Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

где 2 — полное макроскопическое сечение вещества цилиндра. Интеграл в (1.110) является функцией отношения -j-, где D —

диаметр

цилиндра

и I — полная

средняя

длина

свободного

пробега,

так что

*/2

„„„ „

cos<pdф =

(1.111)

F I-у- .

Очевидно, по теореме

о среднем

1-2RH=2JURHF(4-\

(1.112)

где J—величина

средней

плотности

потока

частиц

на

выходе

из цилиндра. Из (1.112) находим,

что

J =

J0F

(1.113)

и средняя интенсивность на

выходе

из

цилиндра

/ =

JE0.

Интеграл

(1.111)

может

быть

найден

помощью

численных

методов

для

заданного отно

шения

при 2 =

0('-1 Ч)

равен

единице,

так

что

со

гласно

(1.ПЗ) •/=-/„, как и дол

жно

быть. Можно также найти

среднюю

дозу

ядерного

излучения

на

выходе

из ци

линдра

помощью,

напри

мер, (1.105), если заменить I0s

на

и Д0

на

Д.

Рассматри

ваемая

задача

может

быть

решена

также

учетом

фак

торов

накопления из § 9 с ар

гументом

2 ^R cos ф.

Рис.

Пусть

однородный

шар ра

диуса

облучается

слева

широким параллельным пуч

ком моноэнергетических		частиц с такими же параметрами, как
и в задаче	о цилиндре (рис. 7). Если рассматривать		элемент
поверхности	шара dS = R- sin Ѳ d Ѳ d ц>, то на него		за	1 сек
падает J0dS1	—J0dSs'm	ö s i n cp = / 0 - ^ 2 si n QsmydQd ф		частиц.
Из рис.7 следует, что г = 2R sin Ѳ sin ф. Если считать			элемен
тарную теорию ослабления справедливой, то число			частиц,
выходящих	из шара за 1 сек, будет равно
л/2				(1.114)
2J0R2 j sin2	QdQ Г g-2 s л sin ѳ sin ? sin ф üf ф <

где 2 ~ полное макроскопическое сечение вещества шара. Двойной интеграл в (1.114) представляет собой функцию

от отношения — , где D — диаметр шара; к — полная средняя

длина свободного пробега. Если / — величина средней плот ности потока частиц на выходе из шара, то по теореме о среднем

		7*/?2	= 2 / 0 / ? 2 / ( 4 - ) '					^	_		(1.115)
а средняя интенсивность на выходе из шара I—JE0.											Двойной
интеграл из (1.114) может быть определен								с помощью			числен
ных методов, если отношение -^- задано.								При 2 — 0			он со
гласно (1.114)		равен
		m		-
		J" sin2	Ѳ d Ѳ j sin Ф dcp = -гр								(1.116)
		ö		о				^Ь*
так	что из (1.115) J = J0,			как	и должно		быть.		Можно найти
еще	среднюю	дозу Д	на выходе			из шара, как				и в	задаче
о цилиндре. Заметим, что задача может быть решена											и с уче
том	факторов	накопления		из	§ 9 с аргументом				2R sin cp sin Ѳ.
На практике, кроме			многочисленных				случаев			прохождения
широких параллельных				пучков		моноэнергетических					частиц
через плоские однородные экраны, встречаются										сравнительно
редкие случаи		прохождения			этих	пучков		через		однородные

тела различной формы и, в частности, через однородные сим метричные тела. Поэтому и были рассмотрены задачи о про хождении широкого параллельного пучка моноэнергетических частиц через однородные цилиндр и шар в предположении справедливости элементарной теории ослабления. Для более точного решения этих задач надо использовать факторы нако пления из § 9, аргументы которых уже были указаны для цилиндра и для шара. Однако факторы накопления для каждой задачи должны, строго говоря, несколько отличаться от соот ветствующих факторов накопления для плоских однородных экранов, введенных в § 9, из-за различия геометрических форм облучаемых тел.

Задачу о прохождении широкого параллельного пучка моноэнергетических частиц через однородное тело можно сформулировать математически в общем виде для выпуклых однородных тел.

§ 14. Облучение тел различной формы точечным изотропным источником моноэнергетического ядерного излучения [5, 6]

Рассмотрим точечный изотропный источник моноэнергети ческого ядерного излучения мощностью Q, расположенный в точке О однородной изотропной среды, который облучает

тело произвольной формы (рис. 8). Энергия ядерного излуче ния, падающая за 1 сек на облучаемую поверхность тела AS от источника, согласно (1.80), (1.76) и рис. 8 будет равна

1 Г _ Q	('J e~*rB'(Zr)cos(n,	-PjdS	_
	à s
			(1.117)
где У —полное	макроскопическое	сечение среды; п — единич

ный вектор внешней нормали к элементу dS облучаемой

поверхности

тела;

dQ — эле

мент

телесного

угла,

кото

ром из точки Ö виден эле

мент dS; A Q —телесный

угол,

в котором из точки О видно

облучаемое

тело

или

его об

лучаемая

поверхность

AS.

Для

(1.117)

возможны

два

предельных

случая.

Первый

предельный случай будет,

ког

да

источник

находится

у по

верхности

тела.

Очевидно,

в этом случае

A 2 =

2^,

а ос

лабление

ядерного

излучения

среде

отсутствует,

так

что

(1.117)

дает

(1.118)

Второй

предельный

случай

будет,

когда

рассматриваемый

источник

находится

„далеко"

Рис. 8

от

тела.

Условие

„далекости"

означает,

что

расстояние

от

источника

до

любой

точки

облучаемой поверхности тела гораздо больше линейных

раз

меров последнего,

т. е. г > / , где / — линейный

размер, харак

теризующий тело. В этом случае из (1.117)

получим

прибли

женную формулу

- ^ _ е - * * Я , ( 2 # ^ ,

(1.119)

где R — расстояние от источника до какой-нибудь точки тела, например до его центра симметрии, если оно симметрично. Интегралы (1.117) и (1.119) значительно упрощаются для эле ментарной теории ослабления, когда 5 / ( 2 г ) в (1.117) и 5/(2 #)

в {1.119) равны единице, и особенно при отсутствии ослабле ния, когда источник и облучаемое тело находятся в вакууме-


Случай	отсутствия ослабления					представляет				практический
интерес,	т а к ' к а к		облучаемые тела				чаще	всего		расположены
неподалеку от источника в воздухе,							ослабляющим действием
которого	можно		пренебречь		с достаточной			точностью.
Приведем		без вывода		некоторые			наиболее		важные резуль
таты для тел различной формы,						полученные			автором		данной
монографии. Для плоской				круглой			площадки		радиуса		а при
расположении источника над ее центром на высоте z											инте
грал (1.117) в случае элементарной							теории	ослабления			выра
жается	через	интегральную			показательную				функцию		(1.90)

и элементарные функции. Результат довольно громоздок. При отсутствии ослабления

1-	У аг	+ г*	(1.120)

так что для бесконечной плоскости имеет место (1.118). Для плоской прямоугольной площадки длины а и ширины b при выборе начала координат в центре симметрии площадки и при расположении источника на высоте z над точкой площадки с координатами (х, у) интеграл (1.117) в случае элементарной теории ослабления не выражается через известные функции. Однако при отсутствии ослабления

4 і	arctg		H - ' H - f	H	+
4 і	arctg				+
- j -	arctg-		(•ЬЖі+*)		+•
		.y	(4-
+ arctg •		.y	(4+>)(^-*)
		y ( - W + ( - i - ' ) " +
+	arctg-		( • f + ' ) ( - ! - + * )		(1.121)
+	arctg-				(1.121)

Из (1.121) получим, что при расположении источника над центром симметрии площадки {х = у — 0)

W-.	Q arctg:		ab	(1.122)
		2гѴа2	+ Ь- + ^-

на а.

при расположении источника	над углом площадки		\х — —
ь
W = - 4 тс• arctg -	V tJL„ab	—»	(1.123)

а для [бесконечной плоскости имеет место (1.118). Сделаем одно замечание. Если имеется заряженная круглая или пря моугольная проводящая площадка, причем поверхностная плотность заряда а считается постоянной, то проекция напря женности электростатического поля на ось OZ в точке, рас положенной на высоте z над центром круглой площадки, или в точке, расположенной на высоте z над прямоугольной пло щадкой, может быть найдена соответственно по форму лам (1.120) и (1.121), если заменить в них 4^я

Для шара радиуса а при расположении источника на расрасстояний R от центра шара интеграл (1.117) в случае эле ментарной теории ослабления выражается через интеграль ную показательную функцию (1.190) и элементарные функции. Результат довольно громоздок. При отсутствии ослабления

(1.124)

так что источник облучает шаровой

сегмент с радиусом осно

вания

a j / l — - ^ j -

и со

стрелкой

a(l

^ - j . [Для бесконечного

цилиндра

радиуса

при

расположении

источника

на

расстоя

нии R от оси цилиндра

интеграл

(1.117)

в случае

элементар

ной теории ослабления не выражается через известные функ

ции. Однако при отсутствии

ослабления

W = ^r arctg

(1.125)

так что источник облучает бесконечный цилиндрический сег-

мент со стрелкой

a l l

и шириной основания 2а

Наконец,

для

вытянутого сфероида

большой

полуосью а

и малой полуосью b при расположении источника на продол

жении

большой оси интеграл

(1.117)

случае элементарной

теории

ослабления

не

выражается

через известные

функции.

При отсутствии

ослабления

а'

(1.126)

С2


где с = Уа2—			b2	— полуфокусное		расстояние; х — расстояние
источника		от центра симметрии сфероида. При с = 0 и x = R
получим		(1.124),		как и должно		быть.	Если	источник нахо
дится	на продолжении				малой оси, то интеграл (1.117) не выра
жается	через		известные		функции	даже	при отсутствии ослаб
ления.	Для сплюснутого, или планетовидного							сфероида с боль
шой	(экваториальной)				полуосью b		и малой (полярной)

полуосью а при расположении источника на продолжении малой оси интеграл (1.117) тоже не выражается через извест ные функции, но при отсутствии ослабления справедлива (1.126), если заменить в ней с на іс, где і = У—\, с— У Ь2 — а2 — полуфокусное расстояние. Если источник находится на про

должении большой оси, то интеграл (1.117) даже		при отсут
ствии ослабления	не выражается через известные	специальные
и элементарные	функции.

Если точечный^ изотропный источник моноэнергетического ядерного излучения мощностью Q находится внутри замкну той полости произвольной формы, которая заполнена одно-

родной изотропной средой, то в интеграле (1:117") п — единич
ный вектор внешней нормали к элементу dS					облучаемой
поверхности 5 замкнутой полости: AS = 5;				Д й =	4тг, так что
при	отсутствии ослабления	всегда	W=Q.	Для		шаровой
полости радиуса а при расположении			источника		на	расстоя
нии	R от ее центра интеграл	(1.117)	в случае		элементарной

теории ослабления выражается . через интегральную показа тельную функцию (1.90) и элементарные функции довольно


сложным	образом, но при отсутствии ослабления предельный
переход	дает W = Q, как и должно быть.
	§ 15. Закон сохранения числа
	моноэнергетических частиц [1, 3, 13]
Рассмотрим сначала закон сохранения числа моноэнергети
ческих частиц на примере их точечного		изотропного	источ
ника, испускающего за 1 сек S частиц		равномерно по	всем

направлениям и расположенного в однородной изотропной среде

(рис. 4). Окружим

источник двумя

концентрическими

сферами

радиусами

гг,

г2,

причем

г2 >

ги

поверхностями

Si, S2

объемами Ѵх,

Ѵ2.

Единичный

вектор

внешней

нормали

поверхности

внутренней сферы

пх =

а к

поверхности

—>•

' 1

внешней

сферы п2

= —, так что п2

=—«і-

Если

ввести плот-

—>•

ность потока

моноэнергетических

частиц J=.J-j-,

то интеграл

J„2dS2=

<^JdS2

представляет

собой

число моноэнергетиче-

ских

частиц,

проходящих

за

1 сек

через

поверхность

внешней сферы, т. е. уходящих

из объема Ѵг—Ѵ1

за I сек.

Интеграл — ф J„idS1

= ф JdSi

представляет

собой

число моно-

энергетических

частиц,

проходящих за

1 сек

через

поверх

ность

внутренней

сферы,

т. е.

входящих

объем Ѵг—Ѵх

за 1 сек. Изменение числа моноэнергетических

частиц в объеме

Ѵ%—Ѵх за 1 сек

вследствие

их втекания

и вытекания

состав

ляет

ф JdSy — <j> 7tf.S2 =

— cf Л , dSj + ф J„2 dS2

(1.127)

Если применить

в (1.127) теорему Остроградского — Гаусса,

то получим, что

j>JdSl

— $JdSi

= —

J âivJdV.

(1.128)

V.-V',

Переходя в (1.128) к пределу

при г ^ О , будем иметь окон

чательно, что

S— ф JdSz = — f div Jd V,

(1.129)

где

VimSjdS^S

(1.130)

и Ѵ=Ѵ$, причем исключается

только та точка

среды, в кото

рой находится источник. Считая элементарную теорию ослаб ления применимой, получим согласно (1.40), что интеграл

^УіМѴ представляет собой число моноэнергетических частиц,

претерпевших в объеме V за 1 сек или рассеяние, или погло щение. Для когерентного рассеяния 2 — ЕаТогда закон сохранения числа моноэнергетических частиц для случая точечного изотропного их источника будет

S— $JdSt	— \| 2 У й Ѵ = — f [ d i v 7 + 2 / ] û ? l / = 0 .			(1.131)
S,	1/	'	V	V выте
Из (1.131)	в силу	произвольных размеров объема		V выте

кает дифференциальное уравнение баланса моноэнергетических частиц

d i v 7 + 2 / = 0 ,

(1.132)

представляющее собой дифференциальную форму закона сохра нения числа моноэнергетических частиц и носящее общий характер. Для рассматриваемого источника (1.132) будет

^ г ^ г ( г 2 У ) + У ^ = 0,

(1.133)

откуда-
	-^L = - ± J - ^ J .				(1.134).
Интегрирование		4.134) не представляет затруднений и с уче
том	граничного условия		(1.130) дает	(1.79), как и	должно
быть.	Закон (1.131)	можно	написать и	для широкого	парал

лельного пучка моноэнергетических частиц, распространяю

щегося вдоль оси ОХ в плоском однородном	экране	(рис. 2).
Получим, что
У0 — У— J %Jdx = — f[dIv7+2^U-« =	0,	(1.135)

üö

где J — Ji, i — орт оси	ОХ,	а интегрирование по dV	превра
щается в интегрирование	по	dx, так как dV = S0dx,	где S0 —

площадь поперечного сечения рассматриваемого пучка. В (1.132)


div J=-^->		т а к	ч т о интегрирование элементарно и дает с уче
том	граничного		условия У\|д = о = Уо формулу	(1.22), как и	дол
жно	быть.
Закон		(1.131)	и уравнение (1.132) можно	использовать	для

анализа особой разновидности нитевидного источника моно

энергетических

частиц

в однородной изотропной

среде.

Этот

источник

представляет

собой

бесконечную прямую, по которой

непрерывно

равномерно

распределены

точечные

источники

моноэнергетических

частиц,

обладающие

той

особенностью,

что они испускают частицы равномерно

по

всем

перпендику

лярным

рассматриваемому

источнику

направлениям.

Ясно,

что

задача

о таком

источнике

обладает

цилиндрической

сим

метрией.

Однако такой

источник носит искусственный

характер

и не имеет ничего общего

реальным

нитевидным

источни

ком,

который

представляет

собой бесконечную прямую

с рас

пределенными

непрерывно

н равномерно

точечными

изотроп

ными

источниками

моноэнергетических

частиц.

Глава вторая

ОСНОВЫ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОЛИЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЯДЕРНЫХ ИЗЛУЧЕНИЙ С ВЕЩЕСТВОМ

§ 16. Элементарная теория ослабления для узкого параллельного полиэнергетического

пучка частиц [1, 5, 6, 14]

Элементарную теорию ослабления, справедливую для узкого параллельного моноэнергетического пучка частиц, можно обобщить на случай узкого параллельного полиэнергетиче ского пучка частиц. Пусть на плоский однородный экран перпендикулярно падает слева узкий параллельный пучок полиэнергетических частиц, площадь поперечного сечения которого для простоты принимается равный 1 см2 (рис. 3). Тогда

dJodE	=	Fo(E) dE =		Jo f0(E) dE		(2.1 )
представляет собой	число		частиц	с энергией	от Е до	E-\-dE,
которые падают за	1	сек	на 1	см.2 левой	стороны	экрана,

а величина начальной плотности потока частиц, очевидно, составляет

	со *			оо
J0	= $FQ(E)dE		= JQ$f0(E)dE,					(2.2)
		J/о ( £ ) < * £ = ! .						(2.3)
		о
Выражения	(2.1),	(2.2)	и	(2.3)	носят	общий характер,
а функция f0{E)	характеризует			энергетический			спектр	падаю
щих частиц на входе в экран. На глубине						х	вследствие рас
сеяния и поглощения		частиц величина плотности потока						частиц
уменьшается и
		оо
	у =	j Е(х,	E)dE =		J(x),			(2.4)
где		о
где	dJdE=F(x,			Е) dE				(2.5)
	dJdE=F(x,			Е) dE				(2.5)

~ (2.12)

— è - = EW-/+20W-/-

со

J2(£) F{x, Е) dE

I W = ° у , (2.11)

вообще говоря, зависит от глубины х. Очевидно, У,(х) = = 2?(Л') + Еа(-*:). г Д е 1is(x) — среднее макроскопическое сече ние рассеяния, 2о(л) ~ с р е д н е е макроскопическое сечение поглощения для полиэнергетических частиц. И только, когда выполняется (2.6), средние макроскопические -сечения не зави сят от глубины X. Из (2.10) следует

представляет собой число частиц с энергией от Е до

E-\~dE

падающих

слева

за

1 сек

на

площадку

1 см2

на

глубине

х.

Выражения

(2.4) и (2.5) также носят общий характер, функция

F(x,

Е)

характеризует

энергетический спектр падающих

частиц

на

глубине

х. Только

частном

случае

F(x,

Е)

—

J(x)f(E),

так•что

со

J = « y j / ( £ ) d £ ,

(2.6)

со

jf(E)dE=l.

(2.7)

В очень тонком

плоском

однородном

слое

толщиной

и объемом

dV=

см2dx

убыль

dJdE,

определяемой

(2.5),

вследствие

рассеяния

и поглощения составляет

dx[dJdE],

где

значок

указывает

на

дифференцирование по

х.

Величина

dx[dJdE]

отрицательна. Рассуждая,

как

§ 4,

получим

dx{dJdE]=

— ^{E)dJdEdx,

(2.8)

где

(F) — полное

макроскопическое

сечение

для

частиц

с энергией Е. Выражение (2.8) является основным и анало

гично (1.21) для	моноэнергетических частиц.
С (2.8) можно поступать двояко. Во-первых, его можно
проинтегрировать	по энергии			частиц
оо				оо
dxjJF(x,	E)dE^		—	^(E)F{x,	E)dEdx.	(2.9)
о				о
Если применить		к правой		части (2.9)	обобщенную	теорему
о среднем, а затем		использовать (2.4),			то
		dJ =	— 2(x)Jdx,			(2.10)

где dJ' — убыль		величины	плотности потока		частиц вследствие
рассеяния	и поглощения		в элементарном слое объемом dV —
~ 1 см2 dx;	2W	— полное среднее		макроскопическое сечение
для полиэнергетических			частиц.	Следует	подчеркнуть, что

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ