книги из ГПНТБ / Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории

ся

распространения

быстрых

нейтронов

в различных

средах,

то

в зависимости от соотношения между

и Еа

следует ис­

пользовать

то или

другое

приближение.

Известный

метод

сечения

выведения

[7], [49]

представляет

собой,

по

нашему

мнению,

результат

применения приближения прямого

пролета

к

быстрым

нейтронам.

§ 46. Диффузионное приближение

[2, 4, 31, 47, 48]

Рассмотрим в диффузионном приближении постановку за­

дачи о нейтронном

излучении тела произвольной

формы. Су­

ный. Остановимся пока на поверхностном

варианте.

Пусть имеется выпуклое тело, расположенное в одно­

родной

изотропной

среде,

которое является поверхност­

ным

излучателем

моноэнергетических

нейтронов

безраз­

лично

по каким причинам.

Если это тело

испускает

тепловые

тронов или мгновенных

нейтронов

деления.

Предположим

для простоты, что задача

стационарна,

что среда

бесконечна,

а также, что нейтронная

генерация в среде отсутствует и по­

глощения не зависят от энергии нейтрона,

т. е. используется

приближение

постоянных сечений

[48]. При сделанных пред­

положениях

уравнение нейтронной

диффузии

Ѵ 2 Ф — х 2 Ф =

0,

(5.15)

7 =

— £ > у Ф ,

(5.16)

где D — коэффициент

диффузии нейтронов источника в среде, ѵ

и граничного

условия

J=J0

на поверхности тела можно оп­

ределить

из (5.15)

поток нейтронов. Заметим, что поток

нейт­

ронов по

своему

физическому смыслу всюду

конечен,

поло­

жителен

и обращается

в нуль на бесконечности при наличии

поглощения.

Эти

свойства

потока нейтронов

используются

при его определении из (5.15).

Если

окружающая

среда

конечна и граничит

с вакуумом

(на практике с воздухом), то для нахождения потока

нейтро­

нов

из

(5.15) необходимо

использовать

условие

на

границе

среда — вакуум

/_„

=

Ф +

^

=

0,

(5.17)

где

d = 2D — длина

линейной

экстраполяции

для потока нейт­

ронов

на

границе

среда — вакуум;

п — направление

внешней

нормали

к этой

границе.

Условие

(5.17)

означает

физически,

что

вылетевшие

в вакуум

нейтроны

не возвращаются

обратно

в среду, так как им не от чего отражаться. Заметим,

что

(5.17)

в

согласии

с условием

применимости

диффузионного

приближения [4] обычно записывается в

виде

Ф =

0

(5.18)

на

экстраполированной

границе

среда — вакуум,

отстоящей

от истинной на расстояние d

по

нормали.

В

качестве

примера

рассмотрим

случай

поверхностного

сферического нейтронного излучателя радиуса г0,

располо­

женного

в бесконечной

среде. Получим,

что

С ^ - ^ ( г - Г о )

Ф =

,

л , ,

•

г--

(5-19)

S0

4к гу0.

4 я Dr{ 1 +

у. г0 )

у

'

где

=

При /'0 —О (5.19)

переходит

в известное

вы­

положениях,

что и в поверхностном

варианте,

имеем

систему

уравнений нейтронной

диффузии

Т72 Ф, к2 Ф, 4- — = О

D

и>

(5.20)

ѵ

1

1

Di

V2 Ф 2 - у . 2 Ф 2 = 0,

где

индекс

1 относится

к телу,

индекс 2 — к

окружающей

среде;

5Х — плотность

генерации

моноэнергетических

нейтро­

нов

в

теле,

которая

должна

быть

задана.

Из

(5.20) с по­

мощью граничных условий

Фі = Ф«. Jln

= -

D 1

^

= J2n = - D

^

(5.21)

ронов

в среде

равен

нулю на

бесконечности. Если тело

нахо­

дится

в

вакууме,

то необходимо использовать граничное ус­

ловие

(5.17)

или

(5.18) на экстраполированной

границе

т е л о -

вакуум,

а

если

среда

конечна

и

граничит

с вакуумом, то

(5.17)

или

(5.18),

как

в поверхностном

варианте.

В качестве

примера

можно рассмотреть

случай

объемного

сферического

нейтронного

излучателя

радиуса

г0,

расположенного в

беско­

нечной

среде,

в

предположении

однородной

плотности

гене­

рации. Разумеется,

объемный

вариант

является

более

слож­

ным для решения, чем поверхностный.

Строго говоря,

точное решение задач о нейтронном

излу­

чении

тел

различной

формы, как и точное решение

задач

о гамма-излучении тел

различной формы,

может быть

полу­

чено

только

из

кинетического

уравнения

при условии, что

известны

все свойства

нейтронного

источника

и

окружающей

лых

моноэнергетических

нейтронных

излучателей получим

с помощью

(3.25), что

(5.22)

д s

где

Bj(ï> г) — гомогенный

фактор накопления по числу частиц

для

точечного изотропного

источника

моноэнергетических

нейтронов.

Вопрос о явном

виде /Зу(Ег)

остается, по-видимо­

му,

открытым

[49].

§ 47.

Диффузионно-возрастное

приближение

[2,

4,

31,

47,

48]

Ѵ 2 < 7 о = ^ ,

(5.23)

где

q0 = q0{r, т) —

плотность замедления

нейтронов

при отсут­

ствии

поглощения;

х =

х(Е) — возраст

нейтронов

с энергией

Е < Е0,

определяемый

формулой

Е

°

Щ

Е ) а Е

(5.24)

$ ЦЕ)Е '

È

где

D{E) — коэффициент диффузии

нейтронов с

энергией Е;

£(£)

=

ZS(E) - f La(E)^I,s(E)

— полное

макроскопическое сече­

ние

нейтронов с

энергией Е; £ — средняя

логарифмическая

потеря

энергии

нейтрона при упругом

рассеянии.

Поскольку

уравнение Ферми

с

математической

точки

зрения

аналогично

известны. Однако

заметим,

что решения

(5.23) для случаев

сфероидальной симметрии в литературе,

по-видимому, отсут­

ствуют. Если

решить (5.23)

и найти из него д0, то

q = q0P(E),

.(5.25)

где

q = q(r,x)

— плотность

замедления нейтронов

при нали­

чии

поглощения и

Р — Р(Е)— вероятность

нейтрону

избежать

/>=/>( £ ) = ехр

Е °

ТSf l (£)rf£

(5.26)

J

s S ( £ ) £

Если

g найдено, то из соотношения [2],

[4], [47]

2(£) Ф (r,

E)dE

=

ЗЩ-

(5.27)

можно

найти

поток

замедляющихся

нейтронов

в

интервале

энергий

от

Е до

E-\-dE,

а с помощью

(5.16)

и

плотность

<7о=?о(Л т) = С

4-

(5.28)

причем

постоянная

интегрирования

определяется из условия

J?o(r, т)г2 гіг =

- ^ - ,

(5.29)

Го

где SO =

4TC/'27'0.

С помощью (5 . 28)

получим из (5 . 29), что

С =

;

,

S ü l / T

•

г .

(5.30)

•/.]

—

l - e r f H = Y

8 * W 4 т

+ V « t

При

г 0

= = 0 с

помощью

(2.170) получим из

(5 . 30)

и (5 .28)

известный

результат

для

точечного

изотропного

источника

моноэнергетических нейтронов, как

и должно

быть.

Условия

но

изложены,

например, в [ 3 1 ] или

[ 4 7 ] .

§ 48. Элементарное рассмотрение цепной

самоподдерживающейся реакции деления

[2, 4, 15, 31, 47-50]

Рассмотрим

одну

специальную задачу,

имеющую

отноше­

ние

к

нейтронному

излучению

тел различной

формы.

Пусть

имеется

выпуклое

тело

из

делящегося

вещества [ U 2 3 3 , U 2 3 5 ,

Pu2 3 9 ],

внутри

которого происходит цепная реакция-

деления

на

мгновенных

нейтронах

деления,

так

что это тело

пред­

ставляет

собой

объемный

нейтронный

излучатель. В § 22 было

показано, что полиэнергетическая система мгновенных

нейтро­

нов

деления может

быть

заменена

в хорошем

приближении

моноэнергетической

системой быстрых нейтронов с Е=2

Мэв

и •а =

1,95-109

см-сек2. Будем

считать, что нейтронный

излу­

чатель

находится в вакууме

(на практике — в воздухе). Назо­

вем

цепную реакцию деления самоподдерживающейся, если

оно

происходит без внешних

нейтронных

источников,

и неса­

имеются

[ 4 ] . Следует заметить,

что

внешние нейтронные

источники

могут

находиться

и

внутри

нейтронного излу­

чателя, но тогда

они должны

быть основаны не на реакции

считается сферическим,

хотя это совсем необязательно.

Как

известно [ 2 ] , [ 4 ] , [ 4 7 ] , диффузионное

приближение

можно

применять к

объемному

нейтронному

излучателю

только

при выполнении

условия

(5 . 31)

где

/ г а І П — минимальные

линейные

размеры излучателя; \ —

полная

средняя длина свободного

пробега нейтрона в вещест­

ве

излучателя.

184

Согласно § 45 диффузионное приближение

справедливо

при

Еа <^£у, так что X близка к Хи. Заметим, что

диффузион­

ное

приближение

дает

правильные

по

порядку величины

результатов даже

в том случае, когда

/ т І п

и X сравнимы друг

С другом [4], [31]. Если

рассмотреть описанный

выше сфери­

критического радиуса

[4], [31]

У 7| — 1

-5

ѵ Е/

где

L — диффузионная

длина; у1 = -у—; ѵ — среднее

число

мгновенных нейтронов деления; Е^—макроскопическое

сече­

ние

деления; Еа = Ef -\- Ег — макроскопическое сечение

погло­

щения; Ег

— макроскопическое сечение радиационного захвата;

2

2

d =

-g-X =

-^-£

длина

линейной

экстраполяции для

потока

нейтронов

на

границе

с

вакуумом;

Е = Еа -|-Е^ и Е^— макро­

нейтронов

с

Е =

2 Мэв.

В рамках

применимости

диффу­

зионного

приближения

формула

(5.32)

является

точной, так

что по ней с помощью

[15]

можно найти

R0

для

U 2

3 5

и

Pu2 3 0 .

Заметим, что при выводе (5.32) обратная диффузионная

длина

определяется

из трансцендентного

уравнения

[2], [47]

-£- =

t h - ^ - ,

(5.33)

так

как £ а хотя и меньше

L s ,

но

одного

порядка

с

послед­

ним [15]. Кроме того, при выводе (5-32)

можно

использовать

приближение постоянных сечений [48], [15]

, а упругое и неуп-

ругое рассеяния можно не различать

[4], ^

15].

друг

Формула

(5-32)

показывает,

что R0

и

L

сравнимы

с другом, как и должно быть в диффузионном

приближении.

Однако для делящихся веществ по

(5.33)

с помощью

[15]

получим,

что

L сравнима с X. Таким

образом, R0 тоже срав­

нимо с X, а это уже предел

применимости

диффузионного

приближения. Если

взять критическое

уравнение

К=К«Р=1,

(5.34)

где

К— коэффициент

размножения;

/^„ — коэффициент

раз­

множения

для бесконечной

делящейся

среды; Р — вероятность

нейтрону

избежать

утечки,

зависящая

от линейных

размеров

и формы

излучателя,

то

для

диффузионного

приближения

[2],

[4]

Р= і + д ц "

В =

%Ѵ-п-\.

(5.35)

С

помощью (5.35)

можно рассмотреть

баланс

нейтронов

для

рассматриваемого

излучателя. Таким

образом,

в диффу­

Спрашивается

теперь, как

рассмотреть

описанный выше

сферический

нейтронный

излучатель без внешних нейтронных

источников,

если

имеет

место

условие

' т , п « Л

(5.36)

N=N{t) = nV = n{t)Vt

(5.37)

ut

N ^ - P )

--*£•+

W * > ,

(5.38)

X

Zr

Zf

у

'

1

где согласно

* с

1

1

1

§ 6 х = ——, т

= —

— и т , = —— соответственно

ставляет

собой

утечку

нейтронов

за 1 сек,

второй

член —

поглощение

нейтронов

вследствие

радиационного

захвата

за

1 сек,

а третий член — разность

между генерацией

нейтро­

нов

вследствие

деления

за

1 сек

и

поглощением

нейтронов

с делением за 1 сек. При этом

[2], [47], [48] для

случая

однородной

плотности распределения

нейтронов

P=-v-\\b^^dVxdV2,

(5.39)

где

Ѵі =

Ѵ2—Ѵ; r — расстояние

между двумя

любыми

элемен­

тами объема излучателя. Формула

(5.39) может быть получена

как

непосредственно,

так

и

из

интегрального

уравнения

Пайерлса, равносильного (5-1). Для сферического

нейтронного

—У

—>•

—У

—>

—У

—У

к

новым

переменным

rc = r1-\-r2,

r

= ri

—ri-

Получим,

что

Р = 1 — * T 2 S / ?

,

(5.40)

где

R — радиус излучателя. Так как в данном случае по опре­

делению

V Ef + Е

=

^ у ^ .

(5.41)

то

критическое

уравнение (5-34) с

помощью

(5.40)

и

(5.41)

дает

критический

радиус

# 0 =

- l , 1 5 X l g

1-

1

(5.42)

Ко

причем из

(5.42)

вытекает

известное неравенство [31]

<ѵ-1)2/>2г-

(5-43)

Интегрирование (5.38) дает,

что

N = N0eK~l)~,

(5.44)

где

К определяется

с

помощью (5-34)

и

(5.41). На

основа­

нии

(5.44),

где N0

— начальное

число

нейтронов

в

излучателе,

можно подробно

рассмотреть

баланс

нейтронов.

Таким

обра­

зом,

и в приближении

(5.36)

поставленная

задача

полностью

решается.

cLN _

/Ѵ(1

•Р)

NP

(ѵ — 1)

NP

So,

(5.45)

dt ~

где SD — суммарная

генерация

нейтронов

с Е — 2Мэв

за 1 сек

от внешних нейтронных источников, расположенных

внутри

излучателя. При S0

= 0 (5-45) переходит

в (5-38), как и должно

бытьИнтегрирование (5.45) дает, что

N—N0e

(АГ-1) •

K-l

(5.46)

Предположим,

что в каком-то органе

человеческого

тела

в

начальный

момент t = 0

имеется

/Ѵ0

злокачественных

кле­

ток, которые, во-первых, размножаются

путем

деления

попо­

лам и, во-вторых, отмирают. Если

N—N(t) — число

злокаче­

ственных клеток в момент t,

dN — изменение

числа

этих

клеток за dt, tj — среднее

время

жизни

клетки

по отношению

к

делению и тг — среднее время

жизни

клетки

по

отношению

к

отмиранию, то, очевидно,

d N ^

^ L - ^ L .

(5.47)

Интегрирование

дает,

что

N=N0eK

f

Т І

,

(5.48)

т-

е. получается экспоненциальный

закон

роста

злокачествен-

2

1

ной опухоли

со временем,

если

— > — . Заметим, что можно

рассмотреть

и другие модели роста злокачественной

опухоли.

Проанализируем

теперь

процесс распространения

инфор-

цией,

с людьми, не обладающими ей до встречи.

Если

—

число

людей, обладающих информацией

в

момент

t, a

УѴ2

—

число людей, не обладающих ей в этот момент, то Ыг-\-N^ =

N,

причем

N

считается

постоянным.

Пусть

т — среднее

время

встречи,

т. е. среднее время между двумя последовательными

встречами

одного человека с другими

людьми. Тогда

Nx~-

и іѴг-^г

соответственно средние числа встреч за dt для

людей,

обладающих

и

не обладающих

информацией,

а - ^ -

и -^г

соответственно

вероятности

встретить человека

в мо­

мент

t,

обладающего

и не обладающего

информацией.

Полу­

чим, что

d

N l = NlJLJ^,

d N t = s ^

J

L

J

^ ,

(5.49)