книги из ГПНТБ / Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие

ка сумме скоростей среды и и скорости звука а в данной точке. Чем больше давление в рассматриваемой области, тем больше и + а. Давление среды в точке 1 больше, чем в точке 2. Поэтому «i + a i> ti2+ Ö2 - Если рассматриваемая волна сжатия является зву­ ковой и амплитуда ее очень мала, то разница скоростей движения возмущения от точек 1 и 2 также невелика и форма волны по мере'

Рис. 5-3.

ее распространения меняется незначительно. Однако уже для силь­ ных звуковых волн эта деформация становится ощутимым. Области большего сжатия — гребни волн — распространяются быстрее, а области меньшего сжатия, наоборот, отстают. Волна постепенно изменяет свою форму: участки нарастания давления становятся все

сама себя. Это явление аналогично тому, которое наблюдается-при набегании морских волн па пологий берег, когда основание волн тормозится трением о грунт, а гребни движутся с большей ско­ ростью. Для сильных звуковых волн выбегание гребней вперед при­ водит к изменению тембра звука: появляются гармоники более высоких частот. Чем больше амплитуда волны сжатия, тем больше разница величин и + а для различных точек волны и тем быстрее происходит такое изменение ее формы. Выбегание гребней вперед и отставание впадин не может продолжаться бесконечно, иначе форма волны должна была бы принять вид, изображенный кри­ вой с на рис. 5-3. Пунктирная кривая, соответствующая этому слу­ чаю, определяет неоднозначную зависимость давления в волне, т. е. в одной и той же точке пространства должно одновременно наблюдаться несколько значений давления. Это физически невоз­ можно. Поэтому изменение формы волны сжатия заканчивается тем, что участок кривой, соответствующий подъему давления, пре­ вращается в вертикальный отрезок, т. е. образуется резкая перед­ няя' граница зоны сжатия или фронт ударной волны, распростра­ няющаяся со скоростью, большей скорости звука в невозмущенном газе. При дальнейшем распространении волны ее структура с рез-

50

RUM фронтом остается устойчивой. Если даже по какой-то причине фронт ударной волны разрушится, например повышение давления от р ] до р2 произойдет не одним, а двумя скачками, то второй ска­ чок, движущийся в среде, сжатой и приведенной в движение пер­ вым скачком, догонит его и снова образует единый фронт.

Такая устойчивость фронта ударной волны приводит к тому, что фронт будет сохраняться на всем пути движения волны до тех пор, пока ударная волна не ослабнет и не превратится в звуковую. Чем сильнее волна, тем больше скорость фронта превышает ско­ рость звука в невозмущенной среде. При ослаблении ударной волны по мере ее удаления от источника скорость движения фронта уменьшается и на больших расстояниях, где ударная волна на­ столько слаба, что мало отличается от звуковой, скорость фронта приближается к скорости звука.

Сверхзвуковая скорость движения границы волны сжатия воз­ можна только при условии, если у этой границы резко изменяются параметры среды. В противном случае при плавном изменении параметров среды, у границы волны начальный участок подъема давления должен был бы распространяться со скоростью звука. Ударные волны имеют большое значение в различных областях, особенно в последние годы в связи с бурным развитием техники (космические полеты, сверхзвуковые летательные аппараты, тепло­ вые двигатели, ядерное оружие и др.). Одновременно они представ­ ляют значительный теоретический интерес. Там, где попытки интегрирования уравнений газовой динамики без введения разры­ вов (ударных волн) приводят к парадоксам и к невозможности ре­ шения уравнений, теория ударных волн разрешает парадоксы и позволяет сконструировать режим движения при любых условиях.

Перейдем к изучению соотношения параметров на фронте удар­ ной волны.

§5-2. Основные уравнения для фронта ударной волны

'Рассмотрим картину движения фронта ударной волны (рис. 5-4). Пусть невозмущенная среда характеризуется давлением р0, массо­ вой плотностью Ро, температурой Т0 и скоростью Uо=0. Параметры газа «а фронте ударной .волны обозначим соответственно рф, рф,

иПф, а скорость фронта по отношению к иевозмущенной среде D. За время Ат фронт волны перемещается на расстояние ПДт, а ча­ стицы газа, находившиеся в начальный момент времени то во фрош те волны, — на расстояние Е7фДт. Среда, занимавшая при т0 слой

от 0 до £/ф. Будем записывать соотношения для единицы площади фрощ*а волны. Масса среды в слое, толщина которого изменилась от ПДт до (D — Ц,) Дт, осталась неизменной:

p0DA~ = рф (D — Uф) Д т.

Таким образом, имеем уравнение сохранения массы или нераз­ рывности:

Масса вовлеченного в движение газа составляет р0/Мт, а при­ обретенное этой массой количество движения вследствие увеличе­ ния скорости от нуля до 0ф равно р0£)Дт£Уф. Это изменение коли­ чества движения произошло под действием разности давлений рф— р о за время Дт. Поэтому уравне­

Яние изменения количества дви­

52

Изменение энергии слоя произошло в результате работы внеш­ ней /?ф Силы на расстоянии 1 7 . Поэтому будем иметь уравне­ ние энергии в виде

Подставляя в последнем уравнении к = — и производя неслож­ ные преобразования, получаем

Уравнения неразрывности (5-1), количества движения (5-2) и энергии (5-3) содержат четыре величины, характеризующие фронт ударной волны: рф, рф, І7ф и D. Задание любой из этих величин однозначно определит остальные с помощью этих трех уравнений. Таким образом, между газодинамическими параметрами на фронте существует однозначная связь, выражающаяся в виде алгебраи­ ческих соотношений.

§ 5-3. Основные соотношения между параметрами на фронте ударной волны

Произведем некоторые преобразования выведенных уравнений. Определяя £7ф из уравнения (5-1) и подставляя его значение

Эти выражения дают связь между параметрами на фронте, но такая связь дана в виде неявных функций.

53

от Рф в явной форіме іи поэтому удобны для расчетов.

Для ударных волн, распространяющихся в воздухе при стандартных условиях, имеем: ро=Ю321 кГ/м2, Т 0 = 288“ К, ро=0,125 кГ • сек2/м4, к=1,4, ао= 342 м/сек. Подставляя эти значе,- ния в выражения (5-6) —(5-10), получаем расчетные формулы (давления в кГ/см2) \

54

При выводе уравнений, связывающих значения параметров газа во фронте'ударной волны, использовались лишь общие законы сохранения массы, количества движения и энергии и уравнение

состояния газа, а также предполагалось постоянство к = — .

Поэтому полученные результаты должны быть справедливы при всех условиях, когда можно считать справедливым характеристи­ ческое уравнение и постоянство к. Это означает, что полученные соотношения должны достаточно хорошо выражать связь между параметрами во фронте ударной волны независимо от вида, мощ­ ности и формы источника ударной волны и формы поверхности фронта. Правильность этих соотношений подтвердилась при экспе­ риментальном изучении ударных волн при различных скачках уплотнения, при взрывах обычных взрывчатых веществ и- при взрыве ядерных зарядов для давлений во фронте до нескольких десятков кГ/см2. Для больших давлений во фронте необходимо учитывать изменение к вследствие заметного изменения тепло­ емкости, а также появления диссоциации газа.

§ 5-4. Дополнительные соотношения между параметрами на фронте ударной волны

Кроме полученных выше соотношений между параметрами на фронте ударной волны, удобных для определения всех параметров по Рф, можно получить еще ряд соотношений,- используемых при

55

Уравнения (5-2') и (5-7") определяют выражение для £/ф:

Может быть также получено алгебраическое уравнение, дающее

56

§ 5-5. Ударная адиабата

!

Выше было получено соотношение между плотностью и давле­ нием на фронте ударной волны (5-6), носящее название ударной адиабаты, или адиабаты Гюгонио. При рассмотрении обратимого адиабатного процесса с идеальным газом получают уравнение: адиабаты в виде

Это уравнение называют просто уравнением адиабаты, или уравнением адиабаты Пуассона.

При сравнении выражений (5-6) и (5-17) можно заметить, что они дают различную связь между плотностью и давлением. Выяс­ ним особенности этого различия.

При сжатии по адиабате Пуассона, как следует из уравне-

ния (5-17), отношение — неограниченно растет при неограничен-

5 7

Иными словами, при ударном сжатии увеличение плотности не

Из курса технической термодинамики известно, что при пере­ ходе газа от состояния, определенного давлением ро и плот­ ностью ро, к состоянию с р и р изменение энтропии определяется выражением (1-9):

Обратимый процесс сжатия на основании (5-20) и (5-17) идет при As = 0, т. е. при постоянной энтропии.

Выясним, как изменяется энтропия при ударном сжатии. Ока­ зывается, что при ударном сжатии всегда

В этом легко убедиться, произведя непосредствённый расчет. Докажем справедливость этого положения в общем виде. Опре­

деляя — из уравнения (5-6) и подставляя найденное значение

Ро

58

ведливость неравенств (5-25) и (5-21).

Вследствие выполнения неравенства (5-19) значение квадрат­ ной скобки в уравнении (5-20) всегда больше единицы и поэтому при ударном сжатии Д5>0, т. е. при ударном сжатии энтропия всегда возрастает.

Увеличение энтропии в результате ударного сжатия объяс­ няется необратимым характером изменения состояния газа. В ре­ зультате такого процесса часть кинетической энергии газа необра­ тимо переходит в тепло. При отсутствии теплообмена с внешней средой внутренняя энергия, а значит и температура, возрастает. Графики изменения плотности и температуры при изоэнтропичеокоім т ударном сжатии для газа к= 1,4 приведены на рис. 5-5.

При формальном распространении ударной адиабаты (5-6) на

случай разрежения ( — < 1 и — <1) на основании уравнения (5-20)

• Р о Ро 1

происходит процесс, идущий самопроизвольно с уменьшением энтропии. Это противоречит второму закону термодинамики. Следо­ вательно, уравнение ударной адиабаты к случаю разрежения не применимо. Иными словами, скачков разрежения в газовом тече­ нии быть не может. Это положение известно под названием теоре­ мы Цемпелена. Однако, как было показано выше, волна разреже­ ния с непрерывным падением давления представляет собой вполне реальное и устойчивое явление как для сверхзвукового, так и для дозвукового течения. Энтропия при переходе через такую волну остается неизменной.

Рассмотрим уравнение ударной адиабаты для слабой ударной

59