книги из ГПНТБ / Васильев Г.А. Повышение эффективности комплексной автоматизации

Отсюда множитель, стоящий перед квадратной скобкой в (4.17а), может быть представлен следующим образом:

Используя это равенство, запишем окончательное выра­ жение для математического ожидания линейной ошибки секторного разложения нулевого типа

Формула (4.20) соответствует нашим интуитивным представлениям. Понятно, что линейные ошибки пре­ образования должны возрастать при увеличении даль­ ности зоны обзора и уменьшаться при увеличении числа элементов разложения. Множитель

в формуле (4.20) является масштабным коэффициен­ том. Смысл этого коэффициента заключается в следую­ щем. Если площадь зоны обзора я.D2 разделить на общее количество элементов разложения N, то получим площадь усредненного прямоугольника разложения. Корень квадратный из площади усредненного прямо­ угольника дает значение стороны эквивалентного квад­ рата разложения, а величина стороны этого квадрата,

умноженная на V 2 , равна его диагонали' р. Таким образом, в качестве естественной единицы измерений линейной ошибки может быть взята диагональ экви­ валентного квадрата разложения.

Функция т 0 (а), которую назовем нормированной функцией математического ожидания линейной ошибки разложения нулевого типа, не зависит непосредственно ни от дальности зоны обзора, ни от количества элемен­ тов разложения. Функция т 0 (а) показывает изменение математического ожидания линейной ошибки в зависи­ мости от соотношения размеров элементов разложения по азимуту и дальности, или, что то же самое, в зависи-

80

ность не только найти значение функции в точке мини­ мума, но также позволяет получить количественное пред­ ставление о характере изменения математического ожи­ дания линейной ошибки при изменении аргумента а. Для этого рассмотрим область оптимальных значений а, определяемую неравенством

m0 ( a ) < 5 min/и0 (а),

где min т 0(а) =0,632 (рис. 4.2). Значение коэффициен­ та В в этой формуле выбирается в соответствии с до­ пустимым увеличением значения математического ожи­

последующего изложения примем 5 = 1 ,1 , что соответст­ вует увеличению математического ожидания линейной ошибки не более чем на 1 0 % по сравнению с минималь­ ным. Неравенство

определяет диапазон оптимальных значений а и выпол­ няется при

0 ,7 < а < 3 ,2 , (4.23)

что видно из графика функции т 0(а).

Дисперсия линейной ошибки при введенных в нача­ ле раздела исходных условиях относительно плотностей распределения случайных аргументов, входящих в (4.1), может быть вычислена по правилу (4.3):

Опустив промежуточные вычисления, запишем резуль­ тат интегрирования:

Назовем а0 (а) нормированной функцией среднеквадрати­ ческого отклонения линейной ошибки.

82

Как видим, среднеквадратическое отклонение линей­ ной ошибки з0 (у) так же, как и математическое ожида­

ние, зависит от величины передаваемой дальности зоны обзора, общего количества элементов разложения и аргумента а. Для структуры обеих формул (4.20)

и(4.24) характерно наличие масштабного коэффициента

р= \S2-KD-jN.

Всвязи с этим можно обобщить полученные результаты

исформулировать второе правило квадрата: мерой числовых характеристик линейной ошибки преобразова­

ния является диагональ эквивалентного квадрата раз­ ложения р.

В дальнейшем мы увидим подтверждение этого пра­ вила при анализе числовых характеристик линейных ошибок других типов разложения.

График функции сто (а), построенный по формуле (4.24) и представленный на рис. 4.3, имеет минимум

в предыдущем разделе, и хорошо согласуется с ранее полученными результатами (4.14).

Определим диапазон оптимальных значений аргумен­

где min оо(а) =0,266. Неравенство (4.25), как видно из рис. 4.3, выполняется при

0,9<-а<1,9. (4.26)

Из двух условий (4.23) и (4.26) второе определяет более узкий диапазон изменения аргумента а. Оно и должно быть принято для окончательного определения интервала оптимальных значений а.

Полученные в результате исследования функций т 0(а) и оо(а) оптимальные значения аргумента а позволяют найти оптимальное разложение, при котором система

Оптимальные значения а, при которых функции т 0(а), 0 о(а) достигают минимума, соответственно равны 1,50 и 1,42. Следовательно, критерий минимума математиче­ ского ожидания линейной ошибки и критерий минимума ее дисперсии могут быть объединены в один критерий потенциальной точности.

Диапазон оптимальных значений аргумента а в со­ ответствии с неравенством вида (4.25) определяет пре­ делы оптимальных значений параметров п0 и qo-

Следует отметить, что формулы (4.27) и (4.28) совпадают сполученными втретьей главе (3.16) и (3.15), если положить а = 1,5.

4.4.Модификации секторных разложений [43]

4.4.1.Аналитические выражения числовых характеристик

При проектировании секторных систем с разложе­ ниями первого, второго и третьего типов необходимо знать величину числовых характеристик линейных оши­ бок и их связь с параметрами преобразования.

Для изучения этого вопроса получим выражения ма­ тематического ожидания и дисперсии линейной ошибки разложений третьего типа и покажем, что числовые характеристики разложений первого и второго типов являются частными случаями разложения третьего типа.

8 4

При решении этой задачи так же, как и для разло­ жения нулевого типа, полагаем, что процесс преобра­ зования н вероятностные характеристики ошибок пре­ образования (квантования) неизменны. Пространствен­ ная схема возникновения линейной ошибки аналогична показанной на рис. 4.1. Как и прежде, принимаем гипо­ тезу о равномерном распределении целей в зоне обзора и учитываем принцип физической реализуемости си­ стемы.

Распределение ошибок по дальности внутри элемен­ та разложения описывается законом равномерной плот­ ности, что свойственно обычно ошибке квантования:

Функция плотности вероятности ошибки по азимуту задана двумя аналитическими выражениями

I 1/Дрз при k D < x 3 < lD ,

(4.30)

I 2/Др, при ID < х 3<- D.

Функция плотности вероятности расстояний целей от начала координат при равномерном их распределении в плоскости зоны обзора также задана двумя аналити­ ческими выражениями

мыми. Поэтому функция плотности вероятности системы случайных аргументов Xi, х2, Хз равна произведению вы­ ражений (4.29), (4.30) и (4.31) и записывается в виде одного выражения для всего интервала существования

Сектор разложения третьего типа (рис. 3.5) имеет три области существования случайных аргументов. Внутри центральной области сектора пределы изменения слу­ чайных аргументов определяются системой неравенств

8 5

Функциональная зависимость линейной ошибки преоб­ разования от случайных аргументов прежняя

Математическое ожидание линейной ошибки является суммой двух слагаемых: первое слагаемое — результат интегрирования по области (4.33), второе—-удвоенный результат интегрирования по области (4.34), поскольку таких областей две. На основании приведенных сообра­ жений запишем исходное выражение для математическо­ го ожидания линейной ошибки разложения третьего типа

Легко видеть, что, полагая в этой формуле /= 1, полу­ чаем выражение для математического ожидания линей­ ной ошибки разложения первого типа, а при & = 0 — ма­ тематическое ожидание линейной ошибки разложения второго типа. Результат интегрирования можно предста­ вить следующим образом:

для разложения первого типа

Запишем исходное выражение для дисперсии линей­ ной ошибки разложения третьего типа, воспользовав­

86

id3A?3/2 D

— m. (y)-

Аналогично тому, как это имеет место для математиче­ ского ожидания, выражение дисперсии линейной ошиб­ ки разложения третьего типа переходит в выражение дисперсии для разложения первого типа при 1 = 1 или в выражение дисперсии для разложения второго типа при k= 0. Вычислив дисперсию, запишем формулу для среднеквадратического отклонения линейной ошибки разложения третьего типа:

в (4.20) и (4.24), присутствует масштабный коэффици­ ент

р = |/ 2 %D2fN,

равный диагонали эквивалентного квадрата разложе­ ния. Наличие коэффициента р подтверждает второе пра­ вило квадрата. Структура формул (4.35) — (4.40) пока­ зывает, что анализ числовых характеристик линейных ошибок преобразования может быть выполнен в резуль­ тате исследования нормированных функций математиче­ ского ожидания mi(a), m2 (a), т 3(а) и нормированных функций среднеквадратического отклонения линейных ошибок oi(а), а2 (а), о3 (а) аналогично тому, как это было сделано для разложения нулевого типа.

87

4.4.2. Разложение первого типа

На рис. 4.4. и 4.5 приведены семейства функций mi(a) и cri(a). С увеличением параметра k кривые обо­ их семейств располагаются ближе к оси абсцисс. Это соответствует уменьшению математического ожидания и среднеквадратического отклонения линейной ошибки при

уменьшении площади той части зоны обзора, которая подвергается преобразованию. С увеличением параметра минимумы обоих семейств смещаются в сторону боль­ ших значений аргумента а.

В области малых a (a<0,6—0,8), как следует из гра­ фиков функций mi (а) и ai(a), линейные ошибки разло-

Рис. 4.5.

88

жений первого и нулевого типов практически равны при изменении параметра k в широких пределах (OsSj&sg; <с;0,4). Разложение первого типа дает заметное умень­ шение ошибок в области оптимальных значений аргу­ мента а по сравнению с разложением нулевого типа. В табл. 4.1 приведены результаты сравнения минималь-

ных значений функций mi(и) и т 0(а), а также а4(а) и его (а ) i что позволяет оценить относительное уменьшение линейных ошибок при использовании разложения перво­ го типа по сравнению с нулевым. Сравним значения от­ носительных минимумов функций mi (а) и Oi(a) с соот­ ношением

полученным в гл. 3. Результаты расчета по формуле (3.29) представлены в табл. 4.1. Как видно из таблицы, значения min mi (a)/.min m0(a) и AdiJAdo практически совпадают при соответствующих значениях параметра k. Поэтому с достаточной для практических целей точно­ стью можно считать, что

89