книги из ГПНТБ / Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений

90

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[гл. 4

t-.

дх

дх

дх

Рассмотрим

отдельно

и -щ^ .

удовлетворяет

(4.30) и начальным условиям

дг(0,

ц, х«) __ р

ду(0,

ц, х°) _

п

à_ I ду

fy(t)[

ду

= 0.

dt I дга

J о

dz»

і= о

Отсюда,

очевидно,

дх

=

0.

(4.32)

дгф,

ц, *°)_п

ду(0,

ц, *°)_

р

ду»

'

дуа

~

т'

и поэтому

äyu

(4.33)

±(ду_\

=

ду_

••Ет.

\дуь]о

ду"

jo-

ду°

dt

/=0

Сравнивая задачи (4.23), (4.24) и (4.33), а также соот­

ношения

(4.22)

и

(4.32),

можно сделать вывод о том, что

дХ"дх'

и

( ^ г ) о

о т л и ч а ю т с я

только обозначением аргу­

§ 1 3 ]

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ С ОДНИМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

91

Учитывая

(4.29),

(4.31)

и (4.34), получим для (4.28)

следующее

асимптотическое

представление:

Я Л * 0 .

* 0

( 1 , * • ) ) + # , (*°, х 0 ( 1 , * ° ) ) а * п ^ * 0 )

+ 0(р) .

Следовательно,

справедливо

асимптотическое

представле­

ние (4.27).

А теперь перейдем непосредственно к доказательству

теоремы 4.1.

Из (4.17) и непрерывности производных от компонент

R(x",xQ(l,

X0))

по

компонентам

х°

следует,

что

A0 (*°)

отлично от нуля в некоторой

сфере

радиуса

ô с

центром

в

хі (обозначим

ее 58 ):

Д0 (%°)=^0

при x ° € S 8 ,

(4.35)

а

тогда

в

силу

(4.27) при достаточно малых

р ( 0 < р ^ р 0 )

А(х°,

\і)фО

при

х ° € 5 8 .

(4.36)

Рассмотрим

R(x°,

х0(1,

х0)).

В силу (4.35) можно

указать

в пространстве

значений

R такую область «в, что функция

R = R(x°,

x0(l,

X0))

осуществляет

между

точками

Ss

и со

взаимно

однозначное соответствие. При этгм точке хі

про­

странства

значений

х°

отвечает

точка

^ = 0 в

простран­

стве значений R в силу самого определения

хі

(требова­

ние I I ) , т.е. в

силу

того, что

ад,

*„(і,

*s)) = o.

(4.37)

Заметим,

что Sb

и со от

р

не

зависят, и

можно

указать

в

пространстве

значений R не зависящую от

р

сферу Ss

с

центром'в

точке

R = 0, такую,

что Sec=co.

Рассмотрим

теперь R (х°,

х(\,

р,

х0)).

В

силу (4.29)

имеем

ад,

х(\,

р, х°)) =

ад,

х0(1,

х°)) + 0(р) .

(4.38)

Из (4.36) следует, что в пространстве значений R имеется

область

со (р) такая, что функция

R = R(x°,

х(\,

р, л:0))

нуты

относительно соответствующих

точек со

не более,

чем

на О(р). Следовательно, при

достаточно

малых р

92

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

S, £<»(р),

в частности, точка

R = 0 содержится

в со(р).

чение Х°(р) такое,

что

# ( Х ° ( р ) ,

х{\,

р,

Х°(р))) = 0. Это

означает,

что решение

X(t,

р) системы (4.4)

с

начальным

условием

X (0,

р) = Х° (р)

удовлетворяет

краевому

усло­

вию (4.5), т . е .

R(X(0,

р), Х ( 1 , р)) = 0.

Тем самым для

доказательства

утверждения

теоремы

о

существовании и

единственности

решения

достаточно

показать,

что

при

О <

t ^

1 решение

X

(t, р) остается в б-трубке

кривой L 0 .

В

свою

очередь

это

непосредственно

последует

из

(4.26)

при

п = 0, если

мы покажем,

что

X(t,

р) удовлетворяет

этому неравенству. Перейдем к доказательству (4.26).

В силу (4.36) и существования непрерывных произ­

водных

от

компонент

R{x",

х(\,

р, х0 ))

по

компонентам

х°

функция

x° = x°(R,

р), определенная

на

со (р) и

явля­

ющаяся

обратной

к

R = R(x°,

х(\,

р, х°)),

будет

непре­

рывно дифференцируемой

по

компонентам

R,

и так

как

-^-

<

с при хй 6 S5

(см. (4.28), (4.29), (4.31)), то согласно

(4.27) при # € с о ( р )

дх* (R,

ц)

(4.39)

dR

С:::

d '

где

d=

min

| Д0 (^0 ) і-

Рассмотрим решение системы (4.4), удовлетворяющее

начальному

условию

х(0,

р,

*•) = *?.

(4.40)

Для

этого решения в силу (4.38) и (4.37)

R(xl

x(l,ii,

xi)) = R M , х0(\,

<)) + 0(р ) = 0(р) .

В

то же

время

# ( Х ° ( р ) ,

х(\,

р, Х°(р))) = 0.

Отсюда и

из

(4.39)

следует,

что

| | Х ° ( р ) - * 0 0 | | < Ф -

(4.41)

Докажем

теперь

(4.26).

Рассмотрим

сначала

случай

л = 0. Сравним

решение X(t,

р) краевой

задачи,

удовлет­

воряющее условию X

(0, р) = Х° (р), с решением х (t,

p,

хі),

удовлетворяющим

начальному

условию

(4.40).

Так

как

дх (t и

х°)

решение —^-у^—-

системы (4.30) равномерно ограничено,

§ 13]

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ С ОДНИМ

ПОГРАНИЧНЫМ

СЛОЕМ

93

т.е.

dx(t,

ц, х°)

< с ,

то в силу

(4.41) имеем

\\X(t,

\i)-x(t,

р,

х ° ) | К ф

( 0 < f < l , 0 < | i < | i 0 ) .

(4.42)

С другой

стороны, для решения начальной задачи (4.4),

(4.40)

Х 0 ( / , р)

является формулой нулевого

приближения

и согласно результатам главы 3

\\x(t, р, x°)-X0(t,

р ) | | < с р

( 0 < ^ < 1 ,

0 < р < р 0 ) .

(4.43)

Из (4.42)

и (4.43) последует (4.26) для п = 0.

Чтобы

получить

(4.26) для

произвольного п,

можно

поступить

следующим

образом.

Возьмем

вместо (4.40)

начальное условие

в виде

X (0,

р., (х°)„) =

(х°)„ =

хі +

рх» + . . .

+

где х\—значения,

определенные

согласно

изложенному

выше алгоритму.

Проводя

все дальнейшие

рассуждения

| | Х » ( р ) - ( х » ) п | | < с р " « ,

(4.44)

В то же время

\\x(t,ii,(x%)-Xn(t,

р ) | | < с р " + 1 ( 0 < ; < 1 , 0 < р < р 0

) .

Отсюда и из (4.44) последует

(4.26) для

произвольного

п.

Теорема 4.1 доказана.

В заключение рассмотрим

п р и м е р ,

иллюстрирующий

\^§ = -(г-у-1)(г-у)(г-у+1),

| = z ,

( 4 ^

z(0) = 0,

у(1) = 0.

94

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

фа

= г/ и

ф3

=

г/ — 1.

Нетрудно

проверить,

что

и

ф 1 ;

и

ф3

удовлетворяют условиям теоремы 4.1. Поэтому существуют

два решения

поставленной

задачи.

D можно взять

Проверим

это для фх . В качестве

на­

пример,

прямоугольник

| г / | < 3 ,

O s S ^ ^ l .

Очевидно,

в этой области все три корня ц>1, ф2 , ф3 изолированы

(условие

I). Чтобы

проверить

условие I I , определим

ре­

шение

x0(t)

задачи

(4.8),

(4.9).

Получим

Уо (t) =

(Уо +

1) е * - 1 .

*о (t) = (у0

+

1) е*.

Система

(4.16) в

данном

случае

распадается

и

имеет

вид

z0

= 0,

(г/0

+

I ) <>— 1 =

0.

Отсюда

получим

г0

=

0,

у0

=

= — \-\-e~1,

т. е. система разрешима относительно z0 ,

у0

и

Л0

= е 1 =^0 .

Таким

образом,

окончательно

у0

(t)

=

=

— 1+е*~1,

z0(t)

= ét~1.

Очевидно,

(у0

(t),

t)ÇD

при

O ^ ^ ^ l

(условие

I I I ) . Проверим

условие

IV.

Имеем

dF

= — 2 при любом у

и тем самым

—

(t),

при у = уа

OZ z=<pt=y+l

устойчивости

вправо

выполнено. Наконец,

т. е. условие

условие

V

будет

также

выполнено. Действительно,

при­

соединенная

система

(2.24)

имеет

вид

£ =

_ ( 5 - е - * ) ( 5 - е - * + 1) (z-e-i

+ 2).

Опираясь на

результат п.

5 § 7,

нетрудно

убедиться,

что

решение

Z

(

T

) ,

определяемое начальным

значением

z(0)

=

=

z0 = 0

(0

лежит

между

е - 1 — 1

и е'1),

стремится

при

т — ю о

к е - 1 ,

т. е. к ц>і(у0, 0).

У п р а ж н е н и е .

Проверить, что ф 3

также удовлетворяет

усло­

виям теоремы 4.1, и ему

отвечает г / 0 (0= ' — е*"1 .

Таким образом,

задача

(4.45)

имеет по крайней

мере

два решения, у-компоненты которых при р—>-0 стремятся

соответственно к y0(t)

= — 1 + е < _ 1

(решение, отвечающее фх )

и к y0(t)=\—(решение,

отвечающее

ф3 ).

3. Другие типы дополнительных условий. Изложенный

метод

можно

применить также к задачам с более слож­

ными

дополнительными

условиями,

чем (4.5)

(см.

[19]).

В настоящем пункте это будет продемонстрировано на

примере

трех

задач,

но

этим,

разумеется,

не

исчерпыва-

§ 13]

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ОДНИМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

95

а) Многоточечная

краевая

задача. Пусть дополнитель­

ные условия

имеют

вид (tt

tp—заданные

числа

из

интервала (0,

1))

R(x(Q,

L I ) ,

x(tlt

L I ) , ...,x(tp,

L I ) ,

x{\,

/?„ = /? (*0.

* о & ) ,

"x„(tp),

*о(1)) = 0.

(4.46)

Так как в силу (4.8),

(4.9) х0

(^)

x0(tp),

х0(1)

явля­

ются

известными

функциями

х0,

то

в уравнениях

(4.46)

в качестве неизвестных можно, как

и в п. 1, рассмат­

ривать х0.

Если система (4.46)

разрешима

относительно

х0 и соответствующий

определитель

отличен

от

нуля, то

уравнения

следующих

приближений

Rk = 0 (k=l,

2, . . . )

будут

разрешимы

относительно

xk,

и, таким

образом,

R(x(0,

L I ) ,

x(l,

Ll)) = 0,

где R—вектор размерности

М +

т-\-р.

96

КРАЕВЫЕ

ЗАДАЧИ

[гл.

4

Исследование этого

случая

также можно

провести

по

схеме,

изложенной в

п. 1. Единственное видоизменение

состоит

в том, что X

также

представляется

в виде ряда

А, = A,,, - f рл-х + . . . +

\ікХк + . . .

Вместо (4.16) будем тогда

иметь

Яо =

х0(1,

х0, Яч,)) = 0.

вать

компоненты

х0 и

Я0 ,

общее

число которых

равно

М +

т + р и совпадает с числом уравнений. В следующих

приближениях

получим

уравнения

Rk = О

относи­

тельно хк,

Хк.

с параметром

X приводит, на­

К

такого рода задаче

пример,

вариационная

задача на

условный экстремум.

устойчивого

случая, упоминавшегося

в § 12 и подробно

рассматриваемого в § 14. Поэтому

специально

о

вариа­

ционных задачах будет говориться в

п. 11 § 14.

в) Задача

с подвижной границей.

Параметр

X

может

входить не только в уравнения, но и

в краевые

условия.

dz

п ,

,ч

du

г (0,

р) = а,

у(Х,

ц) = а(Я),

z(X,

=

(4.47)

а—заданное число, а(Х),

Ь(Х)—заданные

функции. В част­

ном случае

Ь(Х) ——

і/а'(X) задача

имеет

простой

геомет­

кривая y(t,

р)

пересекала под прямым углом некоторую

заданную кривую y =

a(t).

Представим

X в виде Х=Х0-\-рХ1-т-

. . . , а

значение ре­

шения при

£ =

0 по-прежнему в

виде

(4.6).

Подстановка

(4.7) в дополнительные

условия

(4.47)

дает

(4.48)

98

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. 4

либо (в случае, когда асимптотическая устойчивость

имеет

место,

но не может быть обнаружена по первому прибли­

жению,

см., например, [20]) теорема о предельном

пере­

ходе справедлива, но асимптотика имеет иной вид.

Что

касается

краевых задач, то, как уже отмечалось

в § 12, условие

(3.22) не является условием по существу,

снова

пример (1.14), в котором характеристическое

урав­

нение

имеет корни

%1 <

0 и %3 > 0,

т. е. условие

(3.22)

не выполняется. Решение начальной задачи в этом

случае,

вообще говоря,

предела не имеет. Однако решение

краевой

задачи

(1.14), (1.19) сходится к вырожденному

решению,

но его уже нельзя

рассматривать по методу § 13.

Этот пример

показывает, что при рассмотрении

крае­

вых задач

условие

устойчивости (3.22) следует

заменить

более

общим требованием, состоящим

в том, что действи­

тельные

части

корней

характеристического

уравнения

больше

нуля.

Хотя

для исследования этого случая нельзя восполь­

зоваться

результатами предыдущих глав, но, как будет

описана

в главе 3. Далее

по тому же плану, как в гла­

ве 3, но при помощи более

сложного

аппарата,

можно

доказать

существование

(в

окрестности

главного

члена

характере

указанного

разложения.

2. Блочные матрицы и действия над ними. В настоящем

параграфе

нам

придется

иметь

дело

с

квадратными

(МхМ)-матрицами А, разбитыми

на блоки.

Будем

упо­

треблять для такой матрицы следующую

запись:

(4.51)

где Ап,

Л 1 2 ,

Л 2 1 , Л2 2 —матрицы

(блоки)

с размерами

соответственно

kxk,

kx(M—k),

(M—k)xk,

(M—k)x

X(M—k).

Верхними

индексами

будем

обозначать

эле­

менты A'J

(i,

j

— 1,

2, . . . ,

M) матрицы

A.