3.4.3. Уравнения каустик в задачах о трещине нормального отрыва

Изменение толщины пластины, находящейся в условиях плоского напряжённого состояния

. (3.63)

С учётом этой формулы, а также выражений для напряжений в окрестности вершины трещины (3.15), получаем

. (3.64)

Подставляя выражение (3.64) в (3.61), получаем

, (3.65)

где и- единичные векторы осейи.

Введя обозначение и переходя к декартовым координатам, получаем

. (3.66)

Соотношения (3.66) запишем в более удобном виде

. (3.67)

Выражения (3.67) определяют, каким образом точка плоскости поверхности исследуемого объекта проецируется в соответствующую ей точкуплоскости изображения.

Напомним, что необходимым и достаточным условием однозначности отображения одной области на другую является неравенство нулю якобиана системы уравнений проецирования (3.67)

.

С другой стороны, как это следует из рис. 3.14, каустику должна характеризовать как зону "сгущения" лучей света, что математически означает многозначность отображения точек плоскости объекта на плоскость изображения. Следовательно, условие образования каустики можно записать в следующем виде

. (3.68)

Таким образом, точки, координаты (или) которых удовлетворяют уравнениям (3.67), образуют каустику, а соответствующие им точки на плоскости объекта(или) начальную кривую.

Получим уравнение начальной кривой.

Искомая начальная кривая представляет собой окружность. Радиус этой окружности

при . (3.69)

Подставив соотношение (3.68) в уравнения проецирования (3.67), получаем уравнение каустики

,

. (3.70)

Каустики представляют собой обобщенные эпициклоиды. Для определения величины вводится характерный геометрический параметр каустики – её максимальный «диаметр»(рис. 3.16). Из соотношений (3.68) и (3.69) можно получить формулу для вычисления величины.

. (3.71)

3.4.4. Определение кин поперечного и продольного сдвига

Аналогичным образом могут быть получены формулы для определения КИН поперечного сдвига . Подставив соответствующие выражения из уравнений (3.15) в соотношения (3.61), (3.63) и (3.65), можно установить, что начальной кривой является окружность, радиус которойопределяется по формуле (3.69), а формула для определения КИН имеет вид

, (3.72)

где также, как и в первом случае, является характерным геометрическим параметром каустики.

При продольном сдвиге толщина пластины не изменяется. Однако, в этом случае в зоне трещины возникают нормальные перемещения , перпендикулярные плоскости пластины, что и обуславливает возникновение теневой картины, которая может наблюдаться при отражении (отметим, что при просвечивании каустика возникать не может). Из формул (3.17) имеем

. (3.73)

После очевидных операций можно получить

, . (3.74)

Получаемые при нагружении II-го и III-го типов распределения света в теневых картинах, также характерные геометрические параметры ипоказаны на рис. 3.17.

В заключение отметим одно обстоятельство, которое положительно влияет на точность получаемых результатов. При выводе уравнений метода каустик мы учитывали только сингулярную часть полного решения задачи о трещине. Известно, что в этом случае наибольшую погрешность в результаты

определения КИН вносит неучет 1-го регулярного члена полного решения задачи (в выражениях (3.19)). Напомним, что предложенные Ирвином методы определения КИН по данным метода фотоупругости учитывали только этот член. С другой стороны, как это следует из уравнения (3.61), оптический эффект, положенный в основу метода каустика, зависит только от градиентов напряжений. Таким образом, погрешность результатов при использовании формул (3.71), (3.72) и (3.74) определяется влиянием только от членов более высокого порядка, чем 1-ый регулярный член полного решения задачи о трещине.