книги из ГПНТБ / Васильев Г.А. Повышение эффективности комплексной автоматизации

Т а б л и ц а 5.2

Полученные характеристики линейных ошибок опре­ деляют потенциальную точность кадрового метода и по­ казывают теоретический предел точности для разложе­ ний секторного типа, который может быть достигнут, при полном выравнивании размера элементов.

В табл. 5.2 приведены также результаты расчета ми­ нимальных значений числовых характеристик линейной ошибки кадрового метода и соответствующих им опти­ мальных значений аргумента а с помощью эмпириче­ ских формул:

(5.19) —(5.21) дают приближенное описание траекторий минимумов функций т кд р ( а , g) и О к д р ( а , g) при наличии шума (рис. 5.10 и 5.11) и позволяют существенно упро­ стить расчет оптимальных по точности кадровых систем.

В главе 2 было указано, что существенное влияние на точность кадрового метода оказывают ошибки запаз­ дывания. Вследствие того, что ошибки запаздывания

130

независимы по отношению к аппаратурным ошибкам преобразования и передачи, общая дисперсия линейной ошибки кадрового метода в среднем может быть пред­ ставлена в виде

В соответствии с формулой (5.18) аппаратурная средне­ квадратическая ошибка при заданном коэффициенте шумового воздействия | определяется аргументом а и выбранным количеством элементов разложения N. Вели­ чину N следует считать конечной и ограниченной вслед­ ствие ограниченной пропускной способности канала свя­ зи. Случайная ошибка запаздывания

Узеш~ У ^зап)

где V — скорость цели. Время запаздывания /зап — слу­ чайная величина, равномерно распределенная на интер­ вале [0, Гадр], где Гкд, — время преобразования полного кадра зоны обзора. Вследствие этого среднеквадрати­ ческая ошибка запаздывания

Для проектирования оптимальных по точности кад­ ровых систем недостаточно минимизировать линейные аппаратурные ошибки. Практический интерес представ­ ляет система, в которой осуществляется минимизация общей ошибки метода. Отыскание минимума а КДробщ в общем случае связано с трудностями,- вызванными сложностью выражения (5.18). Поэтому рассмотрим частный, но важный для практики случай, соответству­ ющий системе с минимальными аппаратурными ошиб­ ками. Запишем формулу (5.22), заменив аКДрапп и сгкдрзап их выражениями из (5.20) и (5.23),

+ 0 , 1VT+0,1E) + V ? ^ 1 2 . (5.24)

Укажем качественные предпосылки существования ми­ нимума сгкдр общ при постоянной пропускной способности канала связи. Первое слагаемое в формуле (5.24) умень­ шается при увеличении общего количества элементов разложения N и тем самым приводит к уменьшению сгкдр общ- Увеличение количества элементов разложения

Подставляя оптимальное значение N из (5.28) в фор­ мулу коэффициента шумового воздействия, получаем

размер элементов в перпендикулярном направлении, могут быть получены из выражений

5.5, Модификация секторных разложений. Нормальное распределение шумового воздействия [69]

5.5.1. Алгоритм решения задачи

Рассмотрим влияние нормально распределенного шума в канале связи на ошибки передачи. Примером физической модели с нормально распределенным шумо­ вым воздействием может служить система, в которой сигнал, несущий информацию о дальности цели, посту­ пает в канал связи непосредственно в момент появления его на выходе устройства преобразования. Искажение временного положения сигнала в канале связи происхо­ дит под влиянием многих факторов, отмеченных в § 5.1. Совместное влияние этих факторов приводит к ошиб­ кам в определении временного положения сигнала (а следовательно, и пространственного положения це­ ли), распределенным по закону, близкому к нормаль­ ному [36, 38].

Будем считать, что процессы преобразования осуще­ ствляются в соответствии с ранее изложенными прави­ лами. Воздействие шума с равномерным энергетическим спектром в полосе пропускания канала связи приводит в основном к ошибкам передачи координаты дальности целей. Поэтому при нормальном распределении шумо-

133

вого воздействия линейная ошибка передачи по-прежне­ му выражается формулой (5.1)

Ошибка передачи координаты дальности х4 описывает­ ся нормальным распределением плотности вероятности:

где Ош — среднеквадратическое отклонение шумового воздействия. Систематические ошибки передачи обычно могут быть устранены путем их центрирования. Вследст­ вие этого в формуле (5.31) математическое ожидание ошибки Xk взято равным нулю.

Как уже отмечалось ранее, все входящие в выраже­ ние линейной ошибки случайные аргументы могут счи­ таться взаимно независимыми. Запишем функцию плот­ ности вероятности системы случайных аргументов линей­ ной ошибки для разложения нулевого типа, используя

(5.2) и (5.31),

w(x1, х 2, х 3, л4) = 2х3 exp (— х 2/2з2)/Дй?0Д(30£ 2аш

(5.32)

Исходные выражения для математического ожидания линейной ошибки и ее дисперсии имеют вид:

т 0(г ) =

Интегрирование этих выражений представляет опреде­ ленные трудности. Анализ более сложных модификаций секторных разложений усложняет исходные выражения

134

для числовых характеристик ошибок и, следовательно, увеличивает сложность их вычисления и исследования.

Рассмотрим решение задачи методами математиче­ ского моделирования с применением ЭЦВМ, используя принципы, изложенные в работах [49, 60]. Пусть исход­ ными данными являются: максимальная передаваемая дальность зоны обзора D, общее количество элементов разложения N, тип разложения и его параметры (k и /). Закон распределения ошибок передачи принимаем нормальным, причем коэффициент шумового воздейст­ вия | считаем заданной величиной. В результате реше­ ния задачи необходимо получить функции числовых ха­ рактеристик линейной ошибки, определить их зависи­ мость от величины нормально распределенного шумово­ го воздействия, а также от параметров оптимального разложения.

Рассмотрим построение математической модели для определения статистических характеристик линейной ошибки разложения третьего типа, так как все другие модификации секторных разложений являются его част­ ными случаями. Пусть выбран массив значений количе­ ства элементов разложения по дальности

п = {Ф \ п{2\ Ф \ . . . , пЩ,

и он охватывает весь диапазон значений, представляю­ щих интерес. Возьмем число Ф \ соответствующее, на­ пример, минимальному количествому элементов разло­ жения в пределах дальности зоны обзора. При этом ко­ личество элементарных секторов разложения зоны обзо­ ра равно

q(D = N/(2— l-k)nW .

Числа пР> и qW определяют размеры элемента разложе­ ния:

Arf(‘) = D/n(‘), А-р(*)= 2я

Для статистического моделирования линейных оши­ бок необходим датчик случайных чисел, распределенных по равномерному закону [49]. Будем рассматривать каждую пару равномерно распределенных чисел щ, ri2, выработанных датчиком, как истинные прямоугольные координаты цели. В этом случае распределение целей в плоскости зоны обзора соответствует гипотезе о рав­ номерной плотности.

135

Цель с координатами гр, тр должна находиться в пре­ делах передаваемой зоны обзора. Для соблюдения этого условия необходимо, чтобы выполнялось неравенство

где k — параметр, указывающий величину относитель­ ного диаметра центральной части зоны обзора, которая не передается. Если неравенство (5.35) не выполняется, числа гр, г)2 отбрасываются и берется следующая пара чисел, которые вырабатываются с помощью ЭЦВМ. Если числа тр, г|2 удовлетворяют неравенству (5.35), то произ­ водится вычисление истинных значений дальности и ази­ мута цели

£ци = D У \ + \ > Рди = arctg (т]2/т),).

Впроцессе преобразования отметка цели переносится

вправый верхний угол элемента разложения. Вычислим ошибку преобразования по дальности. Для этого най­ дем дальность цели после преобразования:

где Е — операция выделения целой части числа (ДЦи/'Ай?(1))- Отсюда ошибка преобразования по дально­ сти равна

Вычисление ошибки по азимуту выполняется различным образом в зависимости от того, на каком расстоянии от начала координат находится цель. Если

V'nai + ^2< 1 >'

то азимут цели после преобразования

Истинное положение цели с координатами (Дцц, рци) преобразуется в положение, координаты которого (Dnn,

136

М - Нормально распределенное шумовое воздействие приводит к смещению преобразованной отметки вдоль радиуса зоны обзора. Для моделирования этого процес са необходим алгоритм, по которому в ЭЦВМ произво дится формирование нормально распределенных чисел» Обычно это распределение с математическим ожидани­ ем, равным нулю, и среднеквадратическим отклонением, равным единице. Вычислим среднеквадратическое откло­ нение нормально распределенного шумового воздейст­ вия, соответствующего заданному коэффициенту

Здесь 0(‘ ) = Д</<‘ >/2/ З — среднеквадратическое отклоне­ ние ошибки по дальности, возникающей в процессе пре­ образования.

Пусть для моделирования шумового воздействия по­ лучено число цз из нормально распределенной совокуп­

Определив все компоненты линейной ошибки при воз­ действии нормально распределенного шума по форму­ лам (5.36) — (5.39), вычислим модуль линейной ошибки

^= К (Ж + аВ ч Щ а 7= V{xt+xy+xlxI

и ее фазовый угол

Ф = arctg[x2x3/(x1+ x 4)].

На этом вычисления, относящиеся к одной реализации случайной ошибки, заканчиваются.

Для получения математического ожидания и средне­ квадратического отклонения модуля линейной ошибки, а также вычисления математического ожидания фазово­ го угла вычисления повторяются 500—1 000 раз при не­ изменных начальных условиях («<*) и qW) и результаты вычислений накапливаются. После этого числовые ха­ рактеристики определяются по формулам:

Г

/= i

137

(5.40)

Г

OP)= -7-5j ¥j .

/= i

где г — количество усредненных реализаций. Знак «тиль­ да» у числовых характеристик указывает на то, что они получены методом математического моделирования.

ГП0(2),КМ

W

3 .0

2.0

1,0

После того как числовые характеристики линейной

чения числовых характеристик (5.40) и продолжается до тех пор, пока весь диапазон значений параметра п не будет исследован.

г В результате моделирования линейных ошибок в со­ ответствии с описанным алгоритмом получены семейства

функций m0(z) и а0(z) (рис. 5.12 и 5.13) при различном

количестве элементов разложения и коэффициенте шу­ мового воздействия, равном нулю. Нашей целью являет­ ся получение нормированных функций числовых харак­ теристик, зависящих от аргумента а. Переход от я к а осуществляется с помощью равенства

138

В главе 4 было сформулировано второе правило квадрата, в соответствии с которым функции числовых характеристик могут быть записаны в виде

m i (у) — p m . i( a ) , O i ( y ) = p O i { a ) , i = О, 1, 2, кдр,

где i — указывает тип разложения. На основании второ­ го правила квадрата значения нормированных функций rrii{a) и щ(а) при нулевом значении коэффициента шу­

мового воздействия могут быть получены следующим образом

значения функций т 0( а) и сг0(а), полученные методом математического моделирования (рис. 5.12 и 5.13) пос­ ле преобразований (5.41) —(5.42). Как видно, значения

функций т 0(а ) и (т0(а) с достаточной степенью точности совпадают с соответствующими значениями функций m0(a) и сто (а). Аналогично может быть показано совпа­ дение результатов расчета и моделирования линейных ошибок преобразования для прочих модификаций сек­ торных разложений, а также и для разложения кадро-

139