книги из ГПНТБ / Алферова З.В. Теория алгоритмов учеб. пособие

6. Дана КС-грамматика G — (Ут , Vn, Р, S) с правилами

Определить сложность вывода терминальных цепочек, длине кото­ рых не превышает 10.

2.10.Абстрактные автоматы и их связь с языками

играмматиками

2.10.1.Основные понятия теории автоматов

Рассмотрим другой метод определения языка, основанный на использовании множества строк приемлемых некоторым распозна­ ющим устройствам, автоматам.

Все автоматы, которыми мы будем пользоваться, суть частные случаи машины Тьюринга с входной лентой, которая может быть

Каждая лента ограничена слева, и крайняя левая ячейка всегда занята символом, не входящим в соответствующий алфавит.

Машина имеет конечное число внутренних состояний, среди ко­ торых выделены начальное и заключительное.

Элементарный акт машины представляет собой либо чтение символа на входной ленте с одновременным сдвигом входной голов­ ки на одну ячейку вправо и переходом машины в другое сос­ тояние, либо одно из следующих действий на рабочей ленте:

а) замена обозреваемого символа другим с одновременным сдвигом головки вправо и переходом машины в другое состояние;

б) то же, но со сдвигом влево; в) то же, но без< сдвига.

Когда машина находится в заключительном состоянии, ника­ кой элементарный акт невозможен.

Будем говорить, что машина находится в начальной ситуации (конфигурации), если на ее входной ленте непосредственно за ог­ раничивающим символом записана цепочка, не содержащая пусто­ го символа, рабочая лента пуста (кроме ограничивающей ячейки), обе головки обозревают ограничивающие символы и машина на­ ходится в начальном состоянии.

Машина находится в заключительной ситуации, если на вход­

ситуации с цепочкой со на входной ленте через конечное число ша­ гов, она может оказаться в заключительной ситуации.

Языком, допускаемым машиной М, называется множество до­ пускаемых его цепочек.

Автомат в общей форме представлен на рис. 22.

150

•с некоторой структурой. Автомат делает элементарные шаги, за­ висящие от состояния конечного управления, символа, считываемо­ го входной головкой, и конечного объема информации из беско­ нечной памяти. За один шаг он может сделать следующее:

Хп

конечное

упродление

Уо\У,\ Уг

Рис. 22

1)изменить состояние конечного управления;

2)передвинуть входную головку на одну клетку в любом на­ правлении или оставить ее на месте;

3)изменить бесконечную память.

Автомат может иметь не более одного допустимого элементар­ ного шага в каждой ситуации, тогда он является детерминирован­ ным. Он может иметь в некоторых ситуациях произвольное конеч­ ное множество допустимых шагов, тогда он является недетермини­ рованным. Если нет ограничений на движение входной головки, то автомат называется двусторонним. Если головке позволяется пе­ редвигаться только в одном направлении, то автомат будет одно­ сторонним.

В начале конечное управление автомата находится в некотором начальном состоянии при некотором начальном содержании бес­ конечной памяти и с входной_головкой у метки левого конца.

Условимся знаками С и 5 обозначать левую и правую метки концов соответственно и будем предполагать, что они не содержат­ ся ни в каком алфавите, если это не оговорено специально.

Множество автоматов с «одинаковой» структурой бесконечной памяти образует семейство автоматов. Семейство имеет четыре класса автоматов: односторонних детерминированных, односторон­ них недетерминированных, двусторонних детерминированных и

двусторонних недетерминированных. Сокращения эти классы обо­ значаются соответственно ID, IN, 2D, 2N.

По способу функционирования различают два вида автоматов: синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах переходы из одних состояний в другие осуществляются через равные времен­ ные промежутки, в то время как в асинхронных автоматах эти пере­ ходы совершаются через неравные между собой промежутки вре­ мени.

Остановимся более подробно на законах функционирования ав­

ходной сигнал y(t) может появиться либо раньше, либо позже это­

нутой—от состояния s(t), в которое автомат переходит в текущий момент времени, и входного сигнала x(t).

Учитывая работу реальных автоматов, различают два рода аб­ страктных автоматов. Автоматами первого рода называют автома­ ты, описываемые следующими уравнениями:

S ( 0 = ? ( s ( * - 1 ) , x(t));

которые определяют закон функционирования этих автоматов, а автоматами второго рода называют автоматы, закон функциониро­ вания которых задается уравнениями.

152

Существует несколько эквивалентных способов задания аб­ страктных автоматов, среди которых по аналогии с графами можноназвать три: аналитический, геометрический и матричный.

Покажем теперь, каким образом определить отображение, ин­ дуцируемое заданным конечным автоматом А. Как известно, авто­

мата А, установленного в начальное состояние, конечной последова­

рования автомата А, и наоборот.

Опишем классы автоматов, которые связаны с типами грамма­ тик в иерархии Хомского. -

Машина Тьюринга с двумя лентами, изображенная на рис. 23,. представляет собой устройство, бесконечной памятью которого является линейная лента клеток со считывающей и записывающей

15а

ленточной головкой. За один шаг, зависящий от ее состояния и символов, считываемых входной и ленточной головками, машина Тьюринга может:

1)изменить состояние;

2)изменить символ считываемой ленточной головкой;

3)передвинуть входную и ленточные головки на одну клетку • независимо в любом направлении.

конечное

управление

бесконечной

память

Рис. 23

Формально двусторонняя недетерминированная машина Тью­ ринга (или просто машина Тьюринга) обозначается так:

лов, ленточных символов и заключительных состояний соответствен­

осуществляет отображение вида С X X X Y—>S X Y X di X d2. Это означает, что машина Тьюринга М находится в состоянии s, считы­ вает х на входе и у на ленте, то она имеет право перейти в состоя­ ние «г напечатать непустой символ yi вместо у и передвинуть свои

стая часть ленты машины М. Входная и ленточная головки считы­

S} и у из Y множество b(s, х, у) содержит не более одного элемен-

154

2.10.2.Линейноограниченные автоматы

1.Машина Тьюринга с входной лентой называется линейноограниченной, если существует такое число с, что в процессе «до-

пускания» цепочки со машина не может использовать более чем с - | со) рабочих ячеек.

Таким образом, объем памяти такого автомата не является не­ ограниченным, как в машинах Тьюринга, а определяется длиной последовательности входных символов. Линейная зависимость меж­ ду объемом памяти и длиной входной последовательности опреде­ лила название этого класса автоматов — линейноограниченные ав­ томаты.

Линейноограниченный автомат представляет собой двусторон­ ний автомат, управляющее устройство которого имеет конечное число состояний. Входная лента его может перемещаться в обе стороны, причем головка управляющего устройства может не толь­ ко считывать входные символы с ленты, но и записывать на ней новые символы.

дующим образом. В начальный момент на входной ленте записана последовательность входных символов, так что левее крайнего ле­ вого символа последовательности и правее крайнего правого симво­ ла лента пуста, т. е. клетки заполнены символом Л . Автомат на­ ходится в состоянии s0 и считывает крайний левый символ входной последовательности, записанный на ленте.

Условие допустимости или приемлемости входной последова­ тельности для детерминированного линейноограниченного автома-

155

та те же, что и для двустороннего. Последовательность считается приемлемой, если считывающая головка сходит с правого конца за­ полненной части ленты и при этом управляющее устройство нахо­ дится в одном из состояний множества F.

Таким образом, в линейноограниченных автоматах входная лен­ та используется также и в качестве ленты памяти.

Для детерминированных линейноограниченных автоматов дока­ зана следующая теорема.

Теорема 34 (Ландвебера). Множество цепочек, представимых линейноограниченным автоматом, есть язык типа 1, т. е. контекст­ но связанный.

Эта теорема, однако, не утверждает, что для любого языка ти­ па 1 существует детерминированный линейноограниченный автомат, который представляет этот язык. Вопрос о том, существует ли язык типа 1, не представимый детерминированным линейноограниченным автоматом, остается пока открытым. Доказана лишь подобная теорема для бесконтекстных языков.

Теорема 35 (Курода). Любой язык типа 2 представим в детер­ минированном линейноограниченном автомате.

Недетерминированным линейноограниченным автоматом с од­ ной лентой называется линейноограниченный автомат с одной лен­ ной, функция отображения которого неоднозначна, а начальным •состоянием может быть любое из состояний множества S0. Для недетерминированного линейноограниченного автомата входная последовательность считается приемлемой, если существует такой вариант работы автомата, что автомат сходит с правого конца за­ полненной ленты в одном из состояний s, множества F.

Область представимости недетерминированных линейноограни­ ченных автоматов определяется следующей теоремой.

Теорема 36 (Курода). Множество входных последовательностей является языком типа 1 тогда и только тогда, когда оно является множеством приемлемых последовательностей какого-либо недетеряинированного линейноограниченного автомата, т. е. когда это множество представимо таким автоматом.

Из этой теоремы и из того факта, что детерминированный ли­ нейноограниченный автомат заведомо не может делать больше, чем недетерминированный автомат такого же типа, следует, что класс -линейноограниченных автоматов обоих этих типов заведомо уже, чем класс машин Тьюринга, в том смысле, что область представи­ мости этих автоматов является точным включением области пред­ ставимости машин Тьюринга. В то же время класс линейноогра­ ниченных автоматов заведомо шире, чем класс конечных автома­ тов, которые, как мы увидим далее, представляют только языки типа 3. Следовательно, линейноограниченные автоматы являются промежуточными между конечными автоматами и машинами Тью­ ринга и притом адекватными определенному классу языков ти­ па 1 —контекстным языкам.

Теорема (37). Классы 2N и IN линейноограниченных автоматов

156

эквивалентны, и каждый распознает язык L тогда и только тогда,, когда L — {/} является контекстным.

Теорема (38). Классы 2D и ID линейноограниченных автоматовэквивалентны.

2.10.3. Автоматы с магазинной памятью

У автоматов с магазинной памятью, кроме бесконечной вправо входной ленты, есть специальная вспомогательная лента, также бесконечная вправо. При движении вспомогательной ленты влево на ней записываются вспомогательные символы, а при движении этой ленты вправо эти символы считываются и стираются. Первым всегда считывается последний записанный символ. В таком авто­ мате невозможно считать символ с ленты памяти, не стерев его.

157

и содержимое ее не меняется. Если же v = а — стирающий символ,

Входная последовательность считается приемлемой, если после того, как головка 1 считывает последний символ входной последо­ вательности, управляющее устройство переходит в одно из состоя­ ний выделенного подмножества F состояний *.

Для теории автоматов с магазинной памятью основной являет­

минированных автоматов с магазинной памятью совпадает с клас­

Однако обратное неверно, так как существуют языки типа 2 без неоднозначности, не являющиеся детерминированными.

2.10.4. Конечные автоматы

Наиболее простой моделью является автомат с конечным чис­ лом состояний (с конечной памятью) —конечный автомат.

Детерминированным конечным автоматом называется упорядо­ ченная система из пяти символов — «упорядоченная пятерка».

* Определение приемлемости в различных работах трактуется по-разному.

.158

клетки. Вначале на ленте записана входная цепочка так, что в каж­ дой клетке ленты содержится по одному символу цепочки. На­ чальный символ записан в крайней левой клетке, а все клетки той части ленты, которая расположена правее последнего символа за­ писи входной цепочки, пусты, т. е. в каждой из этих клеток записан «пустой» символ Л . Головка в начальный момент расположена

против крайней левой клетки

входной последовательности, то это будет означать прекращение ра­ боты автомата, т. е. состояние управляющего устройства больше не изменяется.

Допустимой, или приемлемой, называется входная последова­ тельность, обладающая следующим свойством: когда головка вос­

жество, являясь множеством цепочек символов из конечного алфа­

возникает способ сопоставления автоматов, языков и грамматик.

Для конечных автоматов множество L(A) выделяется известной теоремой Клини.

Теорема 41 (Клини). Для любого конечного автомата А множе­ ство L(A) допустимых последовательностей является регулярным, т. е. языком типа 3. Эта теорема объясняет, почему языки типа 3 называются языками с конечным числом состояний.

Детерминированным конечным автоматом с двумя лентами на­

ющая отображение 5 X X в У, т. е. X : S X X—»-У.

Интерпретация этого автомата представлена на рис. 26. Кроме входной ленты автомат имеет бесконечную вправо выход­

ную ленту, которая может перемещаться только в одну сторону — справа налево. Каждый очередной такт в клетке ленты печатается

159