книги из ГПНТБ / Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории

Интеграл (3.127) может быть найден только

численными

методами

при заданных

а, Ь, ц и х.

Для сильно

вытянутого

сфероида

(3.127)

примет вид

Ді = 2ѵВп0Ѵ2Ье-**

j

-ï—r^

(3.128)

причем интеграл

(3.128)

может быть найден только числен­

ными

методами

при заданных

а, ft, ц и л\ Для слабо вытя­

нутого

сфероида

,

e-o'U—LtUAdn'

Дт=*2кВп0аЬ j

-

=â

—r-,

(3.129)

Д, = BnQb f

J <-*rV*—*l?ä2L*

4L,

(3.130)

I l

f'l

\ = — \ = — V1—^

Ф І - а г с з щ

Ф ; = ( 7 г _ Ф ; ) ,

где

r2

=

(b2 - j - c2tf2

+ г2 — 2bzY\—-г]'2зіпф');

г —расстояние

точки

TV от центра

вытянутого сфероида;

ф'— третья

вытяну­

тая

сфероидальная

координата

точки, расположенной на облу­

чающей

поверхности ASV

Двойной интеграл в (3.130) может быть найден только

численными

методами

при заданных

а, b,

JA И Z. Для

сильно

вытянутого

сфероида

(3.130)

несколько

упрощается,

так как

Ь =

аУ~2~К и г 2

= (с2 'тг)'2 +22

— 2bz\/\—т)' 2

sin ф'), а для слабо вы-

тянутого сфероида r2—[b2-\-z2—2bz\f\

— г,'2

эіпф') и У

а2—с2-ц'2=

= а^\

§~e o7 '/ 2 j-

П е р е Х ° Д

к случаю

шара (3.32)

выполняется

при

a=b

= r0,

c = 0nz=R,

но требует

довольно

сложного

преобразования

сферических

координат.

С помощью

(3.27)

можно найти также и исследовать интенсивности

гамма-излу­

чения

в точках

M и N.

Рассмотрим

постановку

задачи "на определение дозы

гамма-

причем интеграл в (3.131) может быть

найден только

числен­

ными

методами при заданных a, b и

| А .

Переход

к

центру

сферической

полости

• (3.34)

выполняется при

a = b — rQ

и

с = 0.

Можно

поставить

также

задачи о гамма-излучении по­

верхностно-радиоактивных вы­

тянутых

полусфероидов

и по­

верхностно-радиоактивных вы­

тянутых

полусфероидальных

полостей.

Рассмотрим

также

поста­

новку задачи о гамма-излуче­

нии

поверхностно-радиоактив­

ного

сплюснутого

сфероида,

так как

сама

данная

задача

из-за своей сложности должна

быть

предметом

специального

исследования.

Сплюснутый,

или

планетовидный,

сфероид

(рис.

22)

представляет

собой

тело,

образованное вращением

эллипса

вокруг

малой

оси.

Для решения

различных

задач

где

Д — малая

величина,

и в случае

слабо

сплюснутого

сфе­

роида, для которого

эксцентриситет

близок

к

нулю.

С помощью (3.19), приложения 2

и рис. 22 получим, что

доза гамма-излучения в точке M будет

Д, =

Вп0Ь

^292

е~*г

у Ѵ + cVa tf (J-'rfT'

j

J-

, = —

]

/

T

— =

arcsln

Ф а = ( я

—Ч>1).

(3-132)

где

r2~(b2—

с2 p.'2

-f- z2

— 2&z)/l — jj/2 sin q/),

г — расстояние

точки M от центра сплюснутого

сфероида; b — большая

полу­

ось;

а — малая полуось;

с — полуфокусное расстояние;

и ср' —

расположенной

на облучающей

поверхности

ASV

только с

по­

Двойной интеграл в (3.132) может быть

найден

мощью

численных методов при заданных b,a, jx и z. Для сильно

сплюснутого

сфероида

(3.132) несколько

упрощается,

так как

b = с и ]/Га2

+ с2[і'2

=

ср-',

а для слабо сплюснутого сфероида

r2^[b2^z2--2bzYT^r2s\n^)

иѴЩ-су^=Ь

l _ i . e g ( l _ ^ 2 ) .

Переход к случаю

шара

(3.32)

выполняется

при b =

a =

rQ,

с —0 и z—R,

но требует

довольно сложного

преобразования

сферических

координат. На

основании

(3.19), приложения

2

и рис.

22 получим,

что

доза

гамма-излучения

в точке

N

будет

Bn0b J

« - | " V ? T ? i 7 W . t

(ЗЛЗЗ)

а

X

где г 2 = ( х — а|л.')2 +

ô 2 ( l — |х' 2 ) .

Интеграл

(3.133)

может

быть

найден

только

численными

методами при заданных Ь, а, \х и х.

В случае сильно сплюснутого сфероида

(3.133)

упрощается,

так как b =

с и ] / а 2 +

c2 (j/2 =

CJJ /,

а в

случае

слабо

сплюс­

нутого

сфероида

г2

= (х2—2ахр'-\-Ь2)

и

]Az2 - j - £2 fi/2

=

= ôjl

g-£ o(l—I1 '2 )!-

Переход

к

случаю

шара

имеет

место

при ô =

a =

r0 ,

с = 0,

X—R

и

[x' = cosô.

С

помощью

(3.27)

можно также найти и исследовать

интенсивности

гамма-излу­

чения в точках

M я N.

Ді=2«Вп0Ьу

( б * - с ѵ 2 )

*

( З Л 3 4 )

Рассмотрим постановку задачи о гамма-излучении

объемно-

радиоактивного вытянутого сфероида. Эта задача

является

сложной и должна быть

предметом отдельного

чсследования.

Сначала

рассмотрим

постанов­

ку

задачи

на

определение

дозы гамма-излучения в точ­

ке, расположенной на поверх­

ности объемно-радиоактивного

вытянутого

сфероида

(рис. 23)

при

однородной

начальной

объемной

плотности

зараже­

ния

и

при

справедливости

элементарной

теории

ослабле­

ния.

Будем

определять

дозу

гамма-излучения только в точ­

ках M и N, находящихся со­

ответственно

на

концах

боль­

Рис.

23

шой

и

малой осей

(рис. 23).

Затем

попытаемся

выяснить,

приложения

1 и рис. 23

будем

иметь,

что доза

гамма-излуче­

ния

в точке

M составляет

а

с

1

_

Л т = 2 т е В Л / 0 с 3 j d S j g " " ( P - u ' W i ;

( З Л 3 5 )

'i

- 1

где r2= [b2

+ c2(î2-\-ff)—

2ackf]};

а —большая

полуось; b —

малая

полуось; с — полуфокусное

расстояние;

I и г\ — первая

и

вторая

вытянутые

сфероидальные

координаты элемента

объема

dV.

Для

сильно вытянутого сфероида двойной интеграл в (3.135),

заданных a, b и (А0 , упрощается, так

что

(3.135)

принимает

вид

Д т = 2 * В Л Г 0 / j V ^ r f t

j

^

ï '

i â

J

L

. .

(3.136)

В (3.136) можно выполнить интегрирование по обеим пере­

менным. Довольно длинные вычисления дают, что

Д,

=

2 г. 5 Л Ѵ [2(h -

к)

~(е»°с-

е-^)

і,\

(3.137)

h =

A£a (|i0 с А) + —— 11 4-

) ( 1 — е - ^ с А ) — -ф—

е~^сА,

і а

=

A£I(2I J . 0 C)

—

L-e-2v-'c,

i3

= —ï— e-^c(\—е-»«сА).

2 (j^c

Ko c

г2

=

(b2-\-с2

—

Для слабо вытянутого сфероида

в

(3.135)

— 2асъ-г,).

Переход

к

случаю

шара

(3.64)

получается

при

г' =

с\,

a =

b =

rQ,

с = 0, r, =

cos&. На

основании

(3.54),

при­

ложения

1

и

рис.

23

получим,

что

доза

гамма-излучения

в

точке

N будет

а

^=BN0*ïdt

j

а-п)''-'"*-™*,

(3.138)

1

- I

о

где

r2 =

[c2{t2 - f rf)-c2+*2-2Ьс\П$?—1)(1—rf)

sin <p].

Тройной

интеграл (3.138)

может

быть

найден

только

чис­

ленными

методами

при заданных

а, Ь, р 0

. Для

сильно

вытя­

нутого

сфероида г2

= c2(k2

+

-rf — 1), и в

(3.138)

можно выпол­

нить

интегрирование по ûfcp.

Для

слабо вытянутого

сфероида

г2

=

\а24-с2£2

— 2ас~]/г{%2—1)(1—rf)sinq>],

а

переход

к случаю

шара

(3.64) требует

довольно

сложного

преобразования

сфе­

рических

координат.

С

помощью

основного

выражения

(3.59)

можно

написать

и

исследовать

формулы

для

интенсивностей

гамма-излучения

в

точках

M и Л^. Выполнить

это

несложно.

Для

определения

доз и интенсивностей

гамма-излучения

в точках M и Л' можно также применить третий способ, пред­

ложенный

в § 29. Легко

показать

на

основании

(3.120), что

доза

гамма-излучения

в точке

M составляет

при р-= р 0

Д, =

2 * ВА/0 J j EMa

-

z) J dz -

(3.139)

причем

при a—b = r0

имеем

переход

к случаю

шара

(3.64)-

В

(3.139)

первый

интеграл

вычисляется,

а

второй

может

быть

найден

только

численными

методами

при заданных

а,

b и |і0 . Каких-либо

упрощений

для сильно

и слабо вытянутых

сфероидов

нет в (3.139). Можно показать

на основании

(3.54).

что доза гамма-излучения

в точке IV, находящейся на высоте Ii

над центром бесконечно тонкого эллиптического

плоского

диска

толщины dz с большой полуосью а' и малой полуосью Ь'

для случая однородной начальной объемной плотности

зара­

жения

составляет

2 т.

ft'2

аДт-

BN0dz

h2

d<p\,

1 — Ер2

COS2 tf

(3.140)

где e0 —-эксцентриситет

диска.

Очевидно, доза гамма-излуче-

ния в точке

N при h={b

— z)

ô' =

ô ] / l

— z*

£

о=

е

о.

А

А

составляет

і = !о

Д т =

5/Ѵ0 І2іс

I

Ex[^{b

—

z)]dz-

b

2ъ

(62

- г2 )

\dz\E1

М

/

{Ь-г)*

+

(3.141)

1 — ÊQ C 0 S 3 С

-b

о I V

причем

при e0 = 0 и a=b—r0

имеем переход к случаю шара

(3.64). В (3.141) первый интеграл вычисляется,

а

двойной

интеграл

может

быть

найден

только

численными

методами

при заданных a, b и р.0. Формула

(3.141)

не упрощается для

сильно

и слабо

вытянутых

сфероидов.

Рассмотрим постановку

задачи

на определение

дозы

гамма-

(3.142)

l

- l

где

г 2 = ( Г - + ѵ)2

— \)с\

Переход к центру сферической полости (3.66) выполняется

при

r'—c\,

a =

b — r0, с =

0.

Интеграл

в (3.142) может

быть

найден

только

численными

мето­

дами при заданных

a, b и |х0. Мож­

но также поставить и исследовать

задачи на гамма-излучение объем­

но-радиоактивных вытянутых полу­

сфероидов и объемно-радиоактив­

ных вытянутых

полусфероидальных

полостей.

Рассмотрим

еще постановку за­

дачи о гамма-излучении объемно-

радиоактивного

сплюснутого

сфе­

роида.

Эта

задача

тоже

является

сложной и должна быть предметом

отдельного

исследования. Сначала

Рис.

24

рассмотрим

постановку

задачи на

определение

дозы

гамма-излучения

в точке, находящейся на поверх­

ности объемно-радиоактивного сплюснутого

сфероида (рис. 24),

при

однородной

начальной

объемной

плотности

заражения

риситет

близок

к единице,

т. е. е0 =

(1 —Д), где

Д — малая

величина; и в случае слабо

сплюснутого сфероида,

для

кото­

рого

эксцентриситет

близок

к нулю. С помощью (3.54), при­

ложения

2 и рис. 24

получим,

что в

точке M доза гамма-

излучения

а

Д,-ВЫ,*]

d<.\d*l

+

(3.143)

•

0 - 1 0

где

r 2 =

[с2(Са — [X2) +

b2 + с2

— 2ЬсѴ(С2

+ 1 ) (1 — ^2 ) sin <p];

b —

большая

полуось; а— малая

полуось;

с — полуфокусное

рас­

стояние;

С, р и

ф — сплюснутые

сфероидальные

координаты

элемента

объема

dV.

Тройной интеграл (3.143) может быть найден только

чис­

ленными методами при заданных

Ь, а, JA0 . Если сфероид

сильно

сплюснут,

то

г2 =

(2с 2 — с2

(А2 — 2сгѴ^—

fj.3 sin q>),

и

(3.143)

несколько

упрощается,

так

как

можно

выполнить

интегриро­

вание

по dl.

Для случая

слабо

сплюснутого

сфероида

г2 =

= [ о 2

4 - с Ч 2

— 2ôc]/(C 2 +

1) (1 — JA2 )sinф],

а

переход

к случаю

шара

(3.64) требует

довольно

сложного

преобразования

сфе­

рических

координат.

С

помощью

(3.54), приложения 2 и

рис. 24

получим,

что

в точке N доза

гамма-излучения

Д , = 2 . W

j

Г e-^V + Wo

|

( З Л 4 4 )

где іл=\Ьг

— 2ас С JA -f- с2 (С2 — JA2 )].

Двойной

интеграл

в

(3.144)

может быть найден только путем

численного

интегрирования

при

заданных

Ь,

а,

[х0. Если

сфероид

сильно

сплюснут,

то

г2

=

с2 (1 — (А2 ),

и (3.144)

принимает

вид

д , = 2„алѵ

ѵ Т д

1

,з . 1 4 5 )

f

^

j

^

^

y

^

,

.

О

-1

В

(3.145)

можно

выполнить

интегрирование по di,

так что

с

достаточной

точностью

Д,

=

2ъВЫ,сУ2Л

Iе

.

(3.146)

но

интегрирование

по rfjA может

быть

выполнено

только

чис­

ленно

при

заданных с

и

JA0 . Для

случая слабо

сплюснутого

сфероида

г2

=

(Ь2 — 2ас С JA + с2

С2),

и

переход

к

случаю

шара

(3.64)

происходит,

если

положить

ô = a = r 0

,

г' = с С,

с = 0

и

[А =

cos ft. С

помощью

(3.59)

можно

написать

и

проанализи­

ровать формулы для интенсивностей

гамма-излучения

в

точ­

ках

M к

N.

Для

определения

доз

и интенсивностей

гамма-излучения

в точках M а N можно применить также третий способ, пред­

ложенный в § 29. На основании (3.139) получим, что в точке M

доза

гамма-излучения

ь

•

,

ь

2ic

;

(&2

—

dy

,

(3.147)

-ь

о

L

V

1 —

э о

COS2 tp

Дл

= 2 * BN A J f i l m t e - г) ] dz —

1-е

— а

причем при a = b = r0

имеет место переход к случаю шара

(3.64), как и должно

быть. Для сильно

сплюснутого

и слабо

сплюснутого

сфероидов (3.147)

и (3.148) не упрощаются. Заме­

тим, что,.в

(3.147)

и

(3.148) первые интегралы вычисляются,

а вторые могут быть

найдены

только

численными

методами

при заданных

b, a,

| А 0 .

Рассмотрим

постановку задачи на определение дозы гамма-

где /-2 =

с2 (С2 — [л2 + 1)- Переход к случаю центра сферической

полости

(3.66)

имеет

место при

a = b=r0,

cl =

r', с = 0.

В

заключение

следует

добавить,

что возможно

поставить

и

исследовать

задачи на гамма-излучение

объемно-радиоак­

сплюснутых

полусфероидальных полостей.

§

33. Уточненная теория

гамма-излучения

поверхностно-радиоактивного тела

[6, 10]

Изложенная

в § 24 теория

гамма-излучения

поверхностно-

радиоактивного

тела может

быть

заменена другой теорией,

щие в основе

теории,

изложенной

в

§ 24,

сохраняются

и в уточненной

теории,

но толщина

d—d(x', у',

z')

поверх­

ностного

слоя вещества,

содержащего

радиоактивный

изотоп,

считается

конечной величиной во всех

точках

поверхности

вообще говоря, различна в разных

точках поверхности

тела,

но

в

частном

случае, который рассматривается в

дальнейшем,

ее

можно считать

постоянной,

т. е. d = d0.

Пусть

в

момент

£ = 0

поверхность

тела,

изо­

браженного

на рис. 25, покры­

вается тонким слоем вещества,

содержащего

радиоактивный

изотоп.

Начальная

объемная

плотность

заражения

N0(x',

у',

z' )

атомов

В мо-

t

см3

мент

объемная

плотность

заражения,

очевидно,

дается

(3.47),

удельная

объемная

активность

поверхностного

Рис.

25

с л о я - ( 3 . 4 8 ) ,

а

(3.49)

пред­

ставляет

собой

мощность

эле­

ментарного

объемного

источника

моноэнергетического

гамма-