Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Федюшин Б.К. Ядерные излучения тел различной формы. Основы теории

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

а для теории Спенсера и Фано по (3.58) с помощью (3.20) будем иметь, что

		/ = - ^ ^ - [ A ; s 1	+ A â s J ,	(3.61)
где	S 1 = S ( ^ 1 ) ,	S 2 =S(^ 0 2 ) , ^ =	^ ( 1 + ^ ) , ^ 2 = ^ o ( i + a ; ) .
Все сделанные выше количественные выводы о соотноше
нии	гомогенных	и истинных доз гамма-излучения		сохраняют
силу	и для соотношения гомогенных и истинных			интенсивно-

стей гамма-излучения. Таким образом, для определения гомо генной интенсивности гамма-излучения нужно прежде всего

вычислить интеграл (3.59). Тогда			определение	гомогенной
интенсивности гамма-излучения не			представляет	трудностей
для	всех	известных теорий прохождения гамма-излучения
через	вещество.
	§	27. Некоторые примеры	[6—8, 10, 22,	23]

Проиллюстрируем только что изложенную теорию приме рами, связанными с плоской, сферической и цилиндрической симметрией. Для объемно-радиоактивного бесконечного пло ского слоя толщины h при однородной начальной объемной плотности заражения на основании (3.54) получим

го	(3.62)

если точка расположена на поверхности слоя. Когда точка "расположена внутри этого слоя, то с помощью (3.62) и адди тивности дозы получим, что

	дт =д7 (р.0 //) + д т Ы А - я ) ] ,										(3.63)
г д е / / — р а с с т о я н и е внутренней точки							от нижней		поверхности
.слоя.
Функция Кинга в (3.62) определяется (1.91). Для объемно-
радиоактивного		шара радиуса			г0	при	однородной			начальной
объемной плотности			заражения (3.54) дает, что
		Po	1-	2цоГ0		(1—е~2 ^г «)					(3.64)
если точка	расположена-			на	поверхности			шара,	Если		точка
расположена	внутри		шара,	то	(3.54) дает,			что
		Po
4РоЯ [е-Ы'.-*)		[ 1 + H(r0-R)]			— е - м « + г о )			[ і+ ^	+	г„) ] ]	+

100

+ ^ 4 ° о / 2 ) [ЕЫгог-R)] -Е.Ыго + (3.65)

где	R — расстояние	внутренней точки от центра	шара.	Заме
тим,	что (3.63) при	Н=Іі превращается в (3.62),	а (3.65)	при
R=r0	— в (3.64), как и должно быть. В центре		шара
	д і = = _ t î L Ë ^ ( i _ _ e - l l . r . ) .			( 3 . 6 6 )

Формулы (3.64) и (3-65) можно получить на основании (3.54), введя сферические координаты. Наконец, для объемно-радио активного бесконечного цилиндра радиуса г0 при однородной начальной объемной плотности заражения получим с помощью

(3.54), что

Л т = 4 5 / Ѵ 0 | р ^ р J ^ c p j e ~ ^ d z ,

(3.67)

ОО О

где г 2 = (rg + р2 + z2 — 2r0р cos ф).

Тройной интеграл по цилиндрическим координатам в (3.67) может быть найден только численными методами при задан ном г0. Формула (3.67) применима и к объемно-радиоактивной бесконечной цилиндрической полости, но тогда г2 = У?2 -j-р2 + г 2 — 2R р cos ф, где R — расстояние внутренней точки от оси

полости. На оси полости

		.2 л
J	и	(3.68)
J	и

Но Го

причем интеграл (3.68) может быть найден только численными методами при заданном роГ0. Можно написать также выраже ния для Д т ш и Д5"а х , как в § 25. Однако их определение будет сводиться к нахождению двойных интегралов с помощью чис ленных методов.

Для объемно-радиоактивного бесконечного плоского слоя толщины при однородной начальной объемной-плотности зара жения получим на основании (3.59), что

' = ^ П - [ е ^ ' А - М А ( М ) ] } .

(3-69)

если точка расположена на поверхности слоя. В (3.69) А опре деляется (3.48). Когда точка расположена внутри этого слоя, то гамма-облучение площадки, помещенной в рассматриваемой точке, будет двухсторонним. Если облучаемая площадка параллельна поверхностям слоя, то на основании (3-69)

Л ^ / ^ о Я ) , / а =		/[\|*0 (А — Н)},		(3.70)
где И—расстояние	внутренней	точки	от нижней	поверхности
слоя; /(—парциальная интенсивность,			создаваемая	слоем тол-

101

щины H; /2 —парциальная интенсивность, создаваемая слоем толщины {h — H). Для объемно-радиоактивного шара радиуса г0 при однородной начальной объемной плотности заражения с помощью (3.59) получим, что

1 = 4 Ко 1 + - Ко /"о	(1-	-2	\|»о г0	(3.71)
		-2	\|»о г0

2 Ко'о

если точка р.асположена на поверхности шара. Когда точка находится внутри этого шара или внутри объемно-радиоактив ной сферической полости, то гамма-облучение площадки, рас положенной в рассматриваемой точке, будет двухсторонним. Если облучаемая площадка перпендикулярна к радиусу шара или полости, то на основании (3.59) автором было найдено после громоздкого интегрирования, что

Ав

Ы г\ -

R*f\E^Y

rl-R*) -E1[v.0{R

r0)]]

+ Ko

16/?2

g-Fo(^ +r„)j

M ^ - Я 2

) 2

[ЕіЫго

-R)]-

Е^У

r\ -

R2))

16/?2

4R2

+ ir. +

R)*[r.-R-±\

±lr,-R+

1 Ko

e-Mn-R)\

(3.72)

где

—расстояние

внутренней

точки

от центра

шара

или

сферической

полости;

1Х

— парциальная

интенсивность,

созда

ваемая

большей

частью объема шара или сферической полости;

/ 2 — меньшей

частью. На поверхности

шара

или

сферической

полости,

т.

е.

при

R — r0,

1Х определяется

(3.71),

/ 2

= 0.

В центре

шара

или сферической

полости

1 =

Ав

°).

(3.73)

4 Ко (1 — е~»*

Для объемно-радиоактивного бесконечного цилиндра радиу са г0 при однородной начальной объемной плотности зараже ния (3.59) дает, что

Г„	2 к	оо
/ = ^ r j	PdP J (ro — pcosq>)afq>	j — — dz,	(3.74)

102

где r = ( r g - ( - р 2 - f z 2 — 2r0pcoscp), и точка расположена на по верхности цилиндра. Если точка находится внутри этого цилиндра или внутри объемно-радиоактивной бесконечной ци линдрической полости, то гамма-облучение площадки, распо ложенной в рассматриваемой точке, будет двухсторонним. Ес

ли облучаемая

площадка

перпендикулярна

радиусу цилиндра

или

полости, то

на

основании

(3.59)

можно найти,

что

A = -4^-J

prfp

(R~

? COS ф) ci ф

±-^—dz,

tp0

—CO

Г °

-V-

(3.75)

/ 2 = ^ T I P ^ P

( р с о э ф - R ) d ^ ^ - d z ,

где

определяется

как

(3.74),

но

га

заменяется

на

Ф0 =

агссоз—;

А: — расстояние

внутренней

точки

от

оси

ци

линдра

или цилиндрической

полости.

Парциальные

интенсивности

Іх и Д

имеют тот

же

смысл,

что и для шара или сферической полости. На поверхности

цилиндра	или	цилиндрической		полости,	т. е.	при / ? = г 0 ,
Іу определяется		(3.74), а І2 = 0.		На оси цилиндра		или цилинд
рической	полости
		Гп	со	.
	/ 1 = / 2 = A l j p 2 r f p			е	ä z >	(3.76)
причем при (і =		0 /і = / 2 = —-—.

Можно определить минимальное и максимальное значения интенсивности, как это было показано ранее для дозы гаммаизлучения. Заметим, что при отсутствии ослабления (3.74)

и(3.75) интегрируются в элементарных функциях, как

ив (3.67).

§28. Гамма-излучение поверхностно-радиоактивного

полушария [6]

В литературе рассмотрено довольно много задач на опре деление дозы и интенсивности гамма-излучения поверхностнорадиоактивных тел различной формы с помощью (3.19) и (3.27), а также на определение дозы и интенсивности гамма-излучения объемно-радиоактивных тел различной формы с помощью (3.54) и (3.59). Решение подобных задач во многом зависит от искус

ства интегрировать			по поверхности	или по	объему.	Однако
в	литературе	отсутствует решение		некоторых	важных	задач,
а	некоторые уже решенные задачи требуют				дополнительного
исследования.		Так	например, отсутствует		решение	задач

103

на определение дозы и интенсивности гамма-излучения для поверхностно-радиоактивных и объемно-радиоактивных полу шария, вытянутого сфероида, сплюснутого сфероида, шарового сегмента и шара, от которого отрезан сегмент. Задача на опре деление дозы и интенсивности гамма-излучения для объемнорадиоактивного шара исследована недостаточно.

Рассмотрим задачу на определение дозы и интенсивности гамма-излучения для поверхностно-радиоактивного полушария радиуса г0 , изображенного на рис. 11, при однородной началь-

Рис. и

ной поверхностной плотности заражения. Из рис.					11	легко
найти, что
г2 = Я 2 + r 2 - 2 / ? r 0 c o s & ,
& m a x = arccos-^-,						(3.77)
RÎ = R2	+ го -	2Rr0 cos ft0,
где R — расстояние от центра		полушария до		внешней		точки;
—>	подстилающей		плоскостью,		т. е. пло
&о — угол между R и	подстилающей		плоскостью,		т. е. пло
скостью, на которую опирается полушарие.				Кроме	того, из
рис. 11 можно найти, что
tg &о COS ь			tg &о	= = - .	, 0	_ о ч
Ф0 = arccos *	= arccos —		* 0	= = - .	(3.78)
у 1 — cos 2 »		/ (	2Rr0	) 2
		У	\R2 +	rz0-r*<

104

Определим сначала дозу гамма-излучения. Согласно (3.19) получим, что

	Дл = Вп0^			= 2Bn0rl X
		AS
Э0	_ ( 1 Г	*	-max		(3.79)
X j ' - ^ — s i n & r f ô \| , û f c p +			j	-£-_S in&ûr&JаГф	(3.79)
.0		0	&„	<»„(») _

так как dS = rgsln &ûf &rfcp. Интегрируя в (3.79) по ûfcp и заме няя интегрирование по db интегрированием по dr с помощью первой формулы (3.77), получим, используя (1.90), что

д^^1р^{ЕМ^-г^Е^УЖЩ-^К. (3.80)

где

	-Ѵ-г
К=	f ±—%(f)dr.	(3.81)

До

Формула (3.80) является решением первой части задачи. Первый член в (3.80) согласно (3.32) представляет собой дозу гамма-излучения во внешней точке от поверхностно-радиоак тивного шара. Второй член в (3.80) согласно (3.81), (3.77) и (3.78) является функцией параметра Ь0. При & 0 = 0 по (3.78)

Фо= у - и по (3.77) R0=(R — r0), так что

К ^ ^ І Е ^			- г	^ - Е ^ У		Ж	^ }	,		(3.82)
а при ô0 = & m a x	К=	0, так как в этом				случае		RQ = ]/7?2		— г§.
Таким образом,	если идти			от вершины полушария к					подсти
лающей плоскости,		то доза		гамма-излучения во внешней точке
при - ^ -<& 0 <arccos- ^ - остается					постоянной			и равной		дозе
гамма-излучения (3.32) от				шара,	а затем		постепенно		спадает
от даваемой (3.32) до вдвое меньшей						при ô 0 =		0.
Определим теперь интенсивность гамма-излучения. Соглас
но (3.27) и (3.79) получим				после	несложных			преобразований,
что
I = J i r		1	^	с м Ѳ і г -		^	- І ,			(3.83)
		Д - Г 0
где І0 определяется		(3.30), а
				• cos Qy0(r)dr,						(3.84)
		До

105

причем из рис. 11

	РЗ J_ ,-2	г2
созѲ =	\ R f	0 .	(3.85)

Формула (3.83) является решением второй части задачи. Первый член в (3.83) представляет собой интенсивность гаммаизлучения во внешней точке от поверхностно-радиоактивного шара, даваемую (3.39). Второй член в (3.83) согласно (3.84), (3.77) и (3.78) является функцией параметра &0 . Когда &0 = 0, то по сказанному выше

	L = -Y	j - ^ - ^ с о э Ѳ ^ г ,		(3.86)
а при ö 0	= ö m a x 1 = 0 . Поэтому если		идти от вершины	полу
шария к	подстилающей	плоскости,	то интенсивность	гамма-

излучения во внешней точке п р и ô 0 < arccos— остается

постоянной и равной ин тенсивности гамма-излуче ния (3.39) от шара, а затем постепенно спадает от да ваемой (3.39) до вдвое меньшей при ft0 = 0.

Рассмотрим еще задачу на определение дозы гам ма-излучения . для поверх ностно-радиоактивной полу сферической полости ра диуса г0 при однородной начальной поверхностной плотности заражения. Про-

Риг 12

анализируем сначала воп рос об определении дозы гамма-излучения во внутренней точке, изображенной на рис. 12.

Легко показать, что Ro — R2 + z2 и

г2 = R2 + z2 + г\ - 2/?г0 sin Ь cos ср — 2zr0 cos &,

(3.87)

где R — расстояние внутренней точки от оси апликат; 8- и ф — соответственно полярный угол и азимут элемента поверхности dS = r\ sin Ь dЬ d ф. На основании (3.19) получим, что доза гамма-излучения во внутренней точке равна

R^Bn^dy]	,	(3.88)
о	*/,

где г определяется (3.87). Двойной интеграл в (3.88) может быть найден только численными методами при заданных ц,

106

R, z и Го. Однако		при R = 0, когда	внутренняя точка лежит
на оси	апликат, двойной интеграл в		(3.88) вычисляется, и доза
гамма-	излучения	будет

Д 1 = 1 1 | р {

А И г 0 - | г | ) ] - Е ^ Ѵ Л + Щ ,

(3.89)

так

как для

внутренней

точки 2 < 0 .

центре полости

2 = 0,

и по правилу Лопиталя

получим, что

Д1 = 2«Вп0е-*',

(3.90)

а на

поверхности

полости

|z| = r0 ,

доза

гамма-излучения

обращается

в бесконечность, как и должно быть согласно §'24.

При

2 =

когда

внутрен

няя точка лежит на оси

абсцисс,

двойной

интеграл

в (3.88) может быть найден

только

численными

мето

дами

при заданных

JA,

Г 0

и R,

причем

при R = 0 по

лучим

(3.90), а при R =

доза гамма-излучения об

ращается

бесконечность.

Проанализируем

теперь

вопрос об определении до

зы

гамма-излучения

во

внешней

точке, изображен

ной

на рис. 13. Легко по

казать, что

(3.87)

остается

справедливым. Заметим,что

для

рассматриваемой

внеш

ней

точки 0 < / ? < г 0

и 0 < 2 <

Рис.

< о о .

Доза гамма-излучения

по-прежнему дается (3.88).

При

R=0,

когда внешняя

точка лежит

на оси апликат,

доза

гамма-излучения определяется (3.89), где \z\

заменяется

на z,

так

как для

внешней

точки z > 0. При r0=R,

когда внешняя

точка

лежит

на оси,

параллельной оси

апликат и удаленной

от нее на расстоянии

г0 , а также при

z — 0,

когда внешняя

точка

лежит

на оси

абсцисс, двойной интеграл (3.88) может

быть

найден

только

численными методами соответственно при

заданных JA, r0, Z И [А, Г 0 , R. '

§ 29. Исследование задачи о гамма-излучении объемно-радиоактивного шара [6—8, 10, 22, 23]

Задача на определение дозы и интенсивности гамма-излу чения для объемно-радиоактивного шара или объемно-радио активной сферической полости из литературы известна уже

107

давно, но исследована она, по нашему мнению, недостаточно. Для дозы гамма-излучения на поверхности и внутри шара

существуют формулы (3.64) и (3.65), а для интенсивности

гамма-

излучения

на

поверхности

шара — формула

(3.71).

Формулы

(3.72) для

парциальных интенсивностей

получены автором.

Рассмотрим

подробно

зада

чу

на

определение

дозы

и интенсивности гамма-из

лучения

во внешней

точке

для объемно; радиоактивно-

го

шара

и установим

неко

торые

ее

свойства,

имею

щие,

по

нашему

мнению,

практическое значение.

За

метим, что эта задача в

рамках элементарной

теории

ослабления мож-ет быть ре

шена

тремя

способами.

Рис. 14

Первый

способ

заклю

чается

в том, что

начало

координат

выбирается

во

внешней

точке. Это изображено на рис. 14. На основании (3.52)

и (3.54) для элементарной теории ослабления

при (гх-{- r2 ) — R,

ri=(R—

Ri)

и г 2 = £ ? 1 доза

гамма-излучения во внешней

точке

будет

arccosa

ff,

Ді=2ъВ

J slnbdb

j N0e-^-*Je-»x-dR,

(3.91)

0ff,

аинтенсивность гамма-излучения согласно (3.57) и (3.59) при тех же условиях равна

	arccosa			R,			(3.92)
							(3.92)
І=2ъС	j cosôsin&rffl ^					N0e-№-RJe-^'dR,
	0			ff,		sin 9-, R при заданном
так как $ = Ѳ . Из рис.			14 £ =			sin 9-, R при заданном	& изме
няется от Rt = AM		до Re		= ВМ,		причем
	AB = R2	— Rx		= 2#0	]/cos2 Ь — а2,		(3.93)
						я2 ,
	r2=Rl		+ R2 —			2RR0cosb.

Формулы (3.91) и (3.92) являются основными. В частности, они годятся при любом центрально-симметричном распределе нии начальной объемной плотности заражения, т. е. при УѴ0= = N0(r). Для случая однородной начальной объемной плот-

108

ности заражения	и вакуума (р. —0) (3.91) и (3.92) упрощаются
и принимают вид
	arccosя
Ho	0
/ = 2 * C N °	arccos a	(3.95)
/ = 2 * C N °	f [ l _ e - 2 ^ Ä . V c o s » » - « > ] c o s f t s l n o d f t >	(3.95)

Интеграл (3.94) вычисляется только при a = 0, т. е. для случая, когда внешняя точка лежит на поверхности шара. При этом получается (3.64), как и должно быть. Интеграл (3.95) вычисляется при всех значениях а, так что

CNQ 1__а2 _\|_ -J—!/ 1 _ а 2	е -2^ЯоѴТ^"__
\х0
1	(3.96)
	(3.96)

причем при а = 0 получается (3.71), как и должно быть. Если можно не учитывать самоослабление гамма-излучения, т. е. его ослабление в самом шаре, (р0 = 0), то (3.91) и (3.92) дают

arcoosa Я,

Д т = 2 * £				j	slnôaf» JN0e-**>dR,				(3.97)
				о		J?,
		arccos a				Яі
I =2%		С	j	cosôsin&rf& j			N9e-v-bdR.		(3.98)
			0			Д ,
Так как из рис. 14 следует, что /?1 =/^0 [cos 9-—]/cos2 &—а2 ],
то (3.97) и (3.98) для				случая однородной начальной объемной
плотности заражения				принимают с учетом (3.93) вид
		arccos а
/7Т = 4 * £ Л У ? 0		J	e-v-*°tcos8-/cosaa-Œ=				]Kcos2	& — a2 sin & » ,
и		°	\						(3.99)
и	arccosа
	arccosа
/ = 4 і с С Л у ? 0	j		g-p.«.[cosa-/«»« »-«.]				c o s 2 &	_ a2cos * sin Ô
									(3.100)
причем интегралы в (3.99) и (3.100) вычисляются									или при а = 0,
или при jj. =	0.	Наконец,			если	коэффициенты ослабления гам
ма-излучения	в веществе				шара	и в окружающей			среде одина-

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ