книги из ГПНТБ / Лурье Б.Я. Максимизация глубины обратной связи в усилителях
.pdfЗаметим, что А І = А<3, а значение А на последнем участке (если на нем постоянно А) в соответствии с принятыми ранее обозначе ниями можно обозначить Лтс- В отношении В аналогичные равен ства, разумеется, неверны.
Возможны различные варианты формулировки этой задачи. Ес ли все граничные частоты со,- заданы, то в общем случае (при 4 участках .и более) нельзя произвольно задавать величины Ао, Вц, Ат,..., так как иначе соответствующие уравнения образуют несов местную систему. Если же не заданы некоторые граничные частоты или значения Ѳ на некоторых участках, то дополнительным усло вием, приводящим к однозначному решению задачи, может быть, например, условие Л0 = тах.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Поскольку высшая час тота первого участка является границей рабочего диапазона частот
сов, |
используем для |
упрощения записи нормированную частоту |
11 = |
СоДйв- |
Если Ѳ--=Ѳц, определяется граничными усло |
|
Д в а у ч а с т к а . |
виями А =Л 0 при р 6 [0; 1]; B = Bj при р 6(1. °°], то функция е ѳ" мо жет быть получена конформным отображением правой р-полуплос-
ко'сти |
(рис. |
1.11а) на |
внутренность сектора в |
плоскости |
е &н |
|
(рис. |
1.11а |
при В /> 0, |
рис. |
1.1 Іо при В /<0). |
Если при |
этом |
|б /|^ л /2 , |
то функция |
е 6,1 |
оказывается положительной |
веще |
||
ственной, т. е. удовлетворяет условию Re е Ѳ||(р) > 0 при Re р>0.
Ю Л ih |
6) |
в) |
г) |
У!- д) |
У? |
|
плм |
' nnlw |
|
лплШяе*° |
Пл(м)^е*° |
Рис. 1.11
Это конформное отображение может быть получено следующи
ми |
простыми |
операциями: использованием функции Wt= |
— У |
г)2—1—г] |
обратной функции Жуковского [43] r\ = (Wi-\- |
+ l/W)/2, рис. 1.116; поворотом осей координат умножением функ ции на і, рис. 1.11s; отображением полученной области на внутрен
ность сектора с центральным углом |
2 Вп |
при одновременном из |
менении масштаба: |
|
|
е®" = (і Щ л |
еА° , |
(1.33) |
рис. 1.11а при ß > 0 и рис. 1.116 при В ц < . 0.
—20 —
Таким образом [21],
•Ѳн= А -\- — Ви 1п(]Л — ту2+ і Г|) = Аа-]- - ^ a r c h г|. (1.34>
Заметим, что при В ц = —п, Ло= 0 (или Bj = n, Лоо= 0) эти урав нения описывают характеристическую передачу звена ФНЧ (или ФВЧ) типа k [87]; можно, естественно, вести рассуждения в обрат ном порядке и получить (1.34), исходя из теории фильтра k.
При В ц = — у - и Aa = \x\q функция ехрвн= 2 н (рис. 1.12а) реа
лизуется в виде сопротивления двухполюсника рис. 1.126 — парал
лельного соединения емкости \/q и характеристического сопротив ления Я-окончания ФНЧ типа k с характеристическим номиналь ным сопротивлением q:
ZH(ІЛ) = -— - 5 = = - , |
(1.35) |
‘■л+ У *— т |
|
физически реализуемое решение (+ перед корнем) уравнения |
|
y] = {qliZ„+ iZHlq)ß |
(1.36) |
иначе говоря, г| является функцией Жуковского от q/\ZB. |
|
Двухполюсник с сопротивлением Z„ используется |
часто как |
межкаокадная нагрузка, учитывающая паразитную параллельную тракту емкость 2q и дающая максимальное усиление в рабочей по
лосе частот г) 6 [0,1]. |
.4,» инверсией частоты получаем |
|||
Для |
граничных условий В |
|||
|
Ѳ (і т]) = |
Ѳн (1/і т)). |
(1.37) |
|
Три |
у ч а с т к а . Для граничных |
условий |
Ви Ац, В1и при |
|
Ві = В ці |
решение можно получить из |
(1.34) при |
помощи полосной, |
|
частотной трансформации, а при Bj —0 и В ці = я — использовани ем выражений для передачи полосного фильтра с асимметричными срезами [8,87]. Решение для произвольных Ві, Ац, В щ легко по лучить линейной комбинацией этих решений и постоянного слагае мого, или прямым решением по [21]. Эти решения выражаются че рез элементарные функции.
—21 —
При 'граничных условиях Аа, ВПі Лю Ѳ выражается через эллип тические 'интегралы. В .самом деле, функция ехр Ѳ должна отобра жать правую р-полуплоскость на внутренность части кольца, огра ниченной радиальными отрезками прямой і(ірис. 1.13). Как известно [43], эта область при помощи эле ментарных функций может быть)
отображена на внутренность ліолуэллииса, которая, в свою ■очередь, может быть отображена на полу плоскость р при помощи эллиптиче
ских интепралов. |
|
можно по |
|
При ехр Л0>ехр Лоо |
|||
лучить простое и важное для даль |
|||
нейшего |
приближенное |
представ |
|
ление Ѳ. |
|
1 |
|
Для |
упрощения |
обозначений по |
|
шагаем Лоо = 0, ехрЛ0 = ^, и тогда при Вгі= — ~ |
искомая функ |
||
ция 0Ä !lnZHB, где |
+ }/1+ ( |
|
|
(і Ф 1 “ Т |
(1.38) |
||
Zm (і р) = |
|
|
|
решение уравнения |
|
|
|
• ZH-D'. |
|
(1.39) |
|
Функция (1.38) отображает правую полуплоскость р на внут ренность лежащей в правой полуплоскости ZKB замкнутой линии, состоящей из дуги окружности, двух радиальных отрезков прямой и дуги эллипса с малым эксцентриситетом, т. е. с близким к едини-
це отношением большой и малой осей 1 + / 1 + 4/9* (рис. 1.14s). 1+ / 1 - 4 ідг
Рис. 1.14
—22; —
Серия 'последовательных 'конформных отображений с использованием инверсии
ифункции Жуковского, которая приводит
к(1.38), 'показана на рис. 1.14. Поэтому (1.38) дает точное решение задачи на
втором и третьем и приближенное — на первом участках оси частот. В самом де ле, по (1.39) Znn = —і, если Zn = —2i, т. е. no (1.36) (рис. 1.15)
г! = р' = |
q/4 + \/q. |
|
|
(1.40) |
|
|
||
Если |
то ZH= i|Z H| и |
|ZH|^ Z ; |
|
|
||||
тогда по |
(1.38) |
I Zm | = 1. |
Вфр) |
на |
этом |
|
|
|
участке при различных p' изображено на |
|
|
||||||
рис. 1Л6. |
|
|
|
|
и |
|Z„|:=3Z, тогда |
по |
(1.38; |
Если г)£П. г]'], то Z„ = —i|Zir| |
||||||||
argZHD= —я/2. Если г)<1, |
то \Za\=q, |
и, так как q > 1, |
по |
(1.38) |
||||
I Zfin I т q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Видим, что граничное условие точно выполняется на II и ИГ участках, а на первом приближенно, с максимальной относитель ной погрешностью при п = 1 (рис. 1.17):
(9 - 1ZHB\)/q = 0 , 5 - ] / 0,25 - 1!q\ |
(1.41) |
При большом у (практически уже при <7>3) эта погрешность об ращается в q~2.
— 23 —
Например, при <7= 4 получаем А, дБ, по рис. 1.18, отличающееся от точного решения при ті = 1 на 0,56 дБ.
Разумеется, решение (1.38) нетрудно обобщить на любые Ви ,
—Я
Аоо; для этого вместо q следует использовать q~B>, возвести выра жение (1.38) в степень 2 ВиІ—л и умножить на ехр/І».
?01дЦна\
Аналогичное конформное отображение (трансформация часто ты) позволяет получить плоский участок /1«, и у более сложных функций. Например, если в (1.38) вместо Zn подставить ZIIB (реше ние задачи для 3 участков В / А ц В щ при ВІП = —я/2), то получен ная функция (рис. 1.19) представляет собою приближенное реше
j |
ние |
задачи о |
4 |
участках |
BIt |
Ац, |
|||
BU[ = —я/2, Aoo = 0, абсолютно точное на |
|||||||||
|
двух последних участках. |
|
|
||||||
|
Разумеется, и это решение можно |
||||||||
|
обобщить на любые .значения постоянных. |
||||||||
|
Сделав, |
далее, инверсию |
оси частот, |
т. е., |
|||||
|
заменив |
р на |
р'=\/р, |
получим весьма |
|||||
|
близкое к точному ірешание -задачи опре |
||||||||
|
деление |
оптимальной ЛАХ Т |
(которую |
||||||
|
Боде приближенно решает образованием |
||||||||
|
ступеньки, см. паіраираф 1.5). |
|
|
||||||
Иное приближенное решение задачи |
о трех участках Ѳ « 1 п 2 нв можно |
най |
|||||||
ти, используя полученное ранее решение |
задачи |
о |
двух |
участках Z„ |
(рис. |
1.10) |
|||
и обратную функцию (рис. 1.20): |
4^ |
________ |
|
|
|
||||
Q |
_ |
/ |
|
Tj^ |
П’ |
|
|
|
|
М7) ~ |
І Ц +^ |
1_ |
|
|
|
||||
подобно тому, как полосовой фильтр может быть образован комбинацией филь тров нижних и верхних частот.
При г] ^ 2
|
Z H |
« |
q/2 i 1], |
. |
И |
|
|
п р и n < |
----- |
|
|
|
2 |
|
|
|
<7/Z„(i |
ip |
« 2т|'/і и . |
— 24 —
Для того чтобы эти функции приобретали одни и те же значения на сред них частотах, следует положить т)'=0,25 q, и тогда значения функции
ехр 0 2 нв = Z„ — <?/2і л + |
(1.42). |
2 „ |
JL |
і 11 |
на низших и на высших частотах оказываются требуемыми.
Погрешность этого решения состоит в том, что границы частотного интер
вала, где В постоянно, не |
совпадают с границами интервалов, где постоян |
|||||
ны А. |
|
|
вычисленные |
по |
||
На рис. 1.21 представлены, например, характеристики, |
||||||
(1.42) при q = 8. Решение оказывается |
менее точным, чем по (1.38), погрешность |
|||||
амплитудной характеристики |
при т| = |
1 составляет 2 дБ, тогда как |
по |
(1.38), |
||
при том же q согласно (1.41) |
погрешность составляет 0,04 дБ. Тем не |
менее это. |
||||
решение представляет определенную ценность нз-за простоты ф-лы (1.42). |
|
|
||||
Используя тот же прием для обратных величин, можно |
полу |
|||||
чить еще одно .приближенное решение задачи: |
|
|
|
|
||
ехр Ѳ#» Z’m = Z-' + q~l ZH j —2Zi q~l тр |
|
(1.43> |
||||
n у ч а с т к о в . Общая задача |
определения Ѳ по |
переменно за |
||||
данным на п участках произвольным /4(г|) и 5(т]) |
имеет решение,, |
|||||
если Ѳ удовлетворяет указанным выше условиям Боде, |
т. |
е., |
в. |
|||
частности, не имеет разрывов в граничных точках на стыках участ
ков [82], и, таким |
образом, |
произвольность |
задания Л(т)), .В(гі) |
||
ограничена уравнением непрерывности для граничных точек. |
|||||
Решение этой задачи может быть |
получено |
с привлечением |
|||
вспомогательной функции Ѳвсш такой, |
чтобы |
она |
удовлетворяла |
||
условиям Боде и на четных |
(нечетных) |
участках arg 0 Bcn=O, а на |
|||
нечетных (четных) |
arg ѲВСп=л;/2. При этом для функции ѲѲВсп на |
||||
всех участках оказывается заданной одна и та же составляющая,, функция ѲѲССП удовлетворяет условиям Боде (если Ѳ удовлетво ряет этим условиям), и, следовательно, вторую составляющую ѲѲпсгг (а отсюда и саму функцию 0) можно вычислить, используя преобразование Гильберта или формулы Боде. Функция Ѳвсп с точностью до постоянного множителя единственна [21, 70, 82]: это. корень квадратный из реактансной функции [8], особенности кото рой .расположены на іграиицах участков.
— 25 —
Случай задания кусочно-постоянных А, В попеременно на 4 участках рассматривался в [70. 71, 80]. Решения сводятся к эллип тическим интегралам, теория которых хорошо разработана. Суще ствуют подробные таблицы численных значений, стандартные про граммы для ЦВМ. В силу требования непрерывности функции про извольно могут быть заданы составляющие функции лишь на трех участках.
Решение оказывается сравнительно простым (выраженным че рез эллиптические интегралы), если Л(т]), ß(r]) заданы на соответ ствующих участках лолино'мами [80, 81].
Расчетные формулы при п > 4 сложны [82], и большинство по лучающихся при решении интегралов вычисляются только числен ными методами.
Н е м и н и м а л ь н о ф а з о в ы й с д в и г . Если Ѳ(р) имеет осо бенности в правой p-полуплоскости, к правой части (1.31) следует
.добавить неминимально фазовый сдвиг |
[7, 21]. |
Для функций передачи большинства |
четырехполюсников, ис |
пользуемых в усилительной технике, Ви |
отсутствует (лестничные |
цепи) или мал (трансформаторы, транзисторы). Участки тракта передачи по петле обратной связи, которые могут при тех или иных значениях параметров цепи иметь неминимально фазовую функцию передачи, обычно можно привести к параллельному соединению четырехполюсников с минимально фазовой функцией передачи. Тог да для определения свойств цепи можно воспользоваться следую
щим, |
вытекающим из принципа аргумента, правилом [49]. Если |
Ѳі и |
Ѳ2 — функции минимальной 'фазы, то функция Ѳ= |
= 1п(ехр Ѳі+ехр Ѳг) является функцией минимальной фазы в том и только в том случае, если диаграмма Найквиста (частотный годо граф) отношения ехрѲі/ехрѲ2 не охватывает точку (—1, 0). Оче видное упрощение этого критерия — требование, чтобы |5 і—В21< < л на всех частотах, где Аі=А% или А і> А 2 на всех частотах, где \Ві—В2\ = л. Разумеется, это только достаточные условия.
При параллельном соединении четырехполюсников под exp и •ехр Ѳ2 удобно понимать параметры у21 четырехполюсников, т. е. от ношение выходного тока при сопротивлении нагрузки, равном 0, ко входному напряжению. В этом случае параметр у21 для цепи в це лом равен сумме этих параметров для отдельно взятых четырехпо люсников. При определении Вп можно не учитывать то обстоятель ство, что сопротивление нагрузки реальной цепи имеет иную, от личную от нуля, величину, так как сопротивление нагрузки являет ся частным случаем лестничной цепи и, следовательно, не меняет величины неминимально фазового сдвига функции передачи.
Если, например, решается задача о параллельном соединении каналов, через которые осуществляется передача в соприкасающих ся спектрах частот (параллельное соединение двух широкополос ных усилителей для расширения спектра усиливаемых частот), то, если не принимать специальные меры, общая постоянная передачи ■оказывается неминимально фазовой. Такой канал (например, по
— 26 —
[46]) нельзя охватить глубокой обратной связью. Меры, которыеследует принять, состоят в формировании иеохватывающей крити ческой точки диаграммы Найквиста для отношения проводимостей передачи каналов в виде, например, решения задачи о поперемен но заданных кусочно-постоянных составляющих, рис. 1.22.
Для решения задачи коррекции ЛАХ Т0 важным является выяс нение вопроса, целесообразно ли использовать при этом местную обратную связь. Помимо аспектов, связанных со свойствами допол
нительных каналов обратной связи в нелинейном |
|
|
||||
режиме— это будет рассмотрено далее, |
'важно |
|
|
|||
выяснить, увеличивается ли неминимально фазо |
|
|
||||
вый сдвиг фн, так как ів этом случае снижается |
|
|
||||
допустимая глубина общей обратной связи. |
|
|
||||
Рассмотрим каскад с местной обратной связью, |
|
|
||||
причем проходную емкость |
Ск отнесем |
к цепи |
|
|
||
обратной связи |
(рис. 1.23). |
Будем считать, что |
|
|
||
крутизна |
характеристики |
транзистора |
у%4= |
|
|
|
= const<0 |
и |
проводимость |
передачи каскада |
|
|
|
Y(p)=Iz/Uі при р —0 отрицательна, т. е. на низ |
|
|
||||
ких частотах сигнал проходит со входа на выход |
|
|
||||
преимущественно через транзистор, а не через |
|
|
||||
цепь обратной связи, что и имеет место прак |
|
|
||||
тически. |
У7 = Z" = 0 рассмотрен Боде [21]. Y(p)=pC— \уи\ |
имеет |
||||
Случай |
||||||
положительный вещественный нуль Оо=|у2і|/С, |
и неминимально |
|||||
фазовый сдвиг |
|
|
|
|
|
|
|
|
ВноМ = 2arctg— = a r c tg - ^ - |
; |
(1.44} |
||
|
Q |
|
ПО |
I У21I |
|
|
при со<0,4 |
|
|
|
|
|
|
----- |
|
|
|
|
||
НІйіІ
Вн0(со) Ä ; — |
со. |
(1.45} |
I Ун I |
|
|
Покажем, что если Z"(p) — положительная вещественная функ |
||
ция, a Y'(p) — минимально фазовая |
функция и У7(0)> 0, то ß H> |
|
> Л н о .
—27 —
Проводимость |
|
|
|
|
|
У = Г + |
рС + |
^ = Г |
+ рС ------ ------- 1 |
— , |
(1.46) |
|
, |
F |
1 |
nn Z |
|
|
|
|
I </211 |
+ 2" |
|
так как глубина |
местной обратной связи при |
короткозамкнутых |
|||
входе и выходе каскада F= 1+ \ y2i\ h^Z"/ (Ііц+Z"). |
|
||||
На положительной вещественной полуоси о плоскости р в соот ветствии со свойствами положительных вещественных и минималь но фазовых функций Z" и все три слагаемых в (1.46) вещественны и ограничены, причем Z" и первые два слагаемых положительны, третье — отрицательно. Поэтому неравные тождественно нулю Y' и Z" увеличивают Y и поэтому К(ао) > 0 .
Но, как указывалось выше, У(0)<0 и У (а) ограничено на полу оси а > 0 [все три слагаемых в (1.46) ограничены], поэтому У(р) должно иметь нуль аіе(0 , а0). Следовательно,
ß„ > 2arc tg — > ß„o.
По
Таким образом, использование местной обратной связи всегда увеличивает неминимально фазовый сдвиг по петле общей обрат ной связи и, следовательно (см. параграф 1.6), уменьшает допу стимую глубину общей обратной связи. Численно это уменьшение, однако, невелико, и местную обратную связь можно применять для -коррекции ЛАХ Т. При том же добавочном неминимально фазовом •сдвиге большая глубина местной обратной связи получается при параллельной связи, если сопротивления нагрузки и источника для данного каскада высокоомны, .и при последовательной связи, если
.эти сопротивления низкоомны, это следует из соотношений, кото рые будут приведены далее в параграфе 1.6.
|
1.5. МАКСИМАЛЬНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ |
|
||||
О п т и м а л ь н ы й |
с р е з |
по Боде. Как |
указывалось |
ранее, |
||
нз соотношений (1.26), |
(1.27) |
следует, |
что наибольшая величина |
|||
J F |« |7 ’| |
в рабочем диапазоне частот |
т)<;1 соответствует |
макси |
|||
мизации |
фазы, причем |
опраничением фазы |
служит линия 1 на |
|||
Ь-плоскости (см. рис. 1.8). Поэтому характеристика Т(іг\), обеспе чивающая максимальную постоянную глубину обратной связи в рабочем диапазоне частот, должна являться решением задачи о 4 З'частках. Боде приближенно определил оптимальное 7"(irj) с по мощью решения задачи о двух участках (см. ('1.34)]. Отличие ха рактеристики оптимального среза по Боде (рис. 1.24) от характе ристики по (1.34) состоит в добавлении ступеньки de (третий уча сток), уменьшающей наклон ЛАХ Т и фазу —ср на этих частотах, что компенсирует как фазовый сдвиг, соответствующий крутизне
—6 п, дБ/окт, реальной высокочастотной асимптоты (четвертый участок), так и неминимально фазовый сдвиг ср,,.
— 28 —
Оптимальный срез полностью определяется пятью величинами: числом 'каскадов п, запасами устойчивости х, дБ, у, частотой Цс и не минимально фазовым сдвигом на этой частоте фНс (втрэд.). Частоту
а) а і </>
Q А |
Плі |
уWO'
Ч>
вВІонт Рис. 1.24
і]с можно определить, зная г)т — нормированную среднегеометри ческую предельную частоту усиления усилительных приборов, т. е.
нормированную |
частоту, |
на которой усиление усилителя в |
петле |
|
обратной связи |
равно |
0 дБ, и |
асимптотические потери |
Лт = |
= 201g) 7,(т)т) |. На частотаіХ ц ^т)т |
построенные оптимально |
ß-цепь |
||
и межкаскадные цепи обращаются в емкостные делители, коэффи циент передачи их постоянен, и поэтому характеристика А имеет на высоких частотах асимптоту с наклоном —6 ге, дБ/окт. Частоты, на которых А мало отличается от асимптоты, называют асимптотиче скими.
В соответствии с рис. 1.24 |
|
|
log2 т]с = logs г]г + |
(X — Ат)/6и. |
(1.47) |
На частотах цС ца необходимо, |
чтобы фяь— (1—у) 180°. ЛАХ |
|
среза по Боде отличается от решения для двух |
участков при |
|
т1> т]й, и, следовательно, влияние этих участков ЛАХ на фазовую характеристику на нижних частотах должно быть одинаковым. По этому фазовый сдвиг — 4(1—y)r\/ny]d, соответствующий л о |(Ч .32) лучу ЛАХ с наклоном — 12(1—у) дБ/окт, берущим начало на частоте ц, должен быть равен сумме — 2пг|/шіс + фнст)/т]с; здесь фнс — неминимально фазовый сдвиг на частоте т]с. Первое слагае мое соответствует лучу ЛАХ с наклоном 6 п, дБ/окт, берущим на чало на частоте цс. Вторым слагаемым является линейно завися щий от частоты (см. (1.45)] неминимально фазовый сдвиг. Отсюда
% = |
(1.48) |
П+ — |
Фнс |
— 29 —