книги из ГПНТБ / Васильев Г.А. Повышение эффективности комплексной автоматизации

ЛИНЕЙНЫЕ ОШИБКИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ

4.1. Постановка задачи

Мерой точности радиолокационных систем принято считать ошибки по дальности и ошибки по азимуту вследствие использования естественных полярных коор­ динат. Такой подход дает возможность удобного изуче­ ния ошибок, возникающих в трактах дальности и ази­ мута системы и обусловленных разными причинами: ошибками, присущими самому методу и ошибками тех­ нического характера. Однако выражение меры точности через ошибки по дальности и азимуту затрудняет срав­ нение систем с различной величиной координатных оши­ бок, исключает возможность оптимизации систем при на­ личии естественных ограничений. Кроме того, использо­ вание ошибок по дальности и азимуту как меры точно­ сти обычно нецелесообразно для решения практических задач в центре управления радиолокационной системы в связи с необходимостью пересчета координат целей, выполнением ряда задач вторичной обработки, отобра­ жением полученной информации и т. д.

Метод оценки точности системы с полярными коорди­ натами, основанный на анализе размера элементов раз­ ложения, который дан в гл. 3, обладает физической на­ глядностью и простотой. Он позволяет дать общую оцен­ ку точности, не прибегая к анализу промежуточных про­ цессов преобразования. Математическое ожидание и ко­ эффициент вариации размера элементов разложения являются удобной мерой точности секторных и кадро­ вых систем.

Однако в целом ряде случаев полученные оценки могут оказаться недостаточными для исчерпывающего суждения о точности методов и целесообразности при­ менения того или иного типа разложения, а также о вза­ имосвязи ошибок преобразования и соответствующего им разложения.

71

Преодоление названных затруднений возможно в ре­ зультате использования линейной ошибки как меры точ­ ности системы с полярными координатами. В конечно­ мерном евклидовом пространстве, частным случаем ко­ торого является зона обзора РЛС, понятие меры опре­ делено через расстояние между двумя его элементами [45, 46]. На основании классического понятия меры конечномерного пространства целесообразно определить линейную ошибку системы как расстояние между истин­ ным и преобразованным (сформированным системой) положениями цели. Достоинством такого метода опре­ деления ошибки является свойство ее инвариантности по отношению к выбору системы координат. Величина линейной ошибки, определенная, например, в системе координат РЛС, не изменяется при переносе в систему координат центра управления. Этот подход оказывается особенно удобным, когда в центре управления исполь­ зуется информация нескольких РЛС, удаленных друг от друга, а также от начала координат системы на боль­ шие расстояния.

Рассмотрим качественно вопрос о возникновении ошибок преобразования, используя понятия пространст­ венно-временных масштабных соотношений. Положение отметки от цели внутри элемента разложения случайно. В соответствии с правилами преобразования, изложен­ ными в гл. 2 , отметка переносится в правый верхний угол элемента разложения. Это соответствует случаю, когда антенна РЛС вращается по часовой стрелке. В дальней­ шем будем рассматривать только этот случай, посколь­ ку он не нарушает общности рассуждений.

Преобразование положения случайной отметки от цели сопровождается появлением двух составляющих, одна из которых является ошибкой по дальности, а дру­ гая— п.о азимуту. Каждая из этих составляющих может изменяться от нуля до величины, равной стороне эле­ ментарного прямоугольника разложения. Анализ состав­ ляющих линейной ошибки позволил бы построить оцен­ ки, аналогичные тем, которые приняты на практике для систем с полярными координатами, т. е. сформулировать требования к ошибке по дальности и по азимуту. Однако в гл. 3 было показано, что ограниченное количество эле­ ментов разложения и соображения об их оптимальном использовании обусловливают взаимную зависимость между размерами элементов по дальности и азимуту.

73

Линейная ошибка преобразования равна нулю, ког­ да отметка от дели попадает в правый верхний угол элемента разложения. Максимальная линейная ошибка преобразования равна диагонали наибольшего, находя­ щегося на максимальной дальности элемента разложе­ ния. Используя понятие меры, естественно в качестве характеристики точности преобразования рассматривать линейную ошибку, которая представляет собой геомет­ рическую сумму ошибок по дальности и азимуту.

Задачей данной главы является изучение взаимосвя­ зи линейных ошибок с параметрами применяемых для преобразования типов разложения. Для решения задачи необходим выбор критерия точности. Поскольку пре­ образованию сопутствуют случайные ошибки, критерий должен учитывать их вероятностную природу. При вы­ боре критерия необходимо принимать во внимание гипотезу о распределении целей в зоне обзора и сообра­ жение о физической реализуемости системы. Критерий должен обладать интегральными свойствами, т. е. учи­ тывать все указанные факторы.

Интегральными критериями точности оптимального преобразования может служить условие обращения в минимум математического ожидания или дисперсии линейной ошибки. Эти критерии соответствуют сообра­ жениям о минимизации среднего расстояния преобразо­ ванной отметки и минимизации ее разброса от своего истинного положения с учетом вероятности возможных отклонений. В дальнейшем подробно изучим оба этих критерия, но сначала следует рассмотреть в общем виде вопрос о существовании минимума дисперсии линейной ошибки системы с полярными координатами. Систему, которая отвечает этому критерию, будем называть системой, обладающей потенциальной точностью.

4.2. Потенциальная точность преобразования 170]

Предположим, что на систему с полярными коорди­ натами поступают отметки от целей, подлежащие пре­ образованию, причем распределение их на плоскости зоны обзора может быть описано законом равномерной плотности. Зона обзора разделена на N элементов с помощью разложения нулевого типа. Размеры элемен­ тов по дальности равны М и по азимуту Ар. Цель,

73

попавшая внутрь элемента разложения, после преобра­ зования переносится в его правый верхний угол.

Линейная ошибка преобразования, т. е. расстояние между истинным и преобразованным положениями от­ метки от цели,

стемы, обладающей потенциальной точностью, требует отыскания значений параметров Ad и Др, при которых дисперсия линейной ошибки

—GO

tn(y) = I yw (y)dy,

— 00

минимальна при выполнении условия физической реали­

Однако нахождение функции плотности распределения линейной ошибки w (у) представляет определенные труд­ ности и даже для простых исходных условий приводит к сложным вычислениям и громоздким результатам [65].

Для широкого класса задач ошибки по дальности и азимуту могут считаться взаимно независимыми. Кроме того, они не зависят обычно и от распределения целей в плоскости зоны обзора. Эти соображения позволяют выразить функцию плотности распределения линейной ошибки через функции плотности распределения слу­ чайных аргументов:

w(y) = wl(xi)wz(x2)w3 (x3)

и упростить вычисление дисперсии (4.2) [47]:

СО СО СО

74

т (У) = j j J V А + А -«з х

Для отыскания условий, при которых дисперсия линей­ ной ошибки минимальна, вычислив выражение (4.3), получим:

случайных величин Xi, Х2, Хз. Если ошибки по дальности и азимуту центрированы, то из (4.5) имеем

Анализ уравнений (4.5) или (4.6) должен выпол­ няться с учетом условия физической реализуемости си­ стемы (2.20). Однако в эту формулу входят интервалы разложения, характеризующие максимальные величины случайных ошибок по координатам. В том случае, если ошибки по каждой из координат распределены равно­ мерно, интервал неопределенности для соответствующей координаты совпадает с интервалом разложения. Иногда представляется затруднительным указать величину ин­ тервалов неопределенности по дальности и азимуту в связи, например, с нормальным законом распределе­ ния ошибок, поскольку в этом случае величина коорди­ натных ошибок может изменяться теоретически от + оо до —оо. Это затруднение может быть преодолено с вве­ дением энтропийных коэффициентов [48], которые уста­ навливают связь между среднеквадратическими откло­ нениями случайных величин и интервалами неопреде­ ленности в смысле теории информации. Энтропийные интервалы разложения могут быть записаны в виде

энтропийного коэффициента зависит от вида закона распределения и для широкого класса законов изменя­ ется обычно от значения 3,46, соответствующего равно­ мерному распределению, до максимального значения 4,14, которое соответствует нормальному распределению.

75

Использовав связь интервалов неопределенности и среднеквадратических отклонений, подставим выраже­ ния (4.7) в формулу, (2.20) и получим условие физиче­ ской реализуемости системы в виде

Запишем выражение для среднеквадратического откло­ нения ошибки по азимуту, используя формулу (4.8):

Для определения условий существования системы с по­ тенциальной точностью преобразуем формулу (4.6), выразив дисперсии (х4) и И(хг) через среднеквадрати­ ческие отклонения по дальности и азимуту с учетом (4.9):

< 4 Л » >

Отыскание минимума функции 35(у) в общем виде встречает трудности. Однако в области минимума ди­ сперсии линейной ошибки справедливо приближенное равенство

dm2(y)/dad^ 0,

что можно показать, разлагая т 2(у) в ряд Тейлора и сохраняя три первых его члена. На основании приве­ денных соображений из выражений (4.10) и (4.9) на­ ходим значения ошибок по дальности и азимуту, при которых дисперсия линейной ошибки минимальна:

Отсюда оптимальное "соотношение [между ошибками по азимуту и дальности

соответствующее условию потенциальной точности си­ стемы, определяется законом распределения целей в плоскости зоны обзора.

76

В соответствии с гипотезой о равномерном распреде­ лении целей в зоне обзора плотность распределения их расстояний от начала координат, как показано в гл. 3, описывается функцией

Величина второго начального момента плотности рас­

Отсюда оптимальное соотношение между ошибками по азимуту и дальности (4.11) принимает вид

Введем нормированный аргумент а, который пока­ зывает соотношение между линейными ошибками по азимуту и дальности на периферии зоны обзора,

а = D iJ 3d = К? 3?D/Kd?d= Д(ЗэО/М 3.

Из равенства (4.13) получаем оптимальное значение нормированного аргумента

при котором система обладает потенциальной точ­ ностью, если только распределение целей на плоскости зоны обзора равномерное. Соотношение (4.14) естест­ венно распространить на случай, когда каждая из оши­ бок по азимуту и дальности является суммой независи­ мых компонент:

Таким образом, мы показали возможность сущест­ вования.потенциальной точности в системе с полярными координатами при определенном соотношении между координатными ошибками и, следовательно, зависи­ мость оптимальных параметров системы от характера распределения целей в зоне обзора. Следует отметить, что аналогичные соотношения могут быть указаны для любой физически реализуемой системы.

Для решения практических задач проектирования оптимальных систем, обладающих потенциальной точ­ ностью, обычно недостаточно иметь представление об условиях, при которых линейная ошибка минимальна.

77

Как правило, необходимо знать минимальные величины математического ожидания и дисперсии линейной ошиб­ ки, а также ширину области минимума, т. е. требуемую точность выполнения равенства а = а 0пт- Начнем подроб­ ное рассмотрение этих вопросов с разложения нулевого типа. ^

4.3. Разложение нулевого типа [64]

Пространственная схема преобразования координат целей с помощью разложения нулевого типа показана на рис. 4.1. Отметка цели, истинное положение которой соответствует точке Оi, переносится в результате выполнения процесса пре­ образования в точку 0 2.

При этом ошибка преоб­ разования по дальности равна х\, а по азимуту х2. Если расстояние точки Oi от начала координат рав­ но Хз, то линейная ошиб­ ка преобразования или расстояние между точка­ ми Oi и 0 2

у — |/ ^ X j х2 Л'" .

Случайные аргументы хи х2, Хз линейной ошибки взаимно независимы и мо­ гут изменяться в следую­ щих пределах:

0 <*i<i/W o, 0 < х 2 <ДРо, 0 < х 3<£>. •

Распределение ошибок Xi и х2 описывается равномерной плотностью распределения в силу дискретного характе­ ра процесса преобразования (квантования). Поэтому

Wi(Xi) = 1 /Ad0,

w2(x2) = 1/Дро-

В соответствии с гипотезой о равномерном распределе­ нии целей в плоскости зоны обзора плотность распреде-

78

ления их расстояний от начала координат выражается функцией

как показано в гл. 3. Плотность распределения системы случайных аргументов Xi, х2, х3 в соответствии с при­ веденными выше соотношениями

Запишем исходное выражение для математического ожидания линейной ошибки, используя правило (4.4):

Дdo Д{30 & __________________

В результате интегрирования этого выражения полу­ чаем

Используя введенный в предыдущем параграфе нормиро­ ванный аргумент а = Д(30П/Дс?0. преобразуем полученное выражение к виду:

Покажем связь между количеством элементов раз­ ложения по дальности пй и аргументом а. Для этого, заменив в выражении для а пространственные размеры элементов оазложения их значениями из (2.18) и (2.19), получим

79