книги из ГПНТБ / Абузяров З.К. Морские гидрологические информации и прогнозы учеб. для гидрометеорол. техникумов

шагами по времени и расстоянию, пользуясь при этом получен­ ными величинами скорости и направления течении, можно дать достаточно достоверный прогноз на продолжительное время.

Решение задачи при помощи ЭВМ состоит из двух этапов:

1)нахождение математического алгоритма, приводящего к ре­ шению задачи;

2)составление программы для ЭВМ по найденному алгоритму. Алгоритм представляет собой набор формул, условии, цифр.

Формулы уточняются, учитываются все детали, частные случаи и неопределенные ситуации. В результате получается описание вычислительного процесса — алгоритм, который должен полно и од­ нозначно описывать языком математики путь решения задачи.

На втором этапе решения задачи составляется схема счета (или блок-схема), которая детализируется до схемы программ, учитывающей особенности конкретной ЭВМ . Затем по блок-схеме расписывается программа счета для ЭВМ . Программа точно и однозначно определяет ход исполняемой работы на языке ма­ шины, т. е. в кодах.

На практике численный прогноз составляется следующим об­ разом. Интересующий район моря пли океана разбивается на большое количество квадратов, представляющих сетку. Исходные данные, т. е. результаты гидрологических наблюдений, вводятся в ЭВМ . По этим данным путем интерполяции определяют значе­ ния введенных величин в точках пересечения линий сетки, после чего ЭВМ производит вычисления по программе, решая прогно­ стические уравнения по шагам для всех точек района, для кото­ рого составляется прогноз. Суть этих вычислении состоит в том, что начальное распределение прогнозируемой величины перено­ сится в соответствии с законами, описываемыми уравнениями, на заданный интервал или шаг времени вперед.

Таким образом, начиная с момента наблюдения (нулевой мо­ мент времени), ЭВМ воссоздает шаг за шагом поля распреде­ ления прогнозируемого элемента на 12, 24 часа вперед и т. д. (шаг по времени может составлять 0,5 или 1 час). Конечный ре­ зультат представляет собой прогностическую карту, которая пе­ чатается электронным печатающим устройством в виде, удобном для составления прогноза. Причем результаты получаются для тех точек, в которых были заданы начальные условия.

§ 4. М ЕТО Д Ы ГР А Ф И Ч Е СК О ГО И А Н А Л И Т И Ч Е С К О ГО В Ы РА Ж ЕН И Я З А В И С И М О С Т Е Й . Л И Н Е Й Н А Я К О Р Р Е Л Я Ц И Я М Е Ж Д У Д В У М Я И ТРЕМ Я

П ЕРЕ М ЕН Н Ы М И

После того как проведен первичный анализ материалов на­ блюдений, т. е. на основе качественного анализа особенностей изу­ чаемых явлений и знания их общих закономерностей установлены главные факторы, определяющие изменение прогнозируемого яв­ ления (при этом второстепенные факторы не учитываются), с по­ мощью теории корреляции, которая изучает связь между исследуе­

90

мыми величинами, определяется форма связи и находится ее аналитическое выражение. Для этого составляются ряды наблю­ дении прогнозируемой величины и факторов, от которых она за­ висит. Причем прогнозируемая величина представляет собой за­ висимую переменную и называется функцией, в то время как фак­ торы, от которых зависит прогнозируемая величина, представляют собой независимые переменные и называются аргументами. При­ меры корреляционных зависимостей показаны на рис. 19.

Важное значение при построении прогностических зависимо­ стей имеет длина ряда. В математической статистике установлено, что при нахождении связи между двумя переменными длина ряда должна включать не менее 100 наблюдений. При этом, если число переменных увеличивается, то и длина ряда должна увеличи­ ваться. Однако на практике ряды наблюдений необходимой длины часто отсутствуют. Естественно, что зависимости, построенные по коротким рядам наблюдений, будут менее надежными. Особенно это относится к долгосрочным прогнозам. Поэтому в прогности­ ческой практике по мере накопления данных наблюдений прогно­ стические зависимости уточняются.

Наиболее простым видом связи между величинами является функциональная зависимость, когда каждому значению одной ве­ личины х соответствует вполне определенное значение другой ве­ личины у. Однако при исследовании связей между физическими явлениями в море на основе натурных наблюдений приходится иметь дело не с функциональными зависимостями, а с корреляцион­ ными. Здесь каждому значению одной величины соответствует множество возможных значений другой величины. Рассеяние этих возможных значений носит случайный характер и объясняется, с одной стороны, неточностью наблюдений, а с другой — влиянием большого числа второстепенных факторов, не учтенных при по­

и строится корреляционный график, на котором по оси ординат откладываются значения у, а по оси абсцисс значения х. На гра­ фике по значениям х и у наносится поле точек, характер распре­ деления которых наглядно показывает не только вид зависимости, но и тесноту (меру) их связи. По тому, как рассеяны точки на графике, во многих случаях можно заранее оценить пригодность зависимости для прогностических целей, не прибегая к сложным вычислениям.

по этим значениям нанести точки, отвечающие средним коорди­ натам. Затем по этим точкам плавно проводится линия связи. Точность полученной прогностической линии связи может быть оценена путем сопоставления рассчитанных по этой связи значе­ ний величин у с данными фактических наблюдений. Для этого строят еще один график, на котором по оси ординат откладывают

91

данные фактических наблюдений, а по оси абсцисс — данные, по­ лученные по прогностической связи. Если линия связи будет представлять собой прямую, проходящую через начало координат, а угол наклона ее будет составлять примерно 45° с осью абсцисс, то прогностический (основной) график построен правильно; в про­ тивном случае его необходимо уточнить. Обычно проверка прогно­ стических зависимостей производится не на том ряде, па основе которого построено прогностическое уравнение, а на независимом ряде. Поэтому при построении прогностических зависимостей ис­ пользуют, как правило, не весь имеющийся ряд наблюдений а только часть его, с тем чтобы полученное уравнение связи можно было проверить на наблюдениях, не вошедших в ряд наблюдений, использованных для построения прогностической зависимости.

Если точки группируются около прямой линии (линейная за­ висимость), то связь хорошая. Если полученная связь недоста­ точно тесна, то постепенно подключают второстепенные факторы и строят новые графики связи. После того, как полученная зави­ симость удовлетворяет требованию, находят количественное или аналитическое выражение этой связи, т. е. определяют количест­ венную характеристику тесноты связи — коэффициент корреляции, и прогностическое уравнение. Поскольку характер разброса то­ чек бывает самый разнообразный и по внешнему виду трудно оце­ нить тесноту связи и пригодность уравнения для прогностических целей, в прогностической практике разработаны специальные кри­ терии для оценки качества прогностических связей (о них будет сказано ниже).

Как уже отмечалось, если связь между величинами очень тес­ ная, т. е. точки группируются около линии, то такой график мо­ жет быть использован непосредственно для прогноза. Для этого достаточно по заданному значению аргумента х на этом графике определить значение прогнозируемой величины (функции) у.

Так как уравнение, построенное методом численной корреля­ ции, будет точнее уравнения, построенного путем проведения на глаз линии регрессии на корреляционном графике, то для оконча­ тельного выявления связи рекомендуется производить все вы­ числения, необходимые для построения уравнения регрессии.

При анализе материалов наблюдений во всех случаях реко­ мендуется строить связи между величинами. Это в первую очередь

Для независимых величин х и у коэффициент корреляции ра­ вен нулю. Равенство коэффициента корреляции нулю означает

92

отсутствие линейной зависимости (но не исключает зависимости нелинейной).

Чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к единице, тем теснее линейная зависимость между величинами. Равенство коэффициента корреляции единице означает наличие линейной функциональной зависимости между величинами х и у.

При положительном значении коэффициента корреляции связь прямая, т. е. с увеличением значения аргумента увеличивается

дни

и функция (рис. 19а). При отрицательном значении г связь обрат­ ная, т. е. с увеличением значения аргумента значение функции убывает (рис. 19 6).

Коэффициент корреляции не изменяется при изменении начала отсчета и масштаба измерения величин х и у. Это позволяет су­ щественно упростить вычисления с помощью выбора удобного начала отсчета (хо, уо) и подходящих единиц масштаба.

Коэффициент корреляции и уравнение регрессии приближенно можно найти по корреляционному графику и более точно — путем вычислений по методу наименьших квадратов.

93

В первом случае коэффициент корреляции выражается через угловые коэффициенты прямых регрессии.

На рис. 20 изображены две линии регрессии, уравнения кото­ рых имеют вид:

у = а{х + Ь1,

Направления этих прямых определяются коэффициентами рег­ рессии:

ции г служит мерой тесноты связи:

Так как £Zi=tga и ß2= tgß, то

Для построения прогностического уравнения достаточно опре­ делить угол наклона линии регрессии к оси абсцисс и по табли­ цам найти тангенс этого угла, который и будет являться коэф­ фициентом при независимом переменном (аргументе). Тангенс угла наклона может быть также определен из отношения вели­ чины, на которую изменяется ордината, к величине соответствен­ ного изменения абсциссы. Свободный член уравнения регрессии определяется по величине отрезка, отсекаемого на оси ординат линией регрессии. Его величина будет определяться значением функции, которое она примет при нулевом значении аргумента.

94

Определение уравнения регрессии для линейных зависимостей производится по методу наименьших квадратов. При определе­ нии параметров уравнения по методу наименьших квадратов ли­

ния регрессии всегда проходит через точку (х, у), координаты ко­ торой являются средними значениями координат данных точек:

Мерой точности уравнения регрессии служит среднее квадра­ тичное отклонение эмпирических точек от линии регрессии, или стандартное отклонение. Среднее квадратичное отклонение вычис­ ляется по тем же данным, на основании которых установлена сама корреляционная зависимость:

вой) регрессии.

Пример расчета корреляции между двумя переменными по методу наименьших квадратов приведен в табл. 12.

До сих пор речь шла о парной корреляции, т. е. корреляции между двумя зависимыми переменными. Однако понятие линей­ ной корреляции может быть перенесено на случай большего числа переменных.

Когда в корреляции участвует больше двух переменных, ее называют множественной корреляцией. Следует отметить, что вручную можно вычислить корреляцию между двумя или тремя переменными. При большем числе переменных расчеты могут быть проведены только с помощью ЭВМ . При современном развитии вычислительной техники это не является проблемой. Для различ­ ных систем ЭВМ подготовлены стандартные программы парной и множественной корреляции, использование которых не представ­ ляет большого труда.

95

СП Таблица 12

Корреляция между двумя переменными: .с — средняя высота волны

98

см со“

о*

Мерой зависимости между величинами при множественной кор­

R.

корреляции между тремя переменными и необходимые формулы приведены в табл. 13.

Корреляционную зависимость между тремя величинами также можно изобразить графически. При этом зависимость представ­ ляется семейством кривых или прямых линий (см. рис. 19г).

значение второй независимой переменной.

Если имеется корреляционная зависимость, то обнаруживается закономерное распределение значений второй независимой пере­ менной. При этом нетрудно провести изолинии, которые разделят все поле точек на несколько групп.

Построение аналитического выражения для трех переменных в случае криволинейных изолиний на корреляционном графике представляет большие трудности.

В случае нелинейной корреляции (см. рис. 19 ѳ) в качестве меры

0 < | г | < р , < 1 , 0 < И < р , < 1 .

Для линейных зависимостей корреляционное отношение чис­ ленно совпадает с коэффициентом корреляции г. Вероятная ошибка коэффициента корреляции для криволинейных зависимостей вы­ числяется по формуле

100