книги из ГПНТБ / Васильев Г.А. Повышение эффективности комплексной автоматизации

типов разложений по сравнению с нулевым. Для этого вычислим отношения

воздействия неизменны.

Рис. 5.24.

Сравнение эмпирических формул для минимальных значений математического ожидания линейной ошибки различных типов разложений (5.7), (5.46), (5.49), (5.52), (5.19) показывает, что все они могут быть представлены в виде

150

Обобщенная эмпирическая формула для минимальных значений среднеквадратического отклонения линейной ошибки может быть получена в результате сравнения формул (5.8), (5.47), (5.50), (5.53), (5.20):

вследствие независимости числовых коэффициентов a, b и с от типа разложения.

Полученный результат позволяет сформулировать важное правило. Относительное уменьшение числовых характеристик линейных ошибок сложных модификаций разложений по отношению к разложению нулевого типа определяется качеством выравнивания размера элемен­ тов разложения и не зависит от величины шумового воздействия.

5.5.3. Оптимальное количество элементов разложения при наличии шума

Результаты, рассмотренные в предыдущих парагра­ фах, показывают, что минимумы математического ожи­ дания линейной ошибки и ее среднеквадратического от­ клонения достигаются практически при одних и тех же значениях аргумента а. Следовательно, эти критерии мо­ гут быть обобщены в критерий потенциальной точности. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать критерий минимума среднеквадратического отклонения линейной ошибки, отождествляя его с критерием потенциальной

точности.

Точность зависит от общего количества элементов разложения, поскольку в формулах (5.55) и (5.56) N входит в выражение для масштабного коэффициента р и для коэффициента шумового воздействия g:

Увеличение общего количества элементов разложения приводит к уменьшению р и, следовательно, к умень­ шению величины линейной ошибки. В то же время с ро-

151

стом N увеличивается коэффициент шумового воздей­ ствия, и, следовательно, имеет место тенденция увеличе­ ния числовых характеристик. Очевидно, существует оптимальное количество элементов разложения N0UT, при котором минимальные значения числовых характе­ ристик линейной ошибки (5.55) и (5.56) достигают ми- нимум-миниморума.

Для определения iVonT подставим в формулу (5.56) значения р и £ из (5.5а):

Отсюда оптимальное количество элементов разложения выражается следующим образом:

ности при создании системы должны быть выбраны оп­ тимальными: общее количество элементов разложения N-, коэффициент шумового воздействия аргумент а, соответствующий минимальным значениям функций чис­ ловых характеристик выбранного типа разложения.

5.5.4. Коррекция ошибок передачи

Изучение линейных ошибок передачи при наличи шу­ ма показывает, что математическое ожидание модуля ошибки отлично от нуля и возрастает при увеличении коэффициента шумового воздействия. Поэтому необходи­ мо рассмотреть вопрос о математическом ожидании фа­ зового угла линейной ошибки передачи и на основании его исследования сформулировать правила оптимальной коррекции, подобно тому, как это было сделано для кор-

152

рекции ошибок преобразования в гл. 4. Для сокращения объема рассмотрим только метод интегральной коррек­ ции.

Запишем выражение для математического ожидания фазового угла линейной ошибки разложения третьего типа при воздействии равномерно распределенного шу­ мового воздействия:

Исходное выражение для математического ожидания фа­ зового угла линейной ошибки при нормально распреде­ ленном шумовом воздействии имеет вид:

Об kD — 00

Интегрирование выражения (5.58) может быть выпол­ нено, хотя и сопряжено с чрезвычайно громоздкими вы­ числениями; интеграл (5.59) не выражается через эле­ ментарные функции. Поэтому целесообразно исследо­ вать математическое ожидание фазового угла линейной ошибки при равномерном и нормальном шумовом воз­ действиях методами математического моделирования.

153

В этом случае может быть использован алгоритм, описанный в и. 5.5.1. Вычисление значения фазового угла случайной линейной ошибки производится по формуле

<Pi= arctg[x2x3/ (Xi + * 4) ],

где j — номер реализации ошибки в серии испытаний; Xi — ошибка, возникающая под влиянием шумового воз­ действия канала связи, распределенного по равномерно­ му или нормальному закону.

Результаты анализа функций т (а, S) и т (а, S,),

полученных методами математического моделирования, показывают, что закон распределения шумового воздей­ ствия не имеет существенного влияния на величину ма­ тематического ожидания фазового угла линейных оши­ бок. Поэтому с достаточной для практических нужд сте­ пенью точности можно считать, что

«У (*. *) = " У К 9 = (a, S),

если только в обоих случаях величина коэффициента шу­ мового воздействия | неизменна.

Исследование аналитических выражений математи­ ческого ожидания фазового угла линейной ошибки при равномерном распределении шумового воздействия и со­ ответствующих им значений, полученных методами мате­ матического моделирования, при нормальном распреде­ лении шумового воздействия позволяет указать основные свойства функции:

где A — постоянное число.

Изменение параметров секторных разложений в пре­

циента шумового воздействия. Поэтому существует воз­ можность построить обобщенную функцию математичес­ кого ожидания фазового угла линейной ошибки в ре­

154

На рис. 5.25 изображено семейство обобщенных функций т,у (я, £). Отсутствие индекса i в обозначении

функции означает ее независимость от типа разложения. В качестве параметра семейства взято значение коэффи­

интерес с точки зрения проектирования, так как она со­

ответствует области минимальных значений числовых характеристик линейных ошибок и может быть с доста­ точной для практики точностью аппроксимирована отрез ками прямых:

M ,(*,5) = [0,4 + 0 ,1 3 (E -2 )]lg« +

то правила оптимальной интегральной коррекции, изло­ женные в гл. 4, могут быть использованы и в данном случае. Отличие обобщенной функции т (а, £) от функ­

ции строго соответствующей выбранному типу разложе­ ния приводит к коррекции систематических ошибок, не­ сколько отличающейся от оптимальной. Неточность кор­ рекции определяется отношением

Дт1р;(я + )/т ф(яД) =

= И , (а, £) — т фг (я, Щ /тч(я, +

155

Максимальная величина А т . (а, S) примерно на порядок меньше, чем т (а, 5). Поэтому коррекция линейных оши­ бок передачи с использованием обобщенной функции т 9 (а. S) приводит на практике к удовлетворительным результатам.

5.6. Законы распределения линейных ошибок

В большинстве случаев для проектирования систем передачи радиолокационной информации достаточно рас­ полагать сведениями о математическом ожидании и среднеквадратическом отклонении линейной ошибки. Используя эти числовые характеристики, можно выбрать оптимальные параметры ситемы, при которых достижи­ ма ее потенциальная точность, выяснить механизм влия­ ния шума на точность передачи информации, выполнить коррекцию систематических ошибок.

Однако для полного представления о характере ли­ нейной ошибки необходимо знать закон ее распределе­ ния. Начнем рассмотрение с наиболее простого случая: распределения линейной ошибки преобразования при кадровом методе [65]. Так как все элементы разложения в этом случае равны, то закон распределения линейной ошибки в пределах одного элемента разложения дает исчерпывающую картину явления.

156

Элемент разложения кадрового типа изображен на рис. 5.26. В соответствии с обозначениями, принятыми на рисунке, будем считать в дальнейшем, что А^Кдр1< <Д&кдр2, так как это условие не ограничивает общности рассуждений. Минимальная линейная ошибка преобра­ зования равна нулю, если отметка цели совпадает с вер­ шиной элемента разложения, в которую переносятся все отметки, попавшие внутрь элемента. В данном случае эта вершина совпадает с началом координат. Макси­ мальная ошибка равна диагонали элемента разложе­ ния.

Функция плотности вероятности линейной ошибки

Этот интеграл вычисляем по отдельным участкам, в пре­ делах которых у меняется по одному и тому же закону. Таких участков три (рис. 5.26):

157

Y 7 + Дй*?КДркдп1 < x ^2 < A~ “ dи'КДР] 2-

Вычисление функции плотности вероятности на каж­ дом из этих участков дает:

ку

2А£/кдР1^^кдР2

Семейство нормированных функций плотности вероятно­ сти изображено на рис. 5.27 при параметре

!Окдр= Ай?кдрг/А<^кдр1-

При оптимальном разложении (аКдр=1) плотность ве­ роятности линейной ошибки близка к распределению Симпсона. При « Кдр— >оо плотность вероятности линей­

ной ошибки приближается к равномерной вследствие преобладающего влияния одной из компонент, распре­ деленной согласно исходным условиям равномерно.

Для сокращения громоздких вычислений вопрос о распределении плотности вероятности линейных оши­ бок секторного разложения рассмотрим качественно. Ли­ нейная ошибка может изменяться от нуля до величины, равной диагонали наибольшего элемента разложения в случае, если шумовое воздействие отсутствует. Распре-

158

деление ошибки внутри t'-ro элемента разложения описы­ вается выражением (5.62). Параметром функции плот­ ности вероятности в этом случае является число щ, рав­ ное отношению сторон г-го элемента разложения. Для разложения секторного типа с определенным значением нормированного аргумента а величина а; является пере­ менной, так как соотношение между сторонами элемента разложения меняется с изменением его расстояния от начала координат. Поэтому изменяется и вид функции плотности вероятности ошибки внутри элемента разло­ жения с изменением его номера, как это показано на рис. 5.27, где параметру щ соответствует параметр аКдр.

Следует обратить внимание на то, что при cti<l боль­ шая сторона элемента разложения ориентирована вдоль радиуса зоны обзора для всех элементов разложения. При cti> 1 ориентация в центральной части зоны обзора сохраняется для всех элементов разложения вплоть до номера /, причем номером / обозначен элемент, имею­ щий форму квадрата. Для всех последующих элементов большая сторона ориентирована перпендикулярно радиу­ су зоны обзора.

Условная функция распределения плотности вероят­ ности линейной ошибки внутри г-го элемента разложе­ ния должна удовлетворять тождеству

У—УтахУ)

( Wi (yfi) dy— \,

6

где •wi (y/i) определяется формулой (5.62), в которой соотношение между сторонами элемента разложения рав­ но щ. Такому же тождеству должна удовлетворять иско­ мая функция распределения линейных ошибок в преде­ лах всего сектора разложения. Поэтому интегрирование условных функций распределения должно выполняться с весом, пропорциональным площади элементов разло­ жения, что является следствием принятой гипотезы о равномерном распределении целей в области зоны об­ зора:

159