192

3. Применение оптико-интерфернционных методов для решения задач механики разрушения

Одной из главных тенденций развития методов оценки прочности и ресурса конструкций современной техники является активное применение механики разрушения, и, в частности механики развития трещин как главного инструмента разрушения материала конструкции.

Этому способствует ряд обстоятельств.

Во-первых, развитие современного машино- и аппаратостроения выдвигает требование повышения эксплуатационной надежности при одновременном понижении запасов прочности. Необходимость значительного уменьшения веса крупногабаритных конструкция обусловливает допустимость возникновения неупругих деформаций. В условиях действия циклических силовых и тепловых нагрузок в наиболее напряженных зонах конструкций имеют место процессы циклического упруго-пластического деформирования, что приводит к образованию трещин.

Во-вторых, широкое использование высокопрочных материалов пониженной пластичности, а также эксплуатация оборудования при низких и сверхнизких температурах (это связано со строительством крупных промышленных объектов в районе Крайнего Севера и развитием криогенной техники) с необходимостью выдвинули задачу расчета таких конструкций по критериям хрупкой прочности.

Кроме того, многие современные технологии изготовления крупногабаритных конструкций, широкое применение различных процессов сварки (в частности, сварки взрывом) не позволяют избежать образования исходных дефектов конструкции типа трещин размерами от 1÷3 мм до 10÷15 мм.

Основы механики разрушения как механики распространения трещин в деформированных твердых телах были заложены в работах А.А.Гриффитса (1921), Е.О.Орована (1948) и Дж.Р.Ирвина (1957).

Дальнейшее развитие фундаментальных основ механики разрушения было выполнено в 60-е - 70-е годы 20-го столетия в исследованиях отечественных и зарубежных учёных.

Результаты исследований опубликованы в большом количестве теоретических и прикладных работ, в том числе в ряде фундаментальных монографий, посвященных различным аспектам механики разрушения. Здесь, прежде всего, следует отметить книги Г.П.Черепанова [1], В.З.Партона и Е.Н.Морозова [2], , Н.А.Махутова [3], и, в особенности, семитомную энциклопедию «Разрушение» под редакцией Г.Либовица [4] и четырехтомник «Механика разрушения и прочность материалов» под редакцией В.В.Панасюка [5]. В этих трудах отражены основные достижения механики разрушения и намечены направления ее дальнейшего развития.

Механика разрушения поставила новые задачи и стимулировала развитие в соответствующих направлениях аналитических, численных и экспериментальных методов анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций.

В настоящем разделе изложены вопросы обработки экспериментальной информации, получаемой на основе оптико- интерференционных методов, с целью получения характеристик механики разрушения для тел с трещинами.

3.1. Особенности напряженно-деформированного состояния в окрестности нерегулярной границы

3.1.1. Напряжённо-деформированное состояние

в окрестности углового выреза

Из теории эллиптических уравнений (а к таковым относятся все основные уравнения теории упругости) известно [6], что их решение является бесконечно дифференцируемой функцией во всех внутрен­них точках (если этим свойством обладает также и правая часть уравнений).

Более того, в случаях, когда граница области задана бесконечно дифференцируемой функцией, и краевые условия обладают достаточной гладкостью, то решение задачи также бесконечно дифференцируемой функцией [7].

С другой стороны, следует полагать, что при нарушении указанных условий решение может обладать особенностью (например, таковой, что решение может иметь разрывы, или его производная может быть неограниченной).

Рассмотрим задачу о плоском деформированном состоянии в окрестности угловой точки - вершины клиновидного выреза в бесконечной области. Пусть в полярных координатах геометрия области определяется следующими границами ,,(рис. 3.1). Нагрузки на границе области отсутствуют.

Задачу будем решать в перемещениях. Запишем уравнения Ламе (уравнения равновесия в перемещениях) в полярной системе координат

(3.1)

Здесь - компоненты вектора перемещений в направлениях;- постоянные Ламе;;;– модуль упругости материала; - коэффициент Пуассона.

Выражения для определения компонент тензора напряжений имеют следующий вид

(3.2)

,

Решение системы уравнений (3.1) будем искать в виде

, . (3.3)

Подставив соотношения (3.3) в уравнения (3.1) и введя обозначение ,получим систему 2-х обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций ии параметра.

(3.4)

Решение системы уравнений (3.4) имеет следующий вид

(3.5)

где .

С учётом (3.5)выражения для перемещений и напряжений примут следующий вид

(3.6)

(3.7)

Для случая отсутствия внешних нагрузок на берегах выреза, то есть при = , после очевидных действий получаем две системы уравнений второго порядка

(3.8)

(3.9)

Условие равенства нулю определителя системы уравнений (3.8) (условие, при выполнении которых имеются нетривиальные решения) приводит к вы­ражению

. (3.10)

Из условия равенства нулю определителя системы уравнений (3.9) получаем

. (3.11)

Окончательно получаем, что нетривиальные решения задачи для клина определяются трансцендентным выражением

. (3.12)

Уравнение (3.12) позволяет определить значение параметра , соответствующее заданной величине угла клина. Нетрудно заметить, что уравнение (3.12) имеет бесчисленное множество решений (в том числе и комплексно сопряжённые). Вместе с тем, из физического смысла задачи следует, что значениедолжно удовлетворять следующему условию

. (3.13)

Действительно, при не будет выполняться условие затухания напряжений на бесконечности, а приперемещения в вершине клинового выреза будут бесконечными (что невозможно при отсутствии в этой зоне сосредоточенных нагрузок).

После вычисления корня уравнения (3.12) из уравнений (3.6), (3.7) и (3.3) можно определить выражения для перемещений и напряжений.

Выражения (3.3) при найденных указанным способом величинах и соответствующих выражений дляипозволяют описать НДС в окрестности точки(принапряжения и деформации стремятся к нулю). Они являются нерегулярной (сингулярной) частью полного решения краевой задачи теории упругости для упругого тела с клиновидным вырезом. Полное задачи должно состоять из сингулярной части (при этом перед каждой составляющей сингулярного решения имеется постоянный множитель), а также регулярной части, которая позволяет описать НДС во всей области, соответствующей краевым условиям. При«регулярные» напряжения и деформации малы по сравнению с «сингулярными».