книги из ГПНТБ / Алферова З.В. Теория алгоритмов учеб. пособие

дут считаться пустыми. Устройство управления машины в каждый момент времени находится в одном из конечного множества состоя­

если, находясь в состоянии qi и воспринимая ячейки с символами s«i . . . sak, машина переходит в состояние q;, заменяя содержимое ячеек соответственно символами spi . . . sp«. После этого ленты соответственно сдвигаются в направлениях 7\ . . . Тк.

Задать программу многоленточной машины Тьюринга — это значит для каждого слова

30

qtsaX . . . sak {i = 1, . . . , m; al, . . . , ak = 0,1, . . ., n)

задать какую-нибудь команду вида (10). Таким образом, ^-лен­ точная машина Тьюринга определяет алгоритм для переработки слов вида (9).

Заметим, что вычислимость на многоленточной машине Тьюрин­ га частично рекурсивных функций есть прямое следствие вычисли­ мости этих функций на одноленточной машине.

1.3.4. Универсальная машина Тьюринга

До сих пор мы придерживались той точки зрения, что различ­ ные алгоритмы осуществляются на различных машинах Тьюринга, отличающихся набором команд, внутренним и внешним алфави­ тами. Однако можно построить универсальную машину Тьюринга, способную в известном смысле выполнять любой алгоритм, а зна­ чит, способную выполнять работу любой машины Тьюринга.

В универсальной машине Тьюринга, как и во всякой тьюринговой машине, информация изображается символами, расположенны­ ми одновременно на магнитной ленте. При этом универсальная ма­ шина Тьюринга может располагать лишь фиксированным конечным внешним алфавитом. Между тем она должна быть приспособлена к приему в качестве исходной информации всевозможных состоя­ ний устройства управления и конфигураций, в которых могут встре­ чаться буквы из разнообразных алфавитов со сколь угодно боль­ шим числом различных букв.

Это достигается путем кодирования конфигурации и программы любой данной машины Тьюринга в символах входного (внешнего) алфавита универсальной машины. Само кодирование должно вы­ полняться следующим образом:

1) различные буквы должны заменяться различными кодовыми группами, но одна и та же буква должна заменяться всюду, где бы она ни встречалась, одной и той же кодовой группой;

2)строки кодовых записей должны однозначным образом раз­ биваться на отдельные кодовые группы;

3)должна иметь место возможность распознать, какие кодовые

группы соответствуют различным сдвигам, т. е. каждой из букв Л, П, С в отдельности, и различать кодовые группы, соответствую­

1. В качестве кодовых групп берутся 3 + k + m различных слов вида 100 . . . 01 (между единицами — сплошь нули),

где k — число символов внешнего алфавита;

m — число состояний устройства управления.

31

Тогда разбивка строк на кодовые группы производится одно­ значным образом путем выделения последовательностей нулей, за­ ключенных между двумя единицами.

2. Сопоставление кодовых групп исходным символам внешнего и внутреннего алфавитов осуществляется согласно следующей таб­ лице кодирования:

Так, например, для машины Тьюринга, перерабатывающей сло­

При кодировании программ, конфигураций и входных слов вместо нулей и единиц можно брать любые другие два символа, на­ пример а и Ъ.

Таким образом, если какая-либо машина Тьюринга Т решает не­ которую задачу, то и универсальная машина Тьюринга способна решить эту задачу при условии, что кроме кодов исходных данных, этой задачи на ее ленту будет подан код программы машины Т. За­ давая универсальной машине Тьюринга Ти изображение програм­ мы любой данной машины Тьюринга Тп и изображение любого ее входного слова хп, получим изображение выходного слова уп, в ко­ торое машина Тп переводит слово хп-

32

В связи с существованием универсальной тьюринговой маши­ ны таблицы соответствия, описывающие различные состояния уст­

ными данными поставленной задачи вводится также и программа ее решения.

Однако в отличие от машины Тьюринга, в которой внешняя па­ мять (лента) бесконечна, в любой реальной вычислительной ма­ шине она конечна.

Для сравнения структур различных машин и оценки их сложно­ сти необходимо иметь соответствующую меру величины или сложности машин. Шеннон предложил рассматривать в качестве такой меры произведение числа символов и числа состояний. Та­ ким образом, «сложность» машины Тьюринга равна произведению

существовании машины с 4-мя символами и 7-ю состояниями и тео­ рема Триттера о существовании универсальной машины с 4-мя сим­ волами и 6-ю состояниями.

1.3.5.Композиции машин Тьюринга

Сматематической точки зрения машина Тьюринга — просто оп­ ределенный ^алгоритм для переработки слов.

Операции композиции, выполняемые над алгоритмами, позволя­

ют образовывать новые, более сложные алгоритмы у из. ранее из,- вестных простых алгоритмов. Поскольку машина Тьюринга — ал­ горитм, то операции композиции применимы й к Машинам Тьюрин­ га. Рассмотрим основные из них, а именно: произведение, возведе­ ние в степень, итерацию.

Пусть заданы машины Тьюринга Г4 и Т2, имеющие какой-то об­

граммой, получающейся следующим образом. Во всех командах Т1г содержащих заключительный символ qo, заменяем его на сим-

ных указанным способом, и будет программой композита или про­

Таким образом, машина Т есть произведение машин 7\ и Т2, ес­ ли последовательная работа этих двух машин эквивалентна рабо­ те одной машины Т.

Таблица соответствия такой машины строится по следующему правилу: если управляющее устройство машин Ti и Т2 имеют ki и k2

Машина стирает все единицы слева, если они есть, до ближайшего слева нуля.

В исходном состоянии считывающие головки машин Ti и Т2 на­ ходятся у крайней правой заполненной ячейки. Тогда машина Т, являющаяся их произведением, будет иметь таблицу с 2 + 1 = 3 со­ стояниями, q0 = qo2 — заключительное состояние машины Т2:

34

0 1

Если для машины Г применить новую нумерацию состояний, то таблица соответствия примет вид:

Машина Т отыскивает ближайшую группу единиц и стирает их. -

или несколько заключительных состояний, умножение определяет­ ся совершенно аналогично, но только обязательно должно присут­ ствовать указание, какое из заключительных состояний предыдуще­ го сомножителя отождествляется с начальным состоянием после­ дующего. >

Так, например, если машина Ti имеет два заключительных со­ стояния, то произведение Ti и Т2 будем обозначать через

в зависимости от того, отождествляется ли начальное состояние ма­ шины Tz с первым или со вторым заключительным состоянием ма­

Суть этой операции состоит в следующем. Пусть машина 74 име­ ет несколько заключительных состояний. Выберем какое-либо г-е заключительное состояние и отождествим его в основной таблице

машины Ti с ее начальным состоянием. Полученная машина обоз­ начается через

и является результатом итерации машины 7V Здесь точка указы­ вает на отождествление заключительного состояния с начальным состоянием машины 7Y

Если Ti имеет только одно заключительное состояние, то после выполнения итерации получается машина, не имеющая заключи­ тельного состояния вовсе.

Если итерация производится над машиной, которая сама являет­ ся результатом умножения и итерации других машин, то соответ­ ствующее число точек ставится над теми машинами, чьи заключи­ тельные и начальные состояния отождествляются.

Например, запись

т=т1т2

означает, что заключительное состояние Т3 отождествляется с на­ чальным состоянием Т±, а заключительное состояние Г5 отождеств­ ляется с начальным состоянием 7^

Рассмотрим пример построения машины с помощью операций умножения и итерации.

Пусть исходными являются машина Т2, рассмотренная в компо­

Машина отыскивает первую после группы нулей группу единиц справа от начальной ячейки и останавливается около последней из этих единиц.

Машина 74 :

<?оОП <7iin

36

познает», напротив какой ячейки находится считывающая головка, и в зависимости от этого переходит в первое или второе заключи­

начального положения до того места, где впервые встречаются две пустые ячейки подряд. После этого.лента машины возвращается назад и останавливается у крайней правой заполненной ячейки той группы расположенных подряд единиц, из которой машина начина­ ла работать. Машина повторяет операцию «стирания» групп еди­ ниц до тех пор, пока левее некоторой группы единиц не окажутся две пустые ячейки. Таким образом, применение операции итерации позволяет составлять машины, повторяющие определенную после'1- довательность операций на ленте.

Прежде чем рассмотреть другие примеры композиций машин Тьюринга, приведем ряд машин, из которых будут строиться эти композиции.

Машина Т6:

37

на «1», то она «отыскивает» на ленте первую пустую ячейку, т. е. ячейку с нулем справа от той, над которой находится головка, за­ писывает в ней «Ь> и останавливается. Если же вначале считываю­ щая головка находилась напротив пустой ячейки, то машина запи­ сывает в ней «1» останавливается, не передвигая ленты.

Машина 7V

Эта м'ашина «стирает» единицу в той ячейке, где находится голов­ ка, если ячейка не пуста, передвигает ленту вправо на одну ячейку и останавливается. Если головка в начальный момент времени на­ ходилась над пустой ячейкой, то лента передвигается вправо до тех пор, пока не окажется над ячейкой, содержащей «I», и работа­ ет так, как описано выше.

Машина Т&:

Машина заполняет первый промежуток справа между двумя груп­

Находясь в начальном состоянии всегда против заполненной ячей­

Она заносит единицу слева от группы единиц через одну пустую ячейку.

38

-Машина Тп:

Начиная работу с заполненной ячейки, машина стирает в ней еди­ ницу и «переносит» ее в ближайшую пустую ячейку слева:

Машина Г1 2 :

А

Машина стирает одну единицу в ячейке, расположенной правее ис­

Машина Р начинает работу, воспринимая самую правую запол­ ненную ячейку представления какого-либо числа. Результатом ее ра­ боты является ситуация, в которой это число «перегоняется» на­ лево и ставится рядом с ближайшим слева числом.

К такому же результату может привести машина с более простой

39