книги из ГПНТБ / Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие

тельно, если предположить, что две характеристики одного семей­ ства пересекаются в некоторой точке М, то это означает, что

в точке М производная-^—имеет два значения. На основании урав­

нений (4-2) или (4-5) в этом случае в точке М газ одновременно должен иметь разные параметры, что невозможно при предпола­ гаемой непрерывности движения. Таким образом, сближение и

40

характеристики во всей области, где энтропия остается постоянной, но это значение изменяется при переходе от одной, характеристики к другой.

Если какая-нибудь характеристика оказывается прямолинейной, то вдоль нее все параметры газа сохраняются постоянными. Для

стоянное значение во всей области. Для доказательства этого утверждения проведем на плоскости (х, т) две произвольные ха­ рактеристики второго семейства ЛС и BD. Вдоль каждой из них инвариант г остается постоянным:

Аналогично можно показать, что если некоторая характеристика второго семейства прямолинейна, то во всей области инвариант R сохраняет постоянное значение.

41

Наконец, можно сформулировать еще одно свойство характе­ ристик при изоэнтропическом движении: если известно, что одна характеристика прямолинейна, то прямолинейны все характери­ стики того же семейства. Для доказательства предположим, что прямолинейна характеристика первого семейства AB (рис. 4-2), вдоль которой инвариант R x остается постоянным. Тогда, согласно предыдущему, во всей области инвариант г (4-9) остается постоян­ ным. Его значение может быть определено по параметрам, соот­ ветствующим известной характеристике. Возьмем произвольную характеристику первого семейства CD (рис. 4-2). Вдоль нее инва­ риант Ro остается постоянным. Таким образом, для любой точки характеристики CD одновременно выполняются соотношения

и а. Поэтому во всех точках характеристики CD параметры w и а

ние. Следовательно, эта характеристика прямолинейна. Так как характеристика CD произвольна, то все характеристики первого семейства прямолинейны.

Зная соотношения на характеристиках п их свойства, можно решать задачи о неустановпвшемся движении газа.. Остановимся на некоторых из них.

§ 4-4. Волна разрежения в трубе

Рассмотрим движение, возникающее в полубесконечной трубе (рис. 4-3) справа'от поршня при движении поршня влево. Будем считать, что в начальный момент времени т0 = 0 поршень находится в точке с X —0, его скорость w n = 0 и во всей трубе параметры имеют одно и то же значение ро, р, ао, w0 = Q. Пусть скорость порш­ ня, имеющая при т> 0 отрицательное значение, по абсолютной величине непрерывно увеличивается. Расстояние, пройденное порш­ нем за время т, вычисляется по формуле

щие неустановившееся движение в трубе. При этом частицы газа, непосредственно прилегающие-к поршню справа, двигаются со ско-

•42

ростыо поршня. Это будет выполняться во всех случаях, когда скорость поршня не более местной скорости звука в газе у поршня. При очень больших скоростях поршня произойдет отрыв поршня от газа. Такое движение рассматривать не будем. При движении

являющаяся характеристикой первого ■семейства. Эта характе­ ристика прямолинейна. Следовательно, все характеристики первого семейства также будут прямолинейными. Кроме того, во всей области инвариант Римана г сохраняется постоянным:

43

При принятом законе движения поршня -zc^ < 0 и уменьшается с увеличением і. Поэтому.

и первое семейство характеристик в рассматриваемом случае пред­ ставляет собой пучок расходящихся прямых, как это показано на рис. 4-3.

Для каждой точки на линии / известно w i и о;. Эти значения сохраняются вдоль всей характеристики, проходящей через эту точку. Проводя достаточно густой пучок характеристик, будем иметь значения w и а для любой точки плоскости (х, т). Для по­ строения зависимости w и а от т для точки на расстоянии х про­ ведем через нее вертикальную прямую. Пересечение этой прямой с соответствующей характеристикой с параметрами w t и aL и опре­ делит момент времени тд в который в точке х будут указанные параметры.

Для изоэнтропического течения w и а однозначно определяют все остальные параметры. Отнеся их к параметрам торможения, получим

Таким образом, получено полное решение рассматриваемой за­ дачи о нестационарном движении газа при заданных начальных и граничных условиях.

§ 4-5. Пример расчета волны разрежения в трубе

Построить диаграмму х, х для неустановившегося движения воз­ духа, возникающего в трубе при рассмотренных в настоящем пара­ графе начальных и граничных условиях, а также графики измене­ ния всех параметров на расстоянии х = \ м. Скорость поршня w n= — 5000т. Принять к= 1,4 (рис. 4-4).

1. Строим график перемещенйя поршня:

х„ = I" w„dx — — 2500т2.

Ь

2. Для определения точек 0, 1, 2 и 3 на линии х п задаемся мо­ ментами времени т^ : 0; 0,01; 0,02; 0,03.

44

3. Дальнейший расчет для выбранных точек 0, 1, 2, 3 ,... н соот­ ветствующих им характеристик удобно вести в виде таблицы.

\

4.Графики изменения всех'параметров на заданном расстоянии

по данным проведенного расчета показаны на рис. 4-4 и 4-5.

§ 4-6. Волна сжатия в трубе

Рассмотрим движение, возникающее в полубесконечной трубе для условий предыдущего параграфа, но только при движении поршня вправо (рис. 4-6). Пусть скорость поршня непрерывно уве­ личивается от нуля. Производя построения в плоскости (X, т) ана­ логично предыдущему, получим кривую ->crJ = /"(х), характеризую­ щую движение поршня, и точки на ней 0 ,1, 2, 3 ,... , через которые

45

проведены характеристики первого семейства. В данном случае скорость -Wj растет с увеличением т. Поэтому

Следовательно, в рассматриваемом случае первое семейство характеристик представляет собой пучок сходящихся прямых, как это показано на рис. 4-6, которые пересекаются. ■Последнее озна­ чает, что в течении появляется разрыв непрерывности изменения параметров — образуется удар­ ная волна. Граница перехода по­ коя в движение искривляется.

Теперь она уже характеризует движение фронта 'ударной волны. Уменьшение наклона этой грани­ цы означает тенденцию к росту интенсивности ударной волны, вызываемой ускоряющимся дви­ жением поршня. Картина дви­ жения усложняется. Усложнение еще более увеличивается вслед­ ствие того, что прохождение ударной волны вызывает увели­ чение энтропии газа и анализ

движения должен производиться с учетом этого изменения. Возни­ кает необходимость изучения соотношения параметров на фронте ударной волны, или в скачке. Использование этих соотношений позволяет вести дальнейший расчет неустановившегося движения методом характеристик.

§ 4-7. Понятие о расчете неустановившегося движения методом характеристик

Выше мы получили представление о решении задачи неустано­ вившегося движения газа при постоянной энтропии с помощью характеристик. Постоянство' энтропии и прямолинейность характе­ ристик одного семейства сделали решение простым и эффективным. Отсутствие этих условий приводит к значительному усложнению.

Рассмотрим, как может решаться задача об одномерном движе­ нии в общем случае. Обратимся к плоскости (х, т), в которой в точ­ ках 1 и 2 известны все параметры движения:

для Х\, Х\ имеем аь W\, Ѳь |і, pt; для хг, г2 имеем а2, w2, Ѳ2, Ь, р2 -

Проведем через точку 1 характеристику первого семейства, а через точку 2 — характеристику второго семейства. Они пересе­

46

и (4-5) — (4-7). Возьмем точки 1 и 2 достаточно близко друг к другу. Тогда дифференциальные уравнения можно заменить уравнениями в конечных разностях для пар точек 1—М и 2—М:

жет быть найдена также графически, если через точки 1 и 2 про вести касательные к характеристикам по уравнениям (4-2) и (4-5) Уравнения (4-2) и (4-22') при известном уже т определят два зна­ чения За значение лагранжевой координаты £ в точке М может быть принято среднее арифметическое этих двух зна­ чений. Так как мы считаем, что в окрестности рассматри­ ваемых точек скачков нет, то энтропия сохраняется в части­ це. Поэтому 0 является функ­ цией только лагранжевой коор­ динаты £ и может быть вычис­ лена по. линейной интерполя­

ции между Ѳі и 02 по £і, t2 и

При найденной 0 система уравнений (4-23) определяет значе­ ния w и а. Таким образом, все параметры в точке М оказываются найденными.

Если параметры вдоль некоторых линий ОА и OB (рис. 4-7) известны, то принимая достаточно малые шаги и выполняя рас­ смотренную операцию многократно, покроем интересующую нас область плоскости х, т сеткой характеристик с узловыми точками, все параметры в которых будут известны. Это дает решение задачи.

Пример расчета изложенным методом будет рассмотрен ниже.

47

Глава 5. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В ГАЗОВОМ ТЕЧЕНИИ

(Элементы теории ударных волн)

§ 5-1. Примеры образования скачков в газовом течении. Ударная волна

При некоторых условиях движения газа наблюдается наруше­ ние непрерывности изменения его параметров. Это выражается в образовании скачков уплотнения и в образовании и распростра­ нении ударных волн.

на AB называется плоским косым скачком уплотнения, или плос­ кой стационарной ударной волной. При переходе через такую удар­ ную волну поток испытывает скачкообразное изменение всех пара­ метров.

48

Образование косого скачка уплотнения происходит также при обтекании-сверхзвуковым потоком внутреннего . угла (рис. 5-2). В этом случае благодаря повороту стенки сечение потока умень­

вместо волн AB' іи AB" образуется косой скачок конечной интен­ сивности AB, занимающий некоторое промежуточное положение, определяемое углом а, (aj< ол < а*). При переходе потока через

линию AB все параметры изменяются скачком.

При взрыве взрывчатых веществ и в некоторых других случаях возникает ударная волна, под которой понимают резкое и значи­ тельное по величине сжатие среды, распространяющееся со сверх­ звуковой скоростью. Природа ударной .волны тождественна при­ роде звуковых волн. В обоих случаях в газе распространяется упру­ гая деформация среды, при которой движение среды передается от слоя к слою и в каждом последующем слое с некоторым запазды­ ванием повторяются процессы, происходившие ранее в слое, распо­ ложенном ближе к источнику возмущения.

Различие, между ударной и звуковой волнами обусловливается силой возмущения среды: в виде ударных волн распространяются сильные, а в виде звуковых воли— слабые возмущения. Поэтому звуковая волна может рассматриваться как частный случай удар­ ной волны малой амплитуды. Для выяснения причины образования и устойчивости фронта ударной волны рассмотрим распростране­ ние в газе волны сжатия конечной амплитуды. Пусть такая волна сжатия распространяется в направлении оси х. На рис. 5-3 пока­ заны кривые распределения давления в различные моменты вре­ мени: п, Гг, т3 и т4 (моментальные снимки волны в указанные мо­ менты времени). Распределение давления в волне сжатия в началь­ ный момент времени ті изображается кривой а (см. рис. 5-3). Скорость распространения возмущения от любой точки волны рав-