книги из ГПНТБ / Алферова З.В. Теория алгоритмов учеб. пособие

Воспринимая в начальный момент времени систему чисел Хи ..., хт

навливается, воспринимая в стандартном положении систему т + 1

Легко можно убедиться, что m-я степень машины Rm — Rmm ко­ пирует систему чисел (хи • • •, Хт), воспринятую в стандартном по­ ложении справа так, что результатом работы будет система 2т чи­ сел (хи xm, Xi, х т ) , разделенных одним промежутком.

Если начальная конфигурация 0011110000, то заключительная — 001111011110000.

Машина Sm строится, по формуле:

если начальная конфигурация была 011011110000, то конечная кон­ фигурация будет иметь вид: 01101111001101111000.

Условимся теперь, как будут записываться и считываться с лен­ ты аргументы и значения вычисляемых функций. Ъудем говорить, что считывающая и записывающая головка воспринимает систему чисел {хи ..., хт) в стандартном положении, если, во-первых, эти числа записаны подряд и, во-вторых, головка расположена напро­ тив самой правой ячейки в представлении последнего из чисел (хп)-

Дадим определение понятию вычисления на машине Тьюринга. Пусть задана машина Т ц пусть в начальный момент времени вы­ полнены следующие условия:

головка воспринимает в стандартном положении;

40

арифметические функции, из которых строятся рекурсивные функ­ ции.

Функцию непосредственного следования S(x) = д; + 1 вычисля­ ет машина Т = RiT6. Действительно, воспринимая в начальный мо­

вычислена на мапхине Тьюринга и наоборот,'что на машине Тью­ ринга вычисляются только рекурсивные функции.

ших арифметических функций с помощью операций суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации. Поэтому теорема Тьюрин­

/

Записать алгоритм сложения двух чисел с указанием против каждой команды соответствующих конфигураций, заданных на лен­ те в виде:

где 0 — пустой символ, a q^ — заключительное состояние. Программа задана в виде:

42

Записать алгоритм сложения чисел, заданных на ленте в виде

Машина начинает просмотр с самой левой единицы, находясь в со­ стоянии <7о.

Результат суммирования должен быть представлен в виде

1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

3. Машина Тьюринга задана следующей таблицей:

Процесс сложения-состоит в следующем: левое число т прибав­ ляется к первому числу п, потом т прибавляется к полученной сум­ ме п + т и т. д.

Просмотр ленты начинается с самой левой единицы. Машина находится в состоянии qo.

4. Соктавить таблицу соответствия для машины Тьюринга, вы­ полняющей алгоритм умножения двух чисел, и записать алгоритм.

мирования выполнялся столько раз, сколько единиц во множителе, после чего следует останов машины.

43

5. Составить таблицу соответствия для машины Тьюринга, вы­ полняющей алгоритм умножения двух чисел, записанных на ленте в виде

V<?3

Результат умножения должен быть представлен в виде:

V

Записать алгоритм с указанием для каждой команды соответст­ вующей конфигурации. .

7.Составить таблицу соответствия для машины Тьюринга, вы­ полняющей алгоритм вычитания, записать алгоритм и соответст­ вующие каждой команде конфигурации.

8.Составить таблицу соответствия для машины Тьюринга, вы­ полняющей алгоритм деления, записать алгоритм с соответствую­ щими конфигурациями.

9.Пользуясь понятием машины Поста, записать алгоритмы:

Яе

Останов

Записать алгоритм счетчика единиц с указанием соответствую­ щих конфигураций. •.

11. Составить таблицу соответствия для машины Тьюринга, вы - ' полняющей алгоритмы сложения и вычитания. Записать алгоритм одного примера с указанием конфигураций, соответствующих каж­ дой команде.

44

12. Составить таблицу соответствия для машины Тьюринга, вы­ полняющей алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления. Записать алгоритм одного из примеров с указанием соответствую­ щих конфигураций.

1.4. Нормальные алгоритмы А. А. Маркова

Как мы уже условились, всякий общий способ задания алгорит­ мов называется алгоритмической системой. Алгоритмическая систе­ ма, основанная на соответствии между словами в абстрактном ал­

фавитные операторы, с помощью последовательного выполнения ко­ торых реализуются любые алгоритмы в рассматриваемой алгорит­ мической системе.

Элементарные распознаватели служат для распознавания нали­ чия тех или иных свойств перерабатываемой алгоритмом информа­ ции и для изменения, в зависимости от результатов распознавания, последовательности, в которой следуют друг за другом элементар­ ные операторы.

Для указания набора элементарных операторов и порядка их

зываемых узлами граф-схемы. Каждому узлу, кроме особых узлов, называемых входом и выходом, сопоставляется какой-либо элемен­ тарный оператор или распознаватель. Из каждого узла, которому сопоставлен оператор, а также из входного узла исходит точно по одной дуге. Из каждого узла, которому сопоставлен распознава­ тель, исходит точно по две дуги. Из выходного узла не исходит ни одной дуги. Число дуг, входящих в узел граф-схемы, может быть любьш.

Рассмотрим на примере общий вид такой граф-схемы (стр. 46).

В общем случае число дуг, входящих в вершины-распознавате­ ли, может быть любым.

Алгоритм, определенный граф-схемой, работает следующим об­ разом. Входное слово поступает на вход и двигается по направле­ ниям, указанным стрелками. При попадании^слова в распознава-

45

тельный узел осуществляется проверка условия, сопоставленного этому узлу. При выполнении условия слово направляется в опера­ торный узел, при невыполнении — к следующему распознавателю (иногда эти стрелки соответственно обозначают знаками « + » и «—»).

Если входное слово р , поданное на вход граф-схемы, проходя через узлы схемы и преобразуясь, попадает через конечное число шагов на выход^ то считается, что алгоритм применим к слову р (слово р входит в область определения этого алгоритма). Резуль­ татом воздействия на слово р будет то слово, которое оказывается на выходе схемы. Если после подачи слова р на вход графа его преобразование и движение по граф-схеме продолжается бесконеч­ но долго, не приводя на выход, считается, что алгоритм не приме­ ним к слову р , т. е. слово р не входит в область определения алго-

ЭР,

ЭР,

ЭР,

ритма. В нормальных алгоритмах в качестве элементарного опера­ тора используется оператор подстановки, а в качестве элементарно­ го распознавателя — распознаватель вхождения.

Распознаватель вхождения проверяет условие — имеет ли место вхождение рассматриваемого слова pi в качестве подслова некото­

реализации алгоритма, называется дедуктивной цепочкой, ведущей от слова pi к слову р п .

46

Алгоритмы, которые задаются графами, составленными исклю­ чительно из распознавателей вхождения слов и операторов подста­ новки, назовем обобщенными нормальными алгоритмами. При этом предполагается, что к каждому оператору подстановки ведет толь­ ко одна дуга, исходящая из соответствующего распознавателя.

Таким образом, для вершин, соответствующих операторам подста-

'дугой к первому распознавателю.

Нормальные алгоритмы принято задавать упорядоченным мно­ жеством подстановок всех операторов данного алгоритма, назы­ ваемым схемой алгоритма. При этом обычные подстановки записы­ ваются, как и в обобщенных алгоритмах, в виде двух слов, соеди­

ма А. А. Маркова, заданного алфавитом А = { + , , 1 } и системой подстановок '1 + 1'—VI Г, Т — * - Т .

47

Вход

ного алгоритма, эквивалентного любому наперед заданному алго­ ритму. Универсальность нормальных алгоритмов формулируется следующим принципом нормализации. Для любого алгоритма (кон­ структивно задаваемого алфавитного отображения) в произволь­ ном конечном алфавите А можно построить эквивалентный ему нормальный алгоритм над алфавитом А.

Понятие нормального алгоритма над алфавитом означает сле­ дующее. В ряде случаев не удается построить нормальный алго­ ритм, эквивалентный данному алгоритму в алфавите А, если ис­ пользовать в подстановках алгоритма только буквы этого алфави-. та. Однако можно построить требуемый нормальный алгоритм, производя расширение алфавита А, т. е. добавляя, к А некоторое количество новых букв. В этом случае принято говорить, что по­ строенный алгоритм является алгоритмом над алфавитом А, хотя алгоритм по-прежнему будет применяться лишь к словам в исход­ ном алфавите А.

48

в алфавите А, называется нормально вычислимой, если существует нормальный алгоритм N над алфавитом А такой, что для каждого слова р в алфавите А выполнено равенство F(p) = N(p).

В качестве примера рассмотрим словарную функцию в алфави­ те {0, 1}, заданную формулой Р(р) = ра. Пусть N— нормальный алгоритм в более широком алфавите {0, 1, 2}, имеющий схему:

20—>02, 21 — И2, 2-—У-а, А — У 2 .

Возьмем какое-нибудь слово в алфавите {0, 1}, например слово 0110 = р. После первого шага мы получим слово 20110. Каждый, следующий шаг переработки будет сдвигать символ 2 на одно мес­ то вправо, и после пятого шага мы будем иметь слово 01102, кото­

поскольку понятие произвольного алгоритма не является строго оп­ ределенным математическим понятием.

Условимся называть тот или иной алгоритм нормализуемым, если можно постр.оить эквивалентный ему нормальный алгоритм, и

Справедливость этого принципа основана на том, что все извест­ ные в настоящее время алгоритмы являются нормализуемыми, а способы композиции алгоритмов, позволяющие строить новые ал­ горитмы из уже известных, не выводят за пределы класса норма­ лизуемых алгоритмов. Рассмотрим -основные способы композиции нормальных алгоритмов.

Новые алгоритмы могут быть построены из уже известных ал­ горитмов путем применения различных способов композиции алго­ ритмов. Одной из наиболее распространенных видов композиции яв­ ляется суперпозиция алгоритмов.

I . При суперпозиции Двух алгоритмов А и В выходное слово первого алгоритма А рассматривается как входное слово второго

любое слово р, содержащееся в переречении областей определения алгоритмов А ц В в записанные рядом слова А(р) и В(р), на всех