных £ = z— <р(у(0), 0), т0 отождествить с т и обозначить F (£ + ф(г/(0), 0), г/(0), 0) через F (£):

	\| " = ^ Ч ф (			# )	. 0), у(0),		0) s f ( È ) .		(4.99)
При	t = l вместо		(4.98)		придем	к системе
			£_	= F{z,y(\),		1)			(4.100)
и далее	путем	замены		£ = г — ф(у(1),			П — к	системе
	^	= /=•(1 + 9 0 ( 1 ) . 1),					1).		(4.101)
также являющейся системой типа (4.57).
При	рассмотрении			в п.	3 системы		(4.57)	и	связанных
с ней интегральных			многообразий			S+	и S~	использова
лась матрица В (приводящая матрицу A ==F^(0)									к блочно-

диагональному виду), на которую были наложены требо


вания D e t ß u ^ = 0		(см. (4.64)) и	D e t ß 2 2 ^ 0 .
Введем в рассмотрение матрицу				В (t),	столбцами ко
торой	являются	собственные	векторы		матрицы Fz(t)
(в силу	условия	(4.97) матрица Fz(t)		имеет при каждом t

112		КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ		[ГЛ. 4
M линейно		независимых собственных		векторов). Мат
рица	B(t)	преобразует	матрицу Fz(t)	к диагональному
виду
	ß - i ( 0 ^ ( O ß ( f O		= diag(A,(0.	%M(t))
(здесь	и в	дальнейшем	через d i a g ^ ,	а^) обозна

чается диагональная матрица с диагональными элемен

тами

а1 ;

ам), и поэтому

качестве матрицы

В для

системы (4.99) можно взять ß ( 0 ) ,

а для системы (4.101) —

ß ( l ) . Сформулируем теперь требование V.

V. а) Пусть

Det Вп

(0) Ф 0,

D e t ß 2

2 ( 0 ) # 0

пусть

система (4.99) имеет интегральное

многообразие

S+,

удовлетворяющее

требованию

1° из

п. 3,

причем

(гі-ѵгіуф),

0))€G+.

б)

Пусть

Det Ви (1)ф0,

Det В22

(1) Ф0,

пусть

сиГ

стема (4.101) имеет интегральное

многообразие

S~,

удо

влетворяющее

требованию

2° из

п.

причем

(zS - <p,6(l),

1)) € G - .

Здесь

соответствии

обозначениями,

принятыми

в п. 2, z°(t = l , 2 ) — блоки

вектор-столбца

z° (см

(4.90)),

Ф,- — блоки

вектор-столбца ф.

З а м е ч а н и е .

Условие

Det В2г (0) Ф 0

(з

отличие

от

условия

Det Вц (0) Ф 0) не связано с вопросом о существовании

и аналитиче

ском представлении

S+ для системы (4.99),

а связано с методом до

казательства

формулируемой

ниже теоремы

4.2. То же самое

отно

сится

к условию Det Вп (1) Ф 0.

Нетрудно понять значение требования V. Поведение решения исходной системы (4.89) в окрестности ^ = 0 описывается, как и в асимптотически устойчивом случае, присоединенной системой (4.98) или (4.99). Условие (4.92) задает только k компонент вектора z (или k компонент вектора £, т. е. вектор (блок) £2 ). В переменных £ это условие можно записать в виде

£ i ( 0 ) = z ï - « P i t ë ( 0 ) , 0).

(4.102)

Если выполнено условие V, а), то по заданному соотно шением (4.102) £ і ( 0 ) найдется согласно (4.75) £ 2 ( 0 ) такое, что £ ( 0 ) £ S + . Начинающаяся в точке £ (0) траектория си-

§ H ]

УСЛОВНО

УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

113

стемы (4.99)

при т0 —>• оо

стремится к

началу

координат,

а соответствующая

траектория

(4.98)—к <р(г/(0), 0), а вме

сте с ней и

решение

z0 (t, ц)

исходной

системы

(4.89)

с начальным

условием

(0, ц) = £(0) +

ср (у(0),

попа

дет в окрестность

ц>(у(і),

t).

Построенное

таким образом

значение

г0 (0, \і)

является

нулевом

приближении (что

подтвердится

ниже)

значением

решения

z(t,

\і)

нашей

краевой

задачи

(4.89) —(4.91)

при ^ = 0.

Точно

так же

присоединенная

система

(4.100)

или (4.101) описывает по

ведение решения краевой задачи в окрестности t = 1. Усло

вие	(4.93) в переменных	£ дает
	!,(0) =	г 5 - ф , ( у ( 1 ) ,	1).	(4.103)
Если	выполнено условие V, б), то по		заданному соотно
шением (4.103) £2 (0) найдется согласно (4.76)				£х (0)	такое,
что £ ( 0 ) g S ~ . Значение		£ ( 0 ) + ф ( # ( 1 ) ,	1) является		в ну
левом приближении значением z(t, \і)			в точке	t=l.

Рис. 4. /—интегральное многообразие S+, / — прямая £і = £і (0).

В случае а) значению £ t (0) отвечают два значения £ 2 (0) (точки А и В на оси £2 ), в случае б) — ни одного.

З а м е ч а н и е . В силу нелинейности задачи, вообще говоря, может быть несколько «ветвей» вида (4.75) или (4.76). В этом случае для каждой такой ветви при выполнении условий I — V будут спра ведливы все последующие рассуждения, и решение поставленной крае вой задачи может быть не единственным. В случае, если £і(0) £ G+, решение поставленной задачи может не существовать вовсе. Обе эти возможности для случая двумерного Ç представлены на рис. 4.


114						КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ				[гл. 4
	5. Алгоритм построения асимптотики. Пример (1.14),
(1.19),		рассмотренный в главе 1, является линейным при
мером		только		что поставленной			задачи. Этот пример по
казывает, что пограничный слой появляется в									окрестности
сбоих		концов		рассматриваемого			отрезка.
	Ориентируясь				на этот пример,			будем искать		решение
задачи		(4.89) — (4.91) уже не в виде двух слагаемых, как
в	(3.24),		а в виде		трех слагаемых
где			x(t,	p) = x(t, р) + Ш ( т 0 ,				\| i ) + Q * ( T L F	p),	(4.104)

	x(t, \i)=~x0{t)+fx1{t)^...+^xk(t)+...,									(4.105)
Шг(т0 ,		p) по-прежнему означает пограничный							ряд в окре
стности			( = 0 и представляет собой степенное						разложение
по	р с коэффициентами, зависящими от x0 =								(t—0)/р,
ч Ux(x0,		р) = П0 х(т0 )+рП1 л:(т0 ) +					... + р*Пй х(т0 ) + ...,(4.106)
a	Qx(xlt		р) означает			пограничный		ряд в окрестности t=\
и	представляет собой					степенное	разложение по р с коэф
фициентами, зависящими от Ті = (/ — 1)/р,
Qx(хи		p) = Q0x(Tl)			+ pQ^(T l ) +... + nkQkx(х,)				+ ... (4.107)
Тогда		вместо		(3.30) имеем

где
F=F{ï(tjV),	^ , p ) , 0 = ^o + P ^ + --+P*FA +...,(4.109)

ÏIF = F (z (x0p, p) + Ш (x0 , j i ) , y (x0pLp) +

+ Пг/(т0 , p), x0 p)—F (г(т0 р, p), р(т 0 р, p), т0 р) =

= n0 F + pni f +..._+ p«n , F + . . . ,	(4.110)
QF = F ( z ( l + x 1 p , \| I ) + Q Z ( T „ p), г / О + т ^ р , p) +
+ Qy(*i, P). 1 + T , f i ) — ^ ( г О + Т х р , p), у(1+гг\і,	p), 1 +

+ T1 p) = Q0 F+pQ1 f + ... + p*QA F+...(4.111)

Аналогичный смысл имеют /, П/, Q/,

§ M]

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

115

Следует заметить, однако, что имеется некоторая раз ница по сравнению с (3.30). В главе 3 F + UF полу чалось тождественным формальным преобразованием

F(z	+ Uz,	~у + Щ, t)^F+UF.		(4.112)
Теперь, однако,
F(z~+ïlz + Qz,	y~+ny	+ Qy,t)^F	+ TlF+QF,	(4.113)
и на (4.108)—(4.111) следует смотреть, как на				исходный

пункт формулировки алгоритма определения коэффициен тов (4.105)—(4.107). Можно это осмыслить так. Всюду, за исключением некоторой окрестности t—l, Q-функции ничтожно малы, и (4.113) можно считать приближенным равенством: это почти (4.112). Меняя роли П и Q, полу чим справедливость приближенного равенства в (4.113)

также в окрестности

t = 1,

YIF справедливо

Для

коэффициентов

разложения

то

же

развернутое

представление,

как в (3.29) с соответст

вующей

заменой

% на

т0 , а для QF—аналогичное

пред

ставление

заменой

£ = 0 на

t~ 1 и т на xt. Такое

же

замечание

относится

Щ и к

Qf.

Подставляя (4.104) в краевыэ условия (4.90) (исполь

зуя

форму

(4.92), (4.93))

и в (4.91) получим вместо (3.38)

а[2 0 (0) +

. . . + р*гА (0) +

. . . + П0 г(0) + . . .

. . . + р * П А г ( 0 ) + . . . ] = а 2 ° ,

(4.114)

ft [ 2 0 ( 1 ) + . . . + ц Ч ( ! ) + . . • + « . z ( 0 ) + . . .

...+^Qkz(0)+...]=bz\

(4.115)

у0 (0) +

. . . +

уьук

(0) +

. . . + П0у (0) + . . .

. . . + | І * П ^ ( 0 ) + . . . = І Г

(4-116)

Напишем

теперь

уравнения

для

определения

коэффи

циентов (4.104),	приравнивая в (4.108)			отдельно	члены,
зависящие от t,	т0 и тх . В	нулевом	приближении		имеем
	0^F0^F(10,	у0,	t),
	л-	-			( 4 Л 1 7 )

% = / W ( * o . Уо, t)

116

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ.

(это вырожденная

система (4.94)),

= U0F == F (z0

(0) + no z,

y0 (0) + П0у,

0 ) -

6, (0), #0

(0), 0) = F (z0 (0) +

n„z, #0

(0) + П0 #, 0),

<Ш„у_п

(4.118)

d-^=Q0F

^F(z0(l)

+ Q0z,

y0(V

+ Q0y,

1 ) -

- F ( I 0 ( 1 ) ,

y 0 ( l ) ,

1) =

F(70 (1) +

Q 0 z , y 0 ( l ) + Qoy, 1),

rfQoy = 0

(4.119)

Дополнительные

условия для этих систем получаем как

нулевое

приближение

из

(4.114)—(4.116).

а (г0

(0) +

П0 2 (0)) = az°.

(4.120)

fc(70(l)

Q0 z(0)) =

te°.

(4.121)

</0(0) +

По |/(0) = *Д

(4.122)

Из (4.118)

и (4.119)

имеем

П0у (т0 ) = const,

Q „ # ( T I )

const,

а так как Иоу(т0)

и Q0ï/

должны

стремиться

нулю

соответственно

при т„—• о о

и тх—>• — о о ,

то по

стоянные нужно положить равными нулю, т. е.

П0 у(т 0 ) =

QotfCcJssO.

(4.123)

Отсюда,

частности,

П0 г/(0) = 0, и тогда из (4.122)

имеем

(0) =

t/».

(4.124)

Система

(4.117)

вместе с

условием (4.124) определяет ре

шение y0(t),

(t) = ф (г/о (t), t),

совпадающее с

упоминав

шимся в п. 4 решением

y{t),z(t)

= q>(y(t), t)

вырожден

ной задачи (4.94), (4.95).

Обратимся

(4.118), (4.120). С учетом (4.123)

имеем

= F (z0

(0) + no z, у0 (0),

0).

(4.125)

Условие

(4.120) задает только k компонент вектора П0 г (0).

Чтобы полностью

определить решение

(4.125),

потребуем

П0 г(т0 )—*0

при

т 0 - + о о

и будем это записывать

в виде

П0 г(оо) = 0.

(4.126)

§ 14]

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫЙ СЛУЧАЙ

117

Возможность удовлетворить (4.120) и (4.126) следует из того, что с точностью до обозначений (4.125) совпадает с (4.99), а (4.120)—с (4.102) и, следовательно, согласно V, а) (4.120) определяет начальную точку на многообразии S+, отвечающем (4.125), обеспечивающую выполнение (4.126).

Опираясь на V, б), точно так же получим, что суще ствует правая пограничная функция QoZfo), удовлетво ряющая (4.121) и условию Q0 z(—оо) = 0.

Рассмотрим теперь системы уравнений для П ^ т , , ) и х1 (t) и дополнительные условия для них

^		=	Tif = Fz (т0 ) n i		Z + Fy	(т0 ) ПіУ	+ G, (т0 ), (4.127)
^		о	= П0 /.					(4.128)
^			= П0 /.					(4.128)
Здесь, как и в (3.34), Fz (т0 ) = F2 {z0						(0) + Uaz (т0 ), у0		(0),	0),
Fy(x0)	имеет аналогичный смысл,					G1(x0)	по-прежнему		вы
ражается		формулой (3.35).
§	= Fz (t) I , + Fу (t)ylt				%- = U (t) Fj + Ty (t)yv			(4.129)
Здесь,	как		и в (3.33), Fz(t)		Fz(z0(t),		y0(t), t)	и анало
гичный		смысл имеют		Fy(t),	fz(t),		fy(t).
			fl(z'1(0)	+	ni z(0)) = 0,			(4.130)
			й ( 0 ) +		П і У ( 0 ) = 0.			(4.131)
Потребуем,			кроме того,
			ni z(oo) = 0,					(4.132
			П 1 у ( о о) = 0.					(4.133)
Из (4.128), (4.131) и (4.133) точно так же, как в главе 3,
получаем					со
					со
			n ^ ( T 0 )	= - S n 0 / ( s ) d s ,				(4.134)
					СО
			U1y(0)	=	~luj(s)ds,
					о

со

^ (0) = S П0 /(s) ds.

(4.135)

118

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

Условие (4.135) полностью определяет решение х1 (t) си стемы (4.129). В силу этого и в силу (4.134) в (4.127) и (4.130) остается в качестве неизвестного только П1 г(т0 ). Вопрос о том, действительно ли система (4.127) и условие (4.130) определяют П ^ т , , ) , удовлетворяющее дополнитель ному требованию (4.132), оставим до п. 7, где будут по лучены оценки для П и Q-функций.

Система уравнений и дополнительные условия для QiX(Xj) имеют вид

	^		= Ft (т,) Q,z + Fy					( T J Qiy + Ht	(г,),	(4.136)
	аЁіУ		— п f
	dxx		—ЧіТ>
				6(z 1 (l) + Q1z(0)) = 0.						(4.137)
Здесь	^ г ( т 1 ) =		/ 7	г ( 2 0 ( 1 ) 4 - 0 0 г ( т 1 ) , yn (1), О.структураЯ^т,)
аналогична		структуре			G1(x<))		в	(4.127)
				Q x z ( — оо) = 0,						(4.138)
				Q 1 t / ( - o o ) = 0.						(4.139)
Условие		(4.139) сразу определяет <Згг/ (тг ):
							— со
				Q t f f a H -				Qof(s)ds.
Далее,	в (4.137)			z ^ l ) уже		определено системой (4.129) и,
Далее,	в (4.137)			z ^ l ) уже			S
таким	образом,			для	Q1z(x1)		получается задача			(4.136) —
(4.138), аналогичная					задаче		определения		П ^ ^ ) , т. е.
задаче (4.127), (4.130), (4.132).
Выпишем теперь уравнения и дополнительные										условия,
определяющие			Hkx(x0),		QkX{ii)		и	H (0 Д л я произвольного
k>0:

	dWkz	(4.140)
	dxa	(4.140)
	dxa
	dx0	(4.141)
	dx0

dQdixkz = Q*F,

(4.142)

§ 14]	УСЛОВНО	УСТОЙЧИВЫЙ		СЛУЧАЙ	119
	dzk-\	р	àyk	j	(4.143)
	dt	*'	dt ~~lk'		(4.143)
	dt	*'	dt ~~lk'
	a(zk(0)	+ Uhz(0))		= Q,	(4.144)
	b{zk(l)	+ Qkz(0))		= 0,	(4.145)
	yk(0)	+ Uky(0)		= 0,
		Пй г(оо) = 0,			(4.146)
		П ^ ( о о )		= 0,
		Qkz(— oo) = 0,			(4.147)
		QkU (— °o) = 0,
	^ ( 0 ) - S n f t _ J ( s ) d s .				(4.148)
		0
Как и в разобранных случаях			k = 0, 1, уравнение		(4.141)
отделяется	от (4.140), и мы имеем
		со
	n * y ( T „ ) = - $ I W ( s ) d s .
Точно так же,		То
Точно так же,		— со
		— со
	Q*0(Ti) = - S		Q*-,/(s)ds.-
		ті

Тем самым остается решить задачи (4.143), (4.148); (4.140), (4.144), (4.146) и (4.142), (4.145), (4.147), аналогичные уже сформулированным для k = 1.

6. Формулировка основной теоремы. Уточним требова ние гладкости I относительно правых частей (4.89) точно

так же, как в § 10. Введем в

рассмотрение

кривую L 0 ,

состоящую

на этот раз из трех

кривых:

£oi =

{(z, У> ф

2 =

г 0 (0) + П0 г_(т0 ),

т 0

> 0 ; у=~у0(0);

t = 0},

^02 =

{(z,

у,

t):z = z0(t),

y=y0{t),

0 < f < l } , _

L 0 3 = {(z,

0 : Z = Z 0 ( 1 ) + Q 0 2 ( T 1 ) ,

Т І < 0 ; y = y0{l),

t=\}.

I .

Пусть*

F (z,

и f (z,

имеют

непрерывные

производные

до (гс + 2)-го

порядка

включительно в

некото

рой 8-трубке

кривой L 0 .

При этом условии определим члены разложений (4.105)—

(4.107) до

номера

включительно

и обозначим

через

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ