книги из ГПНТБ / Лурье Б.Я. Максимизация глубины обратной связи в усилителях
.pdfсуществования генерации інеобходн- М'О, чтобы три некоторых сог, к и лю бом целом k
(k 0,5) л — я], |
(2.16) |
I e(t) I > v s вне этих интервалов. Эти условия приближенно можно заменить условиями:
|
|
|
|
e(t) =-- 0, |
|
(2.17) |
|
|
|
|
|
de(t) |
____ Us |
|
(2.18) |
|
|
|
|
Д.шrt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при ci)r/ = 2 kn. |
|
|
|
имеет вид [7] |
|
|
|
Разложение Фурье для v(t) |
|
|
|||||
v(t) = |
4°s |
у |
|
sin {2k |
|
|
|
|
я (л — 2х) |
*=1 |
(2Ä — I)2 |
|
|
||
для e(t) соответственно |
|
|
|
|
|
||
e{t) |
|
2vs |
^ |
s in ( 2 & — 1)(я. — 2х) {Re Го [(2^— l)cor] X |
|||
|
Я I — |
— к I |
*s= 1 |
(2é — l)2 |
|
|
|
|
X sin(2& — 1) (ört + |
Im Г0 \{2k — 1)cop] cos(2£ — l) cor 7). |
(2.19) |
||||
Так |
как при всех п sin(2k—1)2/?я=0, cos(2k—l ) 2/ m=l , то |
||||||
:(2.17) равносильно условию |
|
|
|
||||
|
S |
Sin {2k2k |
1}i" ~ 2X)~ Iin T° [(2^ — 0 fflrl = °. |
|
(2.20) |
||
|
*=i |
^ |
|
^ |
|
|
|
я (2.18) — условию |
|
|
|
|
|
||
|
Sin(2k ~ 1} (,Я ~ 2K) |
Re T° W k — 1) (Orl = — Y |
• |
(2.21) |
|||
r-. |
k=\ |
|
|
|
sin (2k—1) (я—2v.) |
||
|
|
|
|
||||
Проанализируем эти условия. Функция веса-----———------- |
|||||||
■быстро падает с ростом амплитуды гармоники (2 к—1) |
и в сумме |
||||||
(2.20) |
составляющие при 2 k—1 ^ я /(я —2х) не существенны. При |
||||||
2 k—К |
я/(я—2х) функция веса положительна, и условие |
(2.20) |
|||||
может выполняться, лишь если ІшТ0 меняет знак в этом интервале частот, т. е. если система полосная (последнее следует и из усло вия Попова)..
60 —
При г/г= 0,5 в рассматриваемой системе (не узкополосной) со гласно условию устойчивости Попова периодических колебаний нет. Для исследуемого вида колебаний это видно и из (2.20): в ле вой части (2.20) положительные слагаемые, соответствующие ма лым k, много больше отрицательных, соответствующих большим k, и поэтому необходимое условие генерации (2.20) де 'выполняется.
При уменьшении уѵусловие (2.20) может выполняться. Частота генерации тр-іцри малом yt лежит на 'низкочастотном срезе Л-АХ Т0, Лг^Цн-
Для того чтобы условие (2.20) выполнялось при некотором Не равном нулю уѵ, нужно, чтобы функция веса при отрицательных слагаемых в левой части (2.20) не была слишком мала, т. е. чтобы частота лгя/(л —2 к) была сравнима или больше средней частоты
рабочего диапазона У тр, (так как только начиная примерно с
этой частоты |
І т Г 0 становится отрицательным, |
причем достигает |
большой величины лишь при r j ^ l ) , т. е. |
—2х) У %. И так |
|
каклн^Л ^ т 0 |
1 H5 S (1—2 и) У г)ш отсюда |
|
|
Л н^(1—2х)2. |
|
Иначе говоря, генерация возникает при большем уг, если относи тельный диапазон частот системы уже, а усиление в нелинейном ре жиме (пропорциональное х) больше.
Рассмотрим взаимосвязь уг и ув. При уменьшении ув уменьша ется (алгебраически) и ср на всех частотах рабочего диапазона, следовательно, уменьшается частота, на которой Im Т0 меняет знак.
Поэтому |
уменьшается и сумма (2.20), т. е. условие |
(2.20) выполня |
ется при |
больших значениях г/г. |
больших у г, у а |
То же справедливо и для условия (2.21). При |
||
согласно критерию Попова система устойчива, а левая часть (2.2!) положительна. При уменьшении уа, уг левая часть (2.21) уменьша ется за счет составляющих вблизи низкочастотного и высокочастот ного срезов и условие (2.21) выполняется для некоторых г]г и к.
Результаты приближенного анализа, таким образом, совпадают с результатами эксперимента, т. е. описанный вид генерации воз никает в устойчивой .в линейном режиме системе с малыми запаса ми устойчивости уа, ув, причем критические значения уа (или ув) оказываются тем большими, чем меньше уа (или ун), чем меньше относительная ширина рабочего диапазона частот и чем больше усиление по петле обратной связи.
Такой характер этих зависимостей следует и из достаточного критерия устойчивости Д. М. Попова. Численные же значения запа сов устойчивости, удовлетворяющих этому критерию, для практики непригодны.
Поэтому проектировщикам усилителей с обратной связью сле дует, видимо, руководствоваться обычными критериями Найквис
та — Боде и, при выборе малых |
запасов уа и ув, дополнительно |
|
условиями (2.20) и (2.21). |
|
|
Г е н е р а ц и я с о с н о в н ы м и |
с п е к т р а л ь н ы м и |
с о |
с т а в л я ю щ и м и , на кото'ірьпх в о з в р а т н о е о т н о ш е н и е
— 61 —
I Т’оI ма ло . Рассмотренные выше колебания не являются единст венным типом миогочастотных колебаний, для появления которых существенны величины фазовых запасов устойчивости одновремен но на верхних и на нижних частотах. Другой характерный тип та ких колебаний возникает, если уг мало на низких частотах далеко за рабочим диапазоном и | Т’о(Лі) I лишь немного превышает едини цу. При этом интервал частот между т]г и заметно влияющими на существование генерации высокочастотными составляющими еще больше, чем для предыдущего случая.
Для исследования был построен трехкаскадный усилитель с глубокой (около 50 дБ) одноканальной отрицательной обратной связью в диапазоне [1; 10] (рис. 2.18).
ЛАХ Т0 формировалась в цепи обратной связи полосовым филь тром из іполуэвена типа k (Lb С4, 2 L2, С7/2), хорошее согласование которого с коллекторной цепью транзистора Т3 обеспечивало полу звено типа m (27,2, С7/2, L3, L/„ Сю, Си). Малое характеристическое сопротивление фильтра (100 Ом) исключило влияние на ЛАХ То входных и выходных цепей прямого канала, сопротивление кото рых по крайней мере на порядок больше. Запасы по фазе регули ровались в цепи обратной связи сопротивлениями обхода Йз и Rit. Характеристики ф при некоторых положениях регуляторов пока заны на рис. 2.19. Видно, что регулировки запасов по фазе на верх них и нижних частотах взаимонезависимы. На этом же рисунке приведена ЛАХ Т0 системы, соответствующая фазовой характерис
тике при і?4= 175 Ом и R3= 180 Ом.
При уменьшении ув (или //„) высокочастотная (низкочастотная) генерация возникала у верхней (нижней) границы диапазона уси ливаемых частот, где | Т’о | « 1.
— 62 —
Эксперимент показал, что при таких частотных характеристиках Т0 оконечный каскад на транзисторе нельзя считать частотнонеза висимым нелинейным элементом. В интересующем нас плане вред ные эффекты от того, что не линейности транзисторов и ди одов инерционны, оказываются существенно большими но срав нению с расчетными эффектами для безынерционного ограни чения.
Эксперимент .выявил нес колько .видов двухчастотных колебаний. На ірис. 2.20 ‘пока зана экспериментально изме^ ренная .граница области гене рации. Эта линия, соответству-.
ющая срыву генерации, получена на участках 1, 2, 3 при постепен
ном увеличении от нуля |
ув при |
фиксированных уг, а на участках |
3, 4, 5 — увеличением от |
нуля |
уг при фиксированных ув. На |
10кГц 70Га
'4__j
ПОнГц 110Гц
рис. 2.206 показаны формы колебаний, соответствующие различным участкам линии рис. 2 .20а.
При ув■180°<3° и достаточно большом ув-180°>12° (участок 1) существовала высокочастотная генерация с частотой 70 кГц. Жест-
—63 —
кое возникновение и срыв ее 'Объясняются видом амплитудной ха рактеристики оконечного каскада. Подобный же характер носила и низкочастотная генерация с частотой ПО Гц па участке 5 при ма лом i/г и большом ув.
На участке 2 из-за увеличения усиления от подачи на вход око нечного каскада высокочастотных составляющих создавались ус ловия для генерации низкочастотной составляющей с частотой, на которой в линейном режиме выполняется условие фаз, но усиление для самовозбуждения недостаточно. Во время отрицательного полупериода этой низкочастотной составляющей на высоких часто тах из-за изменения положения рабочей точки транзистора умень шался фазовый сдвиг гармонического коэффициента передачи его на верхних частотах и генерация срывалась при меньшем, чем на участке 1 значении ув. При уменьшении уѵ амплитуда низкочас тотной составляющей росла и, как следствие, генерация срывалась при меньшем ув.
Дальнейшее уменьшение уг (участок 3) приводит к новому виду генерации. С увеличением на этом участке уѵ амплитуда высокочас тотной составляющей уменьшается. Колебания на участке 4 по форме напоминали сверхрегенеративные.
Эксперименты производились па нескольких макетах и были по лучены близкие результаты. На одном из макетов, однако, ампли тудная характеристика оконечного каскада оказалась такой, что на высоких и низких частотах в отдельности при регулировках фа зы самовозбуждение наступало и пропадало мягко і(без скачков), т. е. граничная линия на плоскости (уг, ув), рис. 2.21 кривая 1,
асимптотически стремились к осям координат, участки ] п 5 отсутствовали. Отсутствовали также и колебания видов 2 и 3, т. е. единст венным видам двухчастотных колебаний были колебания вида 4.
■Все полученные выше результаты соответ ствовали симметричному ограничению в окоінечи'Оім каскаде. Граничная линия при асим метричном ограничении, .которое было полу чено смещением рабочей точки оконечного 'каскада, показана на рис. 2..21, кривая 2. В этом случае также существовала только гене рация вида 4.
Кривые рис. 2.20, 2.21 являются, насколько можно судить по ре зультатам эксперимента, границами области устойчивости в целом, т. е. ыи при каких начальных условиях вне областей, очерченных этими кривыми, генерацию вызвать не удалось.
Рассмотрим детально колебания на участке 4, как наиболее ин тересные и возникающие при больших запасах устойчивости.
Частоты важнейших спектральных составляющих равнялись со ответственно основной частоте колебания /г~ 90 Гц и высокой
— 64 —
частоте /влП10 кГц (рис. 2.22) *). При таком соотношении частот низкочастотную составляющую можно представить по отношению к высокочастотной как вековые колебания, т. е. как изменение рабо чей точки транзистора. Такое дополнительное смещение рабочей точки транзистора (см. параграф 2.1) изменяет величины эквива лентных сопротивлений и емкостей транзистора и вызывает допол нительный фазовый сдвиг на верхних частотах фв.
Величина фв была определена дополнительными измерениями, результаты которых представлены на рис. 2.23. Измерения произво
Рис. 2.22 Рис. 2.23
дились так. На вход усилителя подавался синусоидальный сигнал от .генератора с частотой 90 Гц, амплитуду напряжения этой час тоты на входе оконечного каскада обозначим £ 90. При каждом зна чении ≤ 90 плавным уменьшением (увеличением) уъ определен порог мягко возникающих высокочастотных колебаний. Очевидно, при этом г/в 180°=фв-
Так как низкочастотная составляющая смещает рабочую точку, то нелинейный элемент для высокочастотной составляющей стано вится в течение части периода низкочастотного колебания асиммет ричным. При ограничении высокочастотной составляющей другую величину приобретает медленно меняющаяся составляющая (рис. 2.226), что приводит к появлению дополнительного фазового сдви га фг первой гармоники от ѵг. Если фг превышает или равен запасу устойчивости по фазе на низкой частоте, могут выполняться усло виягенерации.
*) Здесь индекс «в» означает не верхнюю частоту рабочего диапазона (ко торая в этом примере никак не определялась), а спектральную составляющую колебания, лежащую в районе высокочастотного среза, где определено у —
=Уп= const. Этой частоте /„ соответствуют и все используемые ниже величины
синдексом «в».
3—'128 |
— 65 — |
Так как ] 7о(ітіг) | ~ 1, амплитуда низкочастотной составляющей напряжения e(t) равняется порогу ограничения е3. Для удобства анализа положим es= l. Тогда всюду, кроме второй четверти перио да, v(t)=e(t). 'Принимая во .внимание, что величина низкочастот ной составляющей 'Меняется 'несущест венно за время одного периода высо кочастотного колебания va(t), послед нее можно представить в вид-е рис. 2.24,
согласно которому
Епcos кі
( 2. 22)
V = — Es cos x2
Здесь Ев — амплитуда высокочастот ной составляющей на входе нелиней ного элемента; к\, х2— углы отсечки для (высокочастотной составляющей;
Vsi, üs2 — зависящие от со,-/ пороги ограничения для высокочастотной составляющей.
Согласно рис. 2.22а
Ö = 1 — COS Г]г 11
(2.23)
= 1+ c °sn r/j '
На интервале л/2<г)г/'<л медленно меняющаяся составляющая равна сумме er=cosr)r/ и среднего значения высокочастотного ко-
лебания по рис. 2.24, т. е. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Я |
|
|
|
|
г~Х, |
|
|
»г(ЛгО = — j* |
(ЛвО d Чв t + |
cos Т]г t = |
I* nS] d i]Bt -j- |
|
||||
Jt— Xg |
|
|
|
d T]B t |
-j |
COS T)r t — cos T|r t -{- |
|
|
*i~ J EBcos T]B td T]B t |
[ |
|
||||||
−1-----fa |
K — a |
x2 4- EBsin Xo — £ Bsin Xi). |
|
(2.24) |
||||
rr 1 |
si |
|
|
“ |
|
J |
|
|
Подставляя сюда значения xi и x2 из (2.22), получаем |
|
|
||||||
|
|
|
|
t»s |
|
v5 |
|
|
VriVrO = ^ |
a arc cos —!-----v. arc cos —■ |
+ |
|
|||||
s l |
|
p |
st |
p |
|
|||
+ £ У |
|
' ~ |
І - £У |
|
-)- COS T|r t. |
(2.25) |
||
|
|
і - і |
|
|
||||
Если, например, Ев= оо (по данным экспериментов ЕB<g;2), ѵг(rjr t) = 0,5 [t»Sj — ÜsJ -t- cos rjr / = 0
(2.22б, сплошная линия.) Для определения фазового сдвига г|ч най-
—66 —
дем коэффициенты при первой |
гармонике разложения ог в ряд |
Фурье: |
|
Я |
|
2 |
2я |
тогда фн - arc tg lm--r =12°. Re Кг
При меньшем Ев дополнительный фазовый сдвиг получается меньше. Для удобства его определения разложим слагаемые в (2.25) в степенной ряд и ограничимся двумя членами разложения:
т. е. ог(г]гО во второй четверти периода ведет «себя так, как показано на рис. 2.226 пунктиром. Для полученной функции нетрудно опре делить коэффициенты разложения в ряд Фурье и фг; при Дв= 2, на пример, фг=7,5°.
Бели высокочастотная составляющая генерации будет существо вать в течение интервала углов, отличного от указанного выше (от я/2 до я), дополнительный фазовый сдвиг уменьшится. Это лег ко проверить, изменив интервалы интегрирования при определении коэффициентов разложения Фурье.
Заметим, что при расчетах не учитывалась постоянная состав ляющая сигнала ог(т|г|), в соответствии со сделанными в парагра фе 2.2 замечаниями. Впрочем, проведенный .расчет показал, что влияние этой составляющей на фг и фв незначительно.
Изложенное выше позволяет сделать следующие выводы. В по лосной системе — усилителе с обратной связью — могут существо вать жестко возникающие многочастотные колебания, для сущест вования которых необходимы достаточно малые фазовые запасы ус тойчивости и на низких, и на верхних частотах.
В практических устройствах запас устойчивости на низких час тотах больше 20°, и многочастотные колебания не возникают, т. е. частота генерации не может лежать ниже средних частот рабочего диапазона. Поэтому при анализе устойчивости реальных систем с максимизированной глубиной обратной связи допустимо пользо ваться методом гармонического баланса, основанном на гипотезе фильтра.
3* — 67 —
3
г л а в а
Вынужденные колебания
3.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССОВ
Если в системе рис. 3.1 нелинейность ѵ(е) безынерционная, про изводная ее характеристики лежит в пределах
|
|
|
|
|
° < ^ < |
|
(3.1) |
|
|
|
|
|
ас |
|
|
и линейная часть системы устойчива, то |
можно воспользоваться |
||||||
достаточным критерием устойчивости процесса [26, 97, 109]. |
|||||||
|
|
|
|
ReTo(i'<»)> — 1. |
|
(3.2) |
|
|
|
|
v(t) |
|
Покажем, что улучшен он быть не мо |
||
v(e) |
|
жет, т. е., если выполняется условие (3.1), |
|||||
|
|
|
|
но не выполняется условие |
(3.2), то всег |
||
T0 (іы) < - |
|
|
да можно найти |
(выбрать) |
такие ѵ(е) и |
||
|
|
u(t), что процесс будет неустойчивым, |
|||||
|
|
|
|
т. е. в этом смысле /критерий Я. 3. Цып |
|||
Рис. 3.1 |
|
|
кина является также и необходимым. |
||||
|
|
|
Пусть в системе рис. 3.1 зависимость |
||||
о(е) симметрична |
|
|
|
||||
и однозначна и формн периодического сигнала |
|||||||
е(1) симметрична |
(т. е. разложимн в ряд |
Фурье только по сину |
|||||
сам). Тогда гармонические составляющие |
e(t) и v(t) |
синфазны и |
|||||
поэтому амплитуды k-ü гармоники их связывает равенство |
|||||||
U\ = |
[Ек + |
Vk Re То (i k о)]2 + [VkIm T0(i k со)]2 = |
|||||
= |
El + |
2EkVk Re T0 (i k со) + V\\ T0(i k со) |2. |
|
||||
Граничным условием многозначности Eh(Uh), т. e. многознач |
|||||||
ности решения, является, очевидно, условие |
|
||||||
|
|
|
|
|
■ d U k |
|
|
T : е. |
|
|
|
|
d Ek = о, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ek + Vk Re Г« (i &D) + |
Ek |
Re T0(i k со) + 1 T0(i k со) |2 Vkd£ - = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
dEk |
|
dEk |
—68 —
■откуда
|
dVk |
|
|
Ek + \ T 0( \ k < * ) \ * V k |
|
— ReT'o(ifeco) |
dEk |
|
Vk + Ek dVk |
||
|
||
|
dEk |
Пусть, |
далее, u ( t ) таково, что e= eo sign sin a t, |
где е0 — ампли |
туда этих |
П-образных симметричных импульсов. |
Так как харак |
теристика ѵ ( е ) 'симметрична, то и v ( t ) имеет при этом такой же вид, V = ,т во sign sin a t, здесь т — отношение амплитуд импульсов на выходе и входе нелинейного звена. Очевидно, что m=Vh/Eh при
всех k и — |
= |
— . Поэтому при всех k |
|
|
de |
dEk |
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
I -f- tn I T Q (i k со) I |
|
|
|
R e TQ( І А |
de |
(3.3) |
|
— |
с о ) |
||
|
|
|
dv |
|
|
|
|
m + Te |
|
Если при |
этом — = 0, |
то Re7o(i£cü) = —тг1. В |
частности, при |
|
|
|
de |
|
|
дифференцируемой характеристике нелинейного звена, близкой к
насыщению |
(см. рис. 2.4а), |
для |
ео=1+0 |
получаем |
т= 1, |
и при |
|||||
k = \ (3.3) |
вырождается |
в |
(3.2). Условие |
(3.1) при |
этом |
исполь- |
|||||
зуется полностью, т. е. |
в |
этом |
примере |
существенно, |
что |
do |
|||||
de |
|||||||||||
меняется от 0 до 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
нелинейного |
элемента |
типа |
зоны |
||||||
Или, при характеристике |
|||||||||||
нечувствительности рис. 3.2, при ео='1 + 0 получаем т = 0, dv/de—l, и из (3.3) получаем (3.2).
Таким образом, граничное условие соответствует характери стике 1 зависимости 0(E) на рис. 3.3, т. е. вырожденному случаю
Рис. 3.3
трехзначноеги решения для k - й гармоники. В Приложении 2 по казано, что решение, соответствующее падающему участку этой характеристики, неустойчиво, т. е. (3.2) является граничным (не обходимым) условием устойчивости процессов.
—69 —