книги из ГПНТБ / Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории

dIdE

= dIudEe-*E)*Bi[%{E)xl

(2.76)

где

В] \£{Е) х]— фактор

накопления по интенсивности для

падающих частиц

энергии

Е. Интегрирование (2.76) по энергии

•частиц с помощью обобщенной

теоремы о среднем

дает

/ = 5 7 Щ ( а д ]dhdEe-*E>\

(2.77)

ô

С помощью (2.42)

окончательно получим

Л"

-fS/(-v)rf.v

І=/0е

о.

в,{х),

(2.78)

где

Ві\х) = Bf[2(Е)х\

— фактор

накопления по интенсивности

для

широкого параллельного пучка полиэнергетических частиц.

сивности широкого параллельного

полиэнергетического пучка

частиц с глубиной х в плоском

однородном экране

вследствие

поглощения

и рассеяния,

изменяющего энергию частиц.

Наконец,

согласно § 9 и (2.55)

можно написать

dPdE

= dPa dE<i-Wx

ВЛі[Уі(Е)х],

(2.79)

где Вд[Y,(Е)х]

— фактор

накопления по дозе

для

падающих

частиц энергии

Е.

Интегрирование (2.79)

по

энергии

частиц

с помощью

обобщенной теоремы

о среднем значении

дает

оо

Р = Вд[%{Е)х]

j ' dPo äEе~Ш)

х

.

(2.80)

о

С помощью

выражения (2.59)

окончательно

получим

X

-

I Тд{.х)ах

Р=Р0е

0

Вд(х),

(2.81)

Ди = Д0е 0

Я д (А).

(2.82)

Выражение

(2.82) представляет собой закон ослабления

дозы широкого

параллельного

полиэнергетического

пучка

dS = S(E)dE

(2.83)

dQ = EdS = ES(E) dE

(2.84)

ника, т. е.

суммарную

энергию

полиэнергетических

частиц

.с

энергией

от

Е

до E-\-dE,

испускаемых

этим источником

за

1 сек. На

основании

(1.76),

(1.80), (2.83)

и (2.84)

можно

лаписать

dS

dJdE

(2.85)

^e-WBj[2(E)r\

у,

dldE

(2.86)

•/ = Х^г j е~ЧЕ)гBj[^{E)

г] S(E) dE,

(2.87)

а аналогичное

интегрирование

(2.86) дает

I = T^r\e-^rBl[Z(E)r\ES(E)dE.

(2.88.

о

Применение

обобщенной

теоремы о среднем к (2.87) и (2.88V

дает

J=T^rBr[yi(E)r]

\e-*E>'S{E)db

(2.89)

и

ö

со

/ =

В,[Х(Е)

г]

J' e-"^rES(E)dE.

(2.90)

6

Случай элементарной теории ослабления, очевидно, имсет

место, когда

Bj=

Ві=\.

Попробуем

преобразовать

интегралы

з

(2.89) и (2.90). Это

можно выполнить

следующим

образом.

Рассмотрим точечный

изотропный

источник полиэнергетических

частиц в однородной

удовлетворяет

дифференциальному

уравнению

äJ =

^rJdr

— ^Jdr.

(2.91)

На основании

(2.83)

можно

написать

dS=S(E)dE=Sfo(E)dE.

(2.92)

где 5 — число

полиэнергетических

частиц, испускаемых

источ­

ником за 1 сек равномерно по

всем

направлениям. Очевидно,

на основании

(2.85)

при

Bj—\

dJdE=E(r,

E)dE = ~

F

r

e ^ r

(2.93)

представляет

собой

число

частиц

с энергией от Е до

E-\-dE,

падающих на

площадку

в 1

см2

за

1 сек

на расстоянии г

от рассматриваемого источника. Если применить (2.91)

к dJdE,

то получим

d\dJdE\

=

у- dJdE dr — 2(E) dJdE

dr,

(2.94)

расширения расходящегося

пучка,

рассеяния и поглощения

в элементарном слое объемом dV=\

см-dr, а

оо

f E(£)F(/-, E)dE

у ( г ) = І

_

( 2.9б)

ческих частиц.

Интегрирование

(2.95) дает

J

- ^ e - i - » « ,

(2.97)

"условия (1.130).

lim 4 т. r- J = 5 ,

(2.98)

r-*0

откуда

С =

- А _ - ,

(2.99)

так что с помощью теоремы

о среднем

получим

г

- ( " S ( 0 dr

^ Т І Т Г е 5 .

= 4 І т г

^ .

(2.100)

J -

^

e - р 5

ВЛг),

(2.101)

4 к

г1

где Bj(r) = Bj[yj(E)

г].

Выражение (2.101)

представляет собой

фактор

накопления

Bj(r) может быть вычислен,

если известен

фактор

накопления

Bj[^É(E)r],

а также

функциональные зави­

симости

S(E) и

2(£").

Легко

также

проверить,

что для

точечного

изотропного

источника

моноэнергетических частиц, расположенного в одно­

dl=

^Idr

— ^Idr.

(2.102)

На основании (2.84) и (2.92) можно написать, что

dQ = ES{E) dE =

SEf0{E) dE.

(2.103)

Если проинтегрировать (2.103) по энергии и применить

обобщенную теорему

о среднем, то с помощью (2.3)

получим

Q — SË,

(2.104)

где

оо

£ = j Ef0(E)dE—

(2.105)

о

dIdB = F(r, Е) EdE =

е-чѵr = dJdE

E

(2.106)

представляет

собой элемент

интенсивности

на

расстоянии

г

от рассматриваемого источника. Если применить

(2.102) к

dIdE,

то получим

dT[d/dE]

.= —Цг dIdEdr

— У,(E) dIdEdr,

(2.107)

Интегрируя (2.107)

по энергии и применяя

обобщенную тео­

рему о среднем, будем иметь

d/ =

\-Idr — %{f)ldr,

(2.108)

оо

J

Е(£) F(r, Е) EdE

2>i(r)=-

j

(2.109)

полное среднее макроскопическое сечение по

интенсивности

l / ( r ) = 2 ( r ) - - ^ Ä > - ,

(2.110)

по

энергии

дает

Р^^рг

\ е~Ш)гВд[У1(Е)г]К{Е)

ES{E)dE.

(2.118)

b

Если

применить к (2.118) обобщенную теорему

о среднем,

то

получим

Р =

-

і

- ЩУЩУ]

f е-Ж)' К(Е)

ES(E) dE.

(2.119)

4

Г"

О

dP =

Lpdr

— ^Pdr.

(2.120)

На основании

(2.117)

при Вд=\

величина

dPdE=K(E)

E{r, E)EdE=-^^-e-^^)r

(2.121)

представляет собой

элемент

мощности

дозы на

расстоянии г

от

рассматриваемого

источника. Если применить (2.120) к dPdE,

іо

получим

dr[dPdE]

=

2FdPdEdr-2(E)

dPdEdr,

(2.122)

dP =

2—Pdr

— ^a{r)Pdr,

(2.123)

где

dP—убыль

мощности

дозы

ядерного

излучения

вследст­

вие

расширения

расходящегося

пучка,

а также

рассеяния

и поглощения,

в элементарном

слое объемом dV=\

CM2dr,

оо

J S(£) F(r, E) К (£) EdE

2 д ( г ) = -

j r

(2.124)

Ъд(г)

=

2,(г)--щ-)-аГ-,

(1125)

где

со

f К(Е) F(r, Е) EdE

К(г)=Ъ—

.

(2.126)

f F(r,

Е) EdE

о

Интегрирование

(2.123)

дает, что

г

Р =

іге

0

,

(2.127)

где постоянная

С определяется из граничного условия

lim 4 и г2 P=KQ,

(2.128)

откуда

С

(2.129)

При этом,

очевидно,

со

J/<(£)

ES(E)dE

К=-

п

•

(2ЛЗ°)

~Q

С помощью

(2.129)

получим

из (2.127), что

Я =

# Я - *

°

= J % e - ^ \

(2.131)

4 тс г- •

4 я г3

4

'

Выполненные

преобразования

аналогичны преобразованиям,

выполненным

в § 16.

Поэтому

(2.119) может быть

написано

так

т.—

Дк = Д0е '°

Вд(Іі),

(2.133)

2dJ0s

=

2J0sf0(E)

dE

(2.135)

и

2dl0s

=

2J0sEf0(E)

dE,

(2.136)

причем

имеет

место (2.3). В (2.135)

и

(2.136)

2dJ0s

— число

частиц с энергией от Е до E-\-dE,

испускаемых

с 1 см2 источ­

ника

за

1 сек

равномерно

по всем

направлениям

в

телесном

угле

4 те; 2dl0s

— элемент

удельной

поверхностной мощности

источника.

Очевидно,

I 0

s = J0sE,

где

Е — средняя

энергия

частиц,

испускаемых

источником. На

основании

изложенного

в § 11, а также (2.85),

(2.86) и (2.117)

можно написать

dJasdE =

е~ЦЕ)х

s e c

9

в ' [ 2 (Е)х

sec Ѳ] sin Ѳ d Q d cp,

(2.137)

dldsdE =

-^f-

e~4E)x

s e c ѳ

5 / [ 2 ( f )

X sec Ѳ] sin Ѳ d Ѳ d q>,

(2.138)

и

dPdsdt

= K(ff0s

е - а д X

S

K

& Вд[У1{Е)х

sec Q] ' " ^ 6 ^ .

(2.139)

В

(2.137), (2.138)

и

(2.139) dJdSdE

представляет

собой число

ника мощностью 2dI0sdS,

падающих

за

1 сек

на

площадку

в 1 см2,

расположенную в точке M перпендикулярно оси ОХ;

dldsdE — соответствующая

интенсивность;

dPasdE — соответст­

вующая

мощность дозы.

Элемент

площади

dS,

ось

ОХ

и точка

M изображены

на рис 5.

'2t(E)xse.c®,

Если

ввести новую

переменную u —

проинте­

грировать по dec и du

(2.137), (2.138)

и (2.139),

а затем

при-

dJdE^dJ0syi{E)x

J

е - " Д , ( « ) 4 ^

=

ЦЕ)Х

= dJ0sE2[yi(E)x]bj['E(E)x},

(2.140)

dldE^dI0s^{E)x

j

е - » 5 / ( и ) ^ -

=

ЦЕ)х

= dI0sE2[2(£)x}b,mE)x]

(2.141)

и на основании изложенного в § 12

dPdE

= K{E)dI0s

j

-££-Вд(и)аи

=

= К(Е) dlo.E^E)

X] ЬДШЕ)А-

(2.142)

Выражения

(2.140), (2.141)

и (2.142)

соответственно

анало­

гичны (1.96), (1.95) и (1.106).

Если

проинтегрировать

(2.140),

(2.141) и (2.142) по энергии

частиц,

то

получим

/ = Л ^ £ Л 2 ^ ) * ] М 2 ( З Д / о ( £ ) < * £ .

(2.143)

о

1 = I0s°^ Е2[У,(Е)

х] Ьг[Ъ{Е)x]Ef0(E)dE

(2.144)

P = As$ £dH(E)x]

Ьд[Ъ(Е)х\

K(E)Efa(E)

dE.

(2.145)

0

Для дозы полиэнергетического ядерного излучения на вы­

ходе из плоского однородного

экрана толщины А будем иметь

Дн = j Р(h)dt

= J J0Sdt

] ЕШЕ)

à] X

0

0

0

XbÂ[2(E)k]K(E)Ef0(E)dE.

(2.146)

Полученные формулы (2.143),

(2.144)

и

(2.145)

позволяют

и Вд{и),

а также функции /0{Е),

К(Е)

и У,(Е).

§ 20. Моноэнергетические

и

полиэнергетические

системы частиц

[2,

4—6]

Кроме

моноэнергетических систем

частиц, которые состоят