книги из ГПНТБ / Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории

энергетических частиц,

рассеянных в 1 смл

на глубине л

за 1 сек, а второй член

справа — число полнэнергетических

частиц, поглощенных в

1 см3 на глубине л

за 1 сек. Инте­

закон

ослабления

узкого

параллельного

пучка

полиэнергети­

ческих частиц с глубиной л

вследствие

рассеяния

и

погло­

щения

X

J=J0e

°

.

(2.13)

Выражение (2.13) является обобщением (1.22) на случай

полиэнергетических

частиц.

Если

применить

к

интегралу

из (2.13) теорему о среднем,

то получим

_

J=J0e-^,

(2.14)

где 2 — усредненное

по глубине

полное

среднее

макроскопи­

ческое

сечение

для полиэнергетических

частиц. Если

полное

среднее макроскопическое

сечение

не зависит

от глубины х,

то согласно

(2.11)

и (2.6)

со

2 =

f £ ( £ ) / ( £ )

(2.15)

à

В силу

непрерывности

энергетического

спектра

падающих

частиц при х = 0 f(E)

= f0(E).

Поэтому полное среднее макро­

скопическое сечение

не зависит

от глубины л

только

тогда,

когда

внутри экрана сохраняется энергетический спектр падаю­

щих

частиц. В свою

очередь,

это возможно,

когда

полное

макроскопическое

сечение

не

зависит

от энергии

частиц,

а таких случаев никогда не бывает

на практике.

Отсюда

сле­

дует,

что закон

ослабления узкого

параллельного пучка

поли­

энергетических

частиц

с

глубиной

л

вследствие

рассеяния

и

поглощения

имеет

всегда

вид (2.13),

и

его

нельзя

писать

в

виде

J=Jue-SZx,

где 2

определяется

(2.15).

Во-вторых,

(2.8) можно

проинтегрировать по глубине

d i d

E

dx\dJdF\

f

dj0

d

E

0

откуда

с помощью (2.5)

dJdE

=

dJbdEe-*E>x

,= F(x, E)dE.

(2.17)

у = у ( л - )

= = у о

j ' e-*№f0(E)dE.

(2.18)

6

Если применить

к

(2.18)

обобщенную теорему

о среднем

л использовать ](2.3), го

y = y 0 < F r â .

(2.19)

Сравнивая (2.13)

и

(2.19),

получим

А

-

j Г(.г) dx

= е--^х.

(2.20)

dhä£

= dhUEE

'

(2.21

представляет

собой суммарную

энергию

частиц с энергией

от Е до E-\-dE,

которая

падает

за 1 сек

на 1 см? левой сто­

роны экрана,

а

начальная

интенсивность

где

/о = Л £ о ,

(2-22)

оо

~Ë~0 =о $Ef0(E)dE-

(2.23)

/ =

\ F(x,

Е) EdE=

Е(х)

J,

(2.24)

где

о

dIdE

=

dJdEE=F{x,

E)EdE

(2.25)

представляет собой

суммарную

энергию

частиц

с энергией

от

Е до

E + dE, которая

падает

слева

за

1 сек на

площадку

в

1 см'2

на глубине

А% а

со

[ F(x,

Е)

EdE

Ё(Х) =

-,

' (2.26)

со

£ = j

Ef(E)dE.

(2.27)

о

В

очень

тонком плоском однородном теле толщиной

dx

и объемом

dV=

1 см?dx

убыль

величины

dl^E,

определяе­

мой

(2.25),

вследствие

рассеяния

и поглощения

составляет

dx\dIdE],

где

значок х указывает на дифференцирование

по

х.

Очевидно, dx[dIdE]

отрицательно. Рассуждая,

как

в §

4,

по­

лучим

dx[dIdE]

= — 2 {£) didEdx,

(2.28)

Выражение (2.28) является основным, причем с ним

можно

поступать

двояко,

как и

с (2.8). Во-первых, его можно про­

интегрировать

по

энергии

частиц

оо

со

'

dx

J F(x,

Е) EdE =

— j

У\(Е)F(x< E) EdEdx.

(2.29)

о

0

Если применить

к правой

части

(2.29) обобщенную теорему

о среднем, и затем

использовать (2.24), то

получим

где dl—убыль

dl = — %{x)ldx,

(2.30)

интенсивности

вследствие рассеяния

и погло­

щения

в элементарном слое объемом dV—ï

см'2dx;

Yi(x) —

полное

среднее

макроскопическое

сечение

по интенсивности

для полиэнергетических частиц. Необходимо указать,

что

f S (E)F(x,

E)EdE

.

2/(•*)•=-

J

.

(2.31)

- - й - = І , / ( * ) / + Ё в / ( * ) Л

(2.32)

•откуда на основании

(2.25)

dJdE

= dI0dEe~^x=

F(x,

Е) EdE.

(2.39)

Выражение

(2. 39)

представляет

собой закон

ослабления

путем

его умножения на Е,

как и должно

быть.

Интегриро­

вание

(2 .39) по энергии с помощью

(2 . 21)

и (2.25)

дает

со

I =

Ja^e--^^xEfQ{E)dE.

(2.40)

о

Если применить к последнему интегралу обобщенную тео­

рему

о среднем и

использовать (2.22) и (2.23), то

/ = / 0 е = м Г Г г .

(2 . 41)

Сравнивая (2.33)

и (2.41),

будем

иметь,

Л'

е

0

=(рЩйѣ

' (2.42)

dPoäE = ЯОБЭ (Е) Ка \ в { Е ) dJodE = К(Е) dloаЕ

(2.43)

В (2.43)

коэффициент

К(Е)

= Коъэ(Е)Ка

' S F L O B - ( £ )

(2.44)

Рв

введен

для удобства

дальнейших

преобразований;

Л О Б Э ( £ ) —

коэффициент

относительной

биологической

эффективности

ядерного

излучения

с энергией

Е\

Ка

— постоянный

коэффи­

циент

пропорциональности

из

(1.46);

£аВ(Е)

— макроскопиче­

ское сечение

поглощения

воздуха

для

ядерного

излучения

с энергией Е\

рв — плотность

воздуха. -На

глубине

х

согласно

(1.50), (1 . 52),

(2.25)

и (2.44)

элемент

мощности

дозы, созда­

ваемый

падающими

частицами

с

энергией

от

Е

до

Е 4- dE,

будет

dPaE

= К(Е) dldE

= К{Е)

F(x,

Е) EdE.

(2.45.)

проинтегрировать

по

энергии

оо

со

dx j К iß) d/dE

= — j

K(E)

dIdEdx.

(2.47)

о

0

Если применить

к правой

части

последнего выражения

обобщенную теорему

о среднем, то получим

dP= — Уд (х) Р dx,

(2.48)

где

dP — убыль

мощности

дозы

ядерного излучения

вследст­

вие

рассеяния

и

поглощения в

элементарном слое

объемом

dV=

1 см? dx;

CO

Я== j

К{Е) dIdE

= Р(х) = К(х)7—

(2.49)

о

со

_

JE( £ ) К(£ ) F { x,

E)EdE

2 д ( - 0 = -

р

,

(2.50)

вообще

говоря,

зависит

от глубины х;

У,д{х) — \зд(х) +

+

2,ад(х),

где

( х ) — среднее

макроскопическое сечение

по

дозе

для рассеяния,

^ад(х) — среднее

макроскопическое

сечение по дозе для поглощения.

Интегрирование (2.48)

с

учетом

граничного условия

со

P(0)=*P0

= $dPodE

(2.51)

о

Я = Я 0 е 0

= р 0 е - Д ' .

(2.52)

рассеяния и1 поглощения

получается

интегрированием

(2.52)

по

времени

и имеет вид для экрана

толщины к

/і

t

Дп = Д0е

0

,

t

(2.53)

где Д0 = ^Р0аі—

доза

на

входе

в экран;

Дн=-J"Phdt—доза

на выходе из экрана. С помощью (2.48), (2.30)

и

(2.49) легко

вывести

J

Ед<*) =

dK(x)

(2.54)

^(^—WTZT—^-.

К{х)

Если

полное

среднее

макроскопическое

сечение

по

[дозе

не

'"зависит

от

глубины

х,

то согласно (2.50),

(2.25),

(2.6)

и

(2.49)

f £(£) К(Е)Е

f(E)

dE

У,д

= -

^

•

(2-55)

$K(E)Ef(E)dE

о

Согласно

(2.49),

(2.25)

и

(2.6)

К

не

зависит

от х,

так

что

на

основании (2J54) ^ д =

S/- С помощью (2.55)

и

(2.36) полу­

чим, что 2 д = 2 / =

2

только тогда,

когда

полное макроско­

пическое

сечение и коэффициент

К{Е)

не зависят

от

энергии

частиц, а этого

не бывает

на практике. Отсюда

следует,

что

Получим

с помощью

(2.45)

dPdE=dP0dEe~^

= K(E)F(x,

Е) Е dE.

(2.56)

Выражение

(2.56)

представляет

собой

закон

ослабления

"мощности

дозы

узкого

параллельного

моноэнергетического

пучка ядерного излучения с энергией от Е до E-\-dE

с глу­

биной

X вследствие

рассеяния

и поглощения.

Формула

(2.56)

может

быть получена

из

(2.39) путем

умножения

на

К{Е),

как и должно

быть.

Интегрирование (2.56)

по

энергии

с по­

мощью (2.43)

и

(2.45)

дает

Р = J0

J e-Wxf((E)

Efa(E)

dE.

(2.57)

о

Если применить к полученному интегралу обобщенную

теорему о среднем, то с помощью

(2.51) будем

иметь

Я = Я 0 е = а д ^ . .

(2.58)

S6

-,

Сравнивая (2.52)

и

(2.58), получим

X

_

^Ид{х)ах

е

0

= е~Ш)х.

(2.59)

Если рассеяние частиц отсутствует, то "Es(E)=0

и ^(Е)

=

— Ъа(Е)- Так как в этом

случае

согласно

§

7 справедлива

элементарная теория ослабления, то можно

использовать

все

результаты

§ 16, если ]£(Е) — 2>а(Е). Из (2.13)

получим

X

-JYa(x)dx

J = J0e

0

,

(2.60)

2e(Jc) определяется (2.11),

если

2 ( £ ) =

2а(Я). Из (2.33) будем

иметь

X

/ = / „ е

0

,

(2.61)

где

2 а / ( Л ' )

определяется

(2.31),

если

считать

^(Е)

=

^\а{Е)г

а из

(2.53)

находим

л

Д„=Д0е

0

,

(2.62)

2ад(-х0 определяется (2.50), если

заменить

^{Е)

на

2а(£)>

Выражения

(2.60) и (2.61 ) дают

соответственно

законы

ослаб­

отсутствии

рассеяния

по

числу

частиц и по интенсивности,

а (2.62) представляет собой закон ослабления

дозы

широкого

параллельного

полиэнергетического

пучка ядерного

излучении

в плоском однородном экране толщины

А при отсутствии рас­

сеяния.

Проанализируем теперь случай, когда имеют место коге­

рентное

рассеяние

и поглощение

частиц. Так как согласно § 7

•ослабление

широкого

параллельного

пучка

полиэнергетиче­

ских

частиц

вызывается

их поглощением

и

отражением,

то (2.17)

следует

писать

в

виде

dJhdE

=

[ 1 — ЦЕ,

А)] dJo„Еe--<'{h:)'1,

(2.63)

(2.39)

в

виде

dIkdE=\\—î(E,

Ii)) dIQdEe~-o^\

(2.64)

;и (2.56)

в виде

dPhdE

= \\—

A)] dPodE

e~-°m.

(2.65)

В

(2.63),

(2.64)

и (2.65)

величина

ß(£, А) представляет

собой

альбедо

плоского

однородного экрана толщины А для

частиц

энергии Е, a dJ0dE,

d/odE

и

dPodE

определяются

соответст­

венно

(2.1),

(2.21)

и (2.43). Интегрирование (2.63)

по

энергии

•с помощью

(2.20)

и применения

обобщенной

теоремы

о

сред­

нем дает

І = Л[1 — h(à)]e

0

,

(2.66)

где

"ß(£,

h)e

^ { E ) h

d J u d

b

Ш

= ^ .

(2.67)

0

альбедо

плоского

однородного

экрана

толщины

А по

числу

частиц

для

широкого

параллельного

полиэнергетического

и применения обобщенной теоремы

о среднем

дает

/ = / 0 [ 1 — ß/(Ä)]e

0

,

(2.68)

где

J HE,

h)e~^mhdJQdE

М * ) = ° ,

(2.69)