книги из ГПНТБ / Васильев Г.А. Повышение эффективности комплексной автоматизации

Следовательно, формулу (3.29) можно использовать для приближенного вычисления минимальных значений математического ожидания линейной ошибки преобразо­ вания с помощью разложения первого типа, приняв во внимание, что min пц(а) =0,632 (рис. 4.2). Это обстоя­ тельство позволяет заметно упростить инженерные рас­ четы на стадии начального проектирования системы.

Рассмотрим вопрос о величине оптимального значе­ ния аргумента а при изменении параметра к.

Из таблицы видно, что оптимальные значения аргу­ мента а при минимальных значениях mt(a) иоДа) близ­ ки по величине. Сравним эти значения с результатами гл. 3. Для этого представим формулу (3.25) в виде

я, = П/ДД = фДАД1 +/г)/4~(1 — /г3) = ]/.Va/2r.

Отсюда

В последней строке табл. 4.1 приведены значения опти­ мального аргумента а, рассчитанные по этой формуле. Как видно, наблюдается хорошее соответствие между значениями оптимальных аргументов, полученными ме­ тодом численного анализа функций тД а ) и аДа), и ре­ зультатами вычислений по формуле (4.42). Следователь­ но, с помощью уравнений (4.41) и (4.42) можно постро­ ить траекторию минимума функции mi (а) при измене­ нии параметра к, избежав таким образом громоздких вычислений по формуле (4.35).

Рассмотрим вопрос о форме элемента разложения, площадь которого численно равна математическому ожи­ данию площади элемента т и, когда а = а 0пт- Определяя нормированный аргумент из (3.25), имеем:

а = А р Д )/ Д Д ( 1— k).

Приравняв правую часть этого выражения правой части

(4.42), получим

APi£>= ЗАД (l —к2)/2 ( l—k3) .

Подставим полученное выражение в формулу для мате­ матического ожидания площади элемента разложения (3.19). Тогда при а = а0Пт

90

Но поскольку одна сторона элемента разложения, рав­ ного т,и, равна Adi, то, следовательно, и вторая его сто­ рона равна Adi. Таким образом, мы доказали, что эле­ мент разложения, площадь которого равна математиче­ скому ожиданию площади элемента разложения при а = а0пт, имеет форму квадрата. Результаты анализа, приведенные в этом параграфе, показывают, что выпол­ нение первого правила квадрата не только позволяет дать оценку точности преобразования, как это было сде­ лано в гл. 3, но приводит также к минимизации линей­ ных ошибок.

Рассмотрим условия выбора интервалов оптималь­ ных значений аргумента а. Анализируя неравенства

значений аргумента а, чем неравенство (4.43). Интерва­ лы, определенные из (4.44), оказываются вложенными по отношению к соответствующим интервалам, опреде­ ленным из (4.43). С увеличением параметра k абсолют­ ная величина оптимального интервала увеличивается и, следовательно, снижается строгость требований к вы­ полнению равенства а = а0ПтКоличество элементов раз­ ложения по дальности и азимуту при оптимальном раз­ ложении равно

Из результатов, приведенных в этом параграфе, вид­ но, что применение разложения первого типа при значе­ ниях параметра £ = 0,2—0,3 дает возможность умень­ шить линейные ошибки преобразования на 8— 17% по сравнению с разложением нулевого типа.

4.4.3. Разложение второго типа

На рис. 4.6 и 4.7 представлены семейства нормиро­ ванных функций математического ожидания и средне­ квадратического отклонения линейной ошибки разложе­ ния второго типа, вычисленные по формулам (4.36) и (4.40). Кривые обоих семейств при О^/г^Н сливаются

91

в области малых значений аргумента а, что указывает на нецелесообразность применения разложения второго типа при а < 0,6 —0,8. В области минимума изменение параметра I приводит к существенному изменению функ­ ций тг(а) и 0 2 (a). Обе функции достигают минимумаминиморума при значении параметра 1 = 0,5, что показы-

вает хорошее соответствие с результатами гл. 3. Симме­ тричное изменение функций /«2 (a) и 0 2 (a) при симметрич­ ном изменении параметра I относительно его оптималь­ ного значения представляет известную свободу для его выбора при проектировании секторной системы с разло­ жением второго типа. Этим свойством целесообразно воспользоваться в том случае, если существуют какие-

92

либо причины (например, технического характера), пре­ пятствующие выбору оптимального значения параметра

/= 0,5."

Вобласти больших значений аргумента а ( а > 3 —4)

разложение второго типа может дать существенное уменьшение ошибок по сравнению с разложением нуле­ вого типа.

Сравнение минимальных значений функций Шг(а) и а? (а) с минимальными значениями функций то (а) и Оо(а) позволяет дать количественную оценку эффектив­ ности разложения второго типа (табл. 4.2).

Т а б л и ц а 4.2

Относительные минимальные значения тг(а ) практи­ чески совпадают с рассчитанными по формуле

вывод которой дан в гл. 3. Вследствие этого минималь­ ные значения тг(а) могут быть с достаточной для прак­ тических целей степенью точности вычислены по форму­ ле

где min т 0(а) =0,632.

93

Рассмотрим вопрос об оптимальном значении аргу­ мента а. В табл. 4.2 приведены его значения, полученные в результате численного анализа функций тг(а) и 0 2 (a) при различных значениях параметра I. Для обеих этих функций соответствующие оптимальные значения аргу­

ции m2 (а). Аналитическое выражение для а0пт получим, представив (3.40) в виде

Значения а 0пт, вычисленные по формуле (4.48) и при­ веденные в табл. 4.2, практически совпадают со значе­ ниями, полученными методом численного анализа функ­ ции m2 (а). Следовательно, формула (4.48) пригодна для определения оптимальных значений аргумента а, при которых функция тг(а) достигает минимума.

Аналогично тому, как это было сделано для разло­ жения первого типа, можно показать, что при а = а 0пт элемент разложения, площадь которого равна матема­ тическому ожиданию площади (3.36), имеет форму ква­ драта. Таким образом, минимальные линейные ошибки при использовании разложения второго типа имеют ме­ сто тогда, когда выполняется первое правило квадрата.

Выражения (4.47) и (4.48) описывают траекторию движения минимума функции т г (а) при изменении па­ раметра /. Их использование существенно облегчает рас­ чет минимальных линейных ошибок преобразования.

Определение интервала оптимальных значений а мо­ жет быть выполнено с использованием неравенств

m2(a) < 1,1 min m2(a), а2( а ) < 1,1 min о2(а) при / = const,

исследование которых показывает, что ограничение до­ пустимой величины среднеквадратического отклонения линейной ошибки определяет более узкий интервал и является более строгим требованием.

Определение оптимального значения аргумента a позволяет указать оптимальное разложение:

94

Применение разложения второго типа при оптималь­ ных значениях аргумента а и параметра I (а =1,8; 1= = 0,5) приводит к уменьшению линейных ошибок преоб­ разования в среднем на 8—14% по сравнению с разло­ жением нулевого типа.

4.4.4. Разложение третьего типа

Семейства функций Шз(а) и оз(а), полученные в ре­ зультате расчета по формулам (4.37) и (4.38) при наи­ более интересных с практической точки зрения сочета­ ниях параметров k и /, приведены на рис. 4.8—4.13. Ка­ чественный анализ /Пз(а) и сгз(а) показывает, что в об­ ласти малых значений аргумента а разложение третьего типа практически не дает преимуществ по сравнению

Рис. 4.8.

Рис. 4.9.

95

Рис. 4.11.

Рис. 4.12.

96

Как и в предыдущих случаях, второе неравенство опре­ деляет более узкий интервал оптимальных значений ар­ гумента а, на основании которого осуществляется выбор оптимального диапазона параметров разложения:

Стз(а) показывает, что применение разложения третьего типа приводит к уменьшению линейных ошибок преоб­

жением нулевого типа.

Итак, преобразование координат целей секторным методом с использованием различных модификаций раз­ ложений обладает потенциальной точностью тогда, когда

98

разложение выполнено в соответствии с первым прави­ лом квадрата. Сложные модификации секторных раз­ ложений позволяют существенно уменьшить линейные ошибки преобразования, мера которых определяется вто­ рым правилом квадрата.

4.5. Кадровое преобразование

Рассмотрим вопрос о линейных ошибках кадрового метода преобразования, применение которого приводит к полному выравниванию размера элементов разложе­ ния. Вследствие того, что все элементы кадрового разло­ жения равны, анализ ошибок внутри одного элемента дает представление об ошибках всей системы. При этом, как и прежде, предполагается, что распределение целей в плоскости зоны обзора соответствует гипотезе равно­ мерной плоскости.

Механизм возникновения ошибки преобразования кадрового метода аналогичен секторному. Отметка цели, попавшая внутрь элемента разложения, переносится в его правый верхний угол. Линейная ошибка преобра­ зования является геометрической суммой двух случай­ ных компонент, каждая из которых определяется проек­ циями Xi и х2 преобразуемой отметки на стороны эле­ мента разложения:

Компоненты линейной ошибки независимы и каждая распределена по закону равномерной плотности в силу исходного соображения о природе преобразования (кван­ тования). Функции плотности вероятности компонент за­ пишем в виде Wi(Xi) = 1/Лй?КДР1, w2(X2) = 1/Лс/КДр2, где А^кдр! и Лй?кдР 2 — размеры сторон элемента разложения.

Математическое ожидание линейной ошибки получим путем ее усреднения по всем возможным состояниям:

о о