книги из ГПНТБ / Алферова З.В. Теория алгоритмов учеб. пособие

Например, осуществляя операцию суперпозиции функций f{x) =

При суперпозиции функции ^(л:) с самой собой получим функ­ цию h(x) = х + 2 и т. п.

Операция суперпозиции обозначается символом S n + i , где индекс сверху означает число функций.

Операция примитивной рекурсии позволяет строить п + 1-мест­ ную арифметическую функцию (функцию от п + 1 аргумента) по двум заданным функциям, одна из которых является n-местной, а другая п + 2-местной.

Пусть заданы какие-нибудь числовые частичные функции: п- местная g я п + 2-местная h. Говорят, что п + 1-местная частичная функция f возникает из функций g и h примитивной рекурсией, ес­

Для правильного понимания операции примитивной рекурсии необходимо заметить, что всякую функцию от меньшего числа переменных можно рассматривать как функцию от любого больше­ го числа переменных. В частности, функции-константы, которые естественно рассматривать как функции от нуля аргументов, можно рассматривать как функции от любого конечного числа аргументов.

В соответствии с этим операцию примитивной рекурсии будем применять и для п = 0, говоря, что одноместная частичная функ­ ция / возникает примитивной рекурсией из постоянной одноместной функции, равной числу а, и двуместной частичной функции h, если

/ ( 0 ) = а ; f(x+l)=h(x, /(*)).

Встает вопрос, для каждых ли g и h существует функция / и будет ли она единственной. Область определения функции — мно­ жество всех натуральных чисел, поэтому ответ на оба вопроса по­ ложительный.

Если / существует, то из (3) и (4) находим:

и поэтому / определена однозначно. Таким образом, для любых частичных n-местной функции g и п + 2-местной функции h/n = = 0, 1, 2, . . . существует только одна частичная п + 1-месГная

20

функция /, возникающая из g и h примитивной рекурсией. Симво­ лически пишут f = R{g, К).

Из (5) видно, что если мы каким-то образом умеем находить значение g и h, то значение / можно вычислить при помощи проце­

ций можно построить двуместную функцию суммирования f (х, у) = = х + у.

Эта функция определяется с помощью тождественной функции g{x) = х и функции непосредственного следования:

h[x, у, г) = z + 1.

В самом деле, используя правила (3) и (4), имеем:

Аналогично можно построить показательную, степенную и дру­ гие известные арифметические функции.

Функции, которые могут быть построены из элементарных ариф­ метических функций с помощью операций суперпозиции и прими­ тивной рекурсии, примененных любое конечное число раз в произ­

Операции суперпозиции и примитивной рекурсии, будучи при­ менены к всюду определенным функциям, дают в результате снова всюду определенные функции.

В качестве примера докажем примитивную рекурсивность не­ которых простых арифметических функций.

Двуместная функция f{x, у) =х + у удовлетворяет соотноше­ ниям:

х + 0 = х = Ц (х) —тождественная функция;

2i

тать частичной двуместной функцией от х и у, определенной лишь для х^у, так как отрицательные числа не входят в рассматривае­ мую область. Но примитивно рекурсивные функции всюду опреде­ ленные. Поэтому в теории примитивно рекурсивных функций вместо обычной разности вводят усеченную разность, обозначаемую сим­ волом— и определяемую следующим образом:

В отличие от простой разности усеченная разность в области натуральных чисел всюду определенная, и в то же время она очень просто связана с обычной разностью. Так, например, согласно оп­ ределению (*):

Обе последние функции примитивно рекурсивны, поэтому и функция

.х—у — примитивно рекурсивная.

Большинство арифметических функций относятся к примитивно рекурсивным. Тем не менее примитивно рекурсивные функции не охватывают всех арифметических функций, которые могут быть оп-

22

перпозиции, примитивной рекурсии и наименьшего корня, называ­

ция вычислима путем определенной процедуры механического ха­ рактера.

2. Какие бы классы точно очерченных алгоритмов до сих пор фактически ни строились, во всех случаях неизменно оказывалось, что числовые функции, вычислимые посредством алгоритмов этих классов, были частично рекурсивными. Поэтому общепринятой яв­ ляется следующая естественнонаучная гипотеза, известная под име­ нем тезиса Черча.

Класс алгоритмически (или машинно) вычислимых частичных, числовых функций совпадает с классом всех частично рекурсивных, функций. Этот тезис дает алгоритмическое толкование понятиючастично рекурсивных функций.

Практически понятием частично рекурсивных функций поль­ зуются для доказательства алгоритмической разрешимости или не­ разрешимости проблем.

Использование же частично рекурсивных функций для пред­ ставления того или иного конкретного алгоритма практически неце­ лесообразно ввиду сложности такого процесса алгоритмизации.

23

2) «считывающей головки» — специального чувствительного элемента, способного обозревать содержимое ячеек. Вдоль головки информационная лента перемещается в обе стороны так, чтобы в каждый рассматриваемый момент времени головка находилась

водной определенной ячейке ленты;

3)управляющего устройства, которое в каждый рассматривае­ мый момент находится в некотором «состоянии». Предполагается, что устройство управления машины может находиться в некотором конечном числе состояний. Состояние устройства управления часто называют внутренним состоянием" машины. Одно из этих состояний называется заключительным и в работе машины играет особую роль, так как оно управляет окончанием работы машины.

Таким образом, в каждой ячейке информационной ленты можно поместить либо 0, либо 1. Алгоритм представляется в виде конечно­ го упорядоченного набора правил, называемых приказами. Работа алгоритма начинается с некоторой начальной ячейки, соответству­ ющей первому приказу алгоритма. Составляющие алгоритм при­ казы могут принадлежать к одному из 6 приказов, выполняемых устройством управления машины Поста:

1. Записать в рассматриваемую ячейку 1 и перейти к i-му при­ казу.

2.Записать в рассматриваемую ячейку 0 и перейти к i-му при­

казу.

3.Сдвинуть ленту вправо на одну ячейку и приступить к выпол­ нению i-ro приказа.

4.Сдвинуть ленту влево на одну ячейку и перейти к выполне­ нию i-ro приказа.

5.Если в рассматриваемой ячейке записана 1, то перейти к вы­ полнению /-го приказа, а если записан 0, то перейти к выполнению i-ro приказа.

*6. Окончание работы алгоритма, остановка.

Таким образом, алгоритмическая система Поста представляет собой машину с информационной лентой, содержащей в каждой ячейке либо 0, либо 1; с лентой, перемещающейся влево и вправо вдоль головки; с устройством управления, выполняющим 6 прика­ зов (с внутренними состояниями).

Алгоритмы, составленные из любого конечного числа правил, представленных приказами машины Поста, называются алгоритма­ ми Поста. Доказано, что алгоритмы Поста сводятся к алгоритмам, реализуемым с помощью частично рекурсивных функций, и наобо­ рот, любая частично рекурсивная функция может быть представ­ лена алгоритмом системы Поста.

25

В отличие от машины Поста в каждой ячейке ленты машины Тьюринга может находиться один из символов некоторого конеч­ ного алфавита, а устройство управления может быть в одном из ко­ нечных состояний. Другими словами, машина Тьюринга, работая в произвольном конечном алфавите, может выполнять некоторое ко­ нечное число приказов. При этом машины Тьюринга, как и машины

юписывающего конкретное состояние машины. Пусть в некоторый

<qi из внутреннего алфавита. Этот символ может быть в слове самым

•26

Обычно команды стандартной машины Тьюринга задаются на­ бором пятерок символов вида даьдатЛ, т. е. стрелка опускается, или вида

Рассмотрим пример машины Тьюринга с алфавитами А = {0, 1},

слева единицей. В результате работы машины Тьюринга это слово

внешний и внутренний алфавиты, программа, начальная конфигу­ рация и указано, какие из символов обозначают пустую ячейку и заключительное состояние.

Пусть машина Тьюринга задана внешним алфавитом А = {s°, а, Ъ, с, d}, внутренним алфавитом Q = {яо, Яи Яг, Яз, Я'*, Яъ} и совокуп­ ностью команд qoaqtaJl, q0bq0bJl, q2aqjit\, q0cq<,cA, qidqzcU, qsaq^dYl, q^bq^cU.. Пустую ячейку обозначает символ s°, а заключительное сос­ тояние — q$.

Рассмотрим применение данной машины Тьюринга для перера­

27

Программа рассмотренной машины Тьюринга может быть пред­ ставлена в виде таблицы соответствия:

ч А

Алгоритмы пишутся столбцами. Для контроля против некото­ рых команд указывается слово, в которое переходит первоначаль­ но заданное слово после выполнения всех предыдущих команд, включая и стоящую слева команду.

Рассмотрим в качестве примера алгоритм переноса нуля для машины Тьюринга, программа которой задана следующей таблицей соответствия:

Начальная конфигурация машины имеет вид <7i0010, конечная конфигурация машины должна иметь вид <700100. Таким образом, qo — заключительное состояние машины Тьюринга. Алгоритм будет иметь следующий вид:

28

цессы, которые когда-либо описывались математиками. Было дока­ зано, что класс функций, вычислимых на этих машинах, точно сов­ падает с классом всех частично рекурсивных функций.

Вопрос о возможности или невозможности разрешающего алго­ ритма для задачи того или иного типа следует понимать как вопрос

то машина запрещает х. Такое устройство будем называть маши­

29