книги из ГПНТБ / Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны [монография]

20

гАналогично

Подставляя найденные для Vmn (R, со) выражения в (1.48),. получаем формулы для смещений:

Доказательство того, что построенное решение (1.64) удовлетво­ ряет начальным условиям (1.39), проводится аналогично плоскому

случаю для каждого члена ряда 2J •

fil, n

21

Таким образом, при помощи разложения по собственным функг циям мы получили точное решение, удовлетворяющее уравнении" (1.35), граничным и начальным условиям (1.38), (1.39).

Представление смещений в виде суммы собственных колебаний шара. В формулах (1.64) только множители типа Сцтп в1 зависят от со. Поэтому вычисление интегралов по со сводится к нахож-і

денных ограничениях на источник \р (со) может иметь особенность при Ітсо > 0 и регулярна в нижней полуплоскости. Кроме тогоС"

возмущение, связанное с особенностями источника. Для финит­

Таким образом, мы представили смещения в виде суммы соб­ ственных сфероидальных S и крутильных Т колебаний шара с дис­

22

бегущих поверхностных волн будем следовать [98]. Изменим поря-

(£=1 ТП=—ОО П=0

по контуру L , охватывающему положительную часть действи­ тельной оси плоскости комплексного переменного ѵ, где п = = Ent(Re ѵ):

и применив асимптотику присоединенных полиномов Лежандра

23

Используя эти формулы для преобразования (1.66), можно найти следующие асимптотические выражения для компоненты смещения и9 (q = R, Ѳ, ср) в поверхностной волне, I раз обежавшей шар и при этом g раз прошедшей через полюс Ѳ = 0 и антиполюс Ѳ = л шара:

wire}—минимальнаячастота,прикоторои ещевыполнено неравен­

ЗА

наблюдения Ѳ (0 < ; Ѳ < л) следующим образом:

что формулы (1.71) для шара перейдут в соответствующие форму­ лы (1.29) для полупространства, если заменить в них индексы S

на R, Т на L и учесть, что при -цщ —> =» и g = / = 0:

Таким образом, высокочастотные части смещений в поверхност­ ных волнах для полупространства и шара асимптотически оди­ наковы.

§ 3. Физическое истолкование полученных решений

Ниже мы дадим истолкование полученных формул (1.29), (1.71), существенное для понимания процесса возбуждения и распространения поверхностных волн. Будем считать, что поле сил F, описывающее сейсмический источник, локализовано в некоторой зоне, расположенной в полупространстве вблизи начала

неискажающий приемник, регистрирующий q-ю компоненту сме­

Теоретическая сейсмограмма ид (t) поверхностной волны, ре­ гистрируемая таким приемником, описывается при достаточно больших г (или Ѳ) формулами (1.29) — (1.30) или (1.70) — (1.71).

Поверхностные волны Рэлея (индекс волны Q — R или 5) будут регистрироваться только при q = z, г или R, Ѳ: они поляризованы в вертикальной плоскости (сечении большого круга), проходящей

25

Г л а в а 2

МЕТОДИКА РАСЧЕТА

Рассмотрение полученных в предыдущей главе формул (1.28), <(1.29) и (1.70), (1.71) показывает, что расчет полей поверхностных волн можно осуществлять тремя последовательными этапами:

1) расчет собственных значений ю2 ^ И собственных функций Ѵ[г) операторов (1.14) — (1.17) и (1.49) — (1.54), а также связан­ ных с ними величин и функций для заданной модели вертикальноили радиально-неоднородной среды;

2)расчет амплитудных и фазовых спектров поверхностных волн для заданной модели источника, направленности и положения регистрирующего прибора;

3)расчет нестационарных сейсмограмм.

Д л я решения многих задач сейсмологии нет необходимости

.проводить все три или даже два этапа расчетов. Так, уже на пер­ вом этапе решаются вопросы о дисперсии фазовых и групповых скоростей, поглощении и поляризации колебаний как функции частоты, о зависимости амплитуды смещений или плотности пото­ ка энергии фиксированной частоты от глубины приемника или эле ментарного источника для отдельных гармоник волн Рэлея і Л я в а .

На втором этапе решаются вопросы, связанные со спектраль­ ными характеристиками поверхностных волн; например, может быть исследовано влияние механизма источника на амплитудный и фазовый спектры отдельных гармоник и суммарный спектр нескольких гармоник. Необходимость проведения третьего этапа (перехода во временную область) возникает главным образом тог­ да, когда нужно интерпретировать сложную волновую картину или на численных примерах оценивать эффективность и точность различных алгоритмов обработки наблюдений.

§1. Собственные значения

исобственные функции

Нахождение собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов такого типа, как рассмотренные в гл. 1, для произвольных моделей среды является сложной вычис­ лительной задачей, решение которой стало возможным лишь с внедрением электронных вычислительных машин. В настоящее время сложилось два основных подхода к ее решению: метод слои­ стой аппроксимации и метод численного интегрирования. Ниже мы рассмотрим оба этих метода на примере волн Лява, а затем кратко остановимся на решении задачи для волн Рэлея.

Волны Лява в неоднородном полупространстве. Решение зада чи о собственных функциях и собственных значениях дифферен

28

циального оператора L 3 , образованного левой частью уравнения ^1.16) и граничным условием (1.17), заключается в отыскании та­ ких чисел ю2 = о2-/, и таких функций Ѵ&> ~ ѴІ3) (z), которые при заданном значении параметра £ удовлетворяют уравнению

приводим нашу задачу к безразмерному виду. Черточку мы в

реальной модели, заданной кусочно-непрерывными, положитель­ ными, но в остальном произвольными функциями Ь, р некой близ­ кой моделью, состоящей из слоев, в каждом из которых Ъ и р изменяются по заданному закону. Главное требование к такому закону: решение уравнения (2.1) для каждого слоя должно выпи­ сываться в явном виде. В простейшем случае слоисто-однородной аппроксимации решение является либо тригонометрической, либо

29

Уравнение (2.7) при заданном g имеет один или несколько кор­ ней to^L, являющихся собственными значениями задачи (2.1). Собственные значения отыскиваются численным путем: подби­

дено, нетрудно вычислить " на границах слоев. Описан­

ный алгоритм, получивший в сейсмологии название метода Томсона — Хаскелла [131], наряду с крупным достоинством — про­ стотой и, следовательно, экономичностью вычислений — обладает

ирядом существенных недостатков:

1.Возможность аппроксимации модели с произвольным зако­ ном изменения Ъ, р с глубиной z слоистой моделью с заданными за­ конами изменения скорости и плотности в каждом слое требует количественного обоснования. Из физических соображений оче­ видно, что, если мощности слоев много меньше 2я/£, такая аппрок­

симация не может привести к существенным искажениям

и cojfL, однако для аккуратных оценок необходимо в каждом случае доказывать, что такая близость имеет место (например, способом удвоения: при двукратном увеличении числа слоев и (Ощ, изменяются в пределах допустимой погрешности). В ряде случаев (особенно при слоисто-однородной аппроксимации, где Ъ и р разрывны) сходимость решения для аппроксимирующей модели к точному решению может быть очень медленной. Об этом, в част­ ности, свидетельствуют расчеты Э. Н. Бессоновой и Г. А. Ситни­ ковой (ИФЗ АН СССР).

30