книги из ГПНТБ / Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие

Появление линии AB и АВ\ является результатом непрерывных слабых (звуковых) возмущений потока. Эти линии стационарно связаны с источником возмущений — острием тела — п являются границей, отделяющей невозмущенную часть потока от возмущен­ ной. Поэтому каждую из этих ли­ ний называют слабой волной млн характеристикой. При пересече­ нии такой волны частицы газа испытывают изменения всех па­ раметров. Однако в связи с ма­ лостью возмущения эти измене­ ния очень милы. В рассматри­ ваемом случае обтекания острого клина происходит незначительное

(рис. 3-2). В точке А возникает возмущение потока, обусловленное поворотом стеики на малый угол dö. -Вследствие малости угла dö возмущение в точке А можно считать слабым. Возмущение выра­ жается в том, что происходит некоторое расширение потока, в ре­ зультате чего давление и температура уменьшаются, а скорость увеличивается. Возмущение, возникшее в точке, сносится по потоку

границей между двумя различными областями потока: слева от ли­ нии AB находится невозмущен­

В дайном случае имеем сла­ бую волну разрежения. В потоке с неравномерным полем скоростей

характеристики имеют криволинейную форму (рис. 3-3).

§ 3-2. Образование волны разрежения конечной интенсивности

Перейдем к изучению конечных возмущений плоского сверхзвукового потока. Пусть вдоль горизонтальной стенки движется равномерный сверхзвуковой поток (рис. 3-4). За точкой Л газ

30

попадает в область с пониженным давлением: р„<ІРі- При этом поток отклоняется от первоначального направления в сторону по­ ниженного давления на некоторый угол б. Расширение потока про­ исходит в некоторой области. Оно состоит из ряда малых расши­

Вследствие расширения потока происходит увеличение ЛД и, сле­

делах между Л5, и АВп можно провести бесчисленное множество характеристик. Совокупность этих характеристик составляет ста­ ционарную волну разрежения конечной интенсивности.

§3-3. Уравнения волны разрежения конечной интенсивности

вцилиндрических координатах

31

равны нулю и отсутствует движение по оси г. Так как параметры потока вдоль характеристик остаются постоянными, то частные производные по радиусу равны нулю:

Частные производные по Ѳ превращаются в полные.

■Цг = const. РЛ

§ 3-4. Определение скорости потока в волне разрежения

Решение уравнений волны разрежения (3-2)- проведем, исполь­ зуя ее частные особенности.

Это означает, что отклонение потока в волне разрежения про-

,исходит так, что составляющая скорости, нормальная к радиусувектору, равна местной скорости звука. Это представляется физи­ чески вполне понятным, если представить себе конечную волну раз­ режения состоящей из бесконечно большого количества волн беско­ нечно малой интенсивности.

Перейдем « определению скоростей в волне разрежения. Для этого воспользуемся уравнением Бернулли в форме

Используя соотношения

32

Полная безразмерная скорость движения в произвольной точке волны разрежения определится выражением

X2 = X?-j-Xo = sin2ui (ö + 0|) + cos2/;; (Ѳ -j- ÖJ,

или

К— I

Определим постоянную интегрирования Ѳі из граничных усло­

§ 3-5. О п р е д е л е н и е в с е х п а р а м е т р о в в о л н ы р а з р е ж е н и я

Так как рассматриваемое течение изоэнтропщіеское, то по пара­ метрам невозмущенного потока и найденной скорости в волне раз­ режения с помощью полученных в гл. 2 зависимостей легко полу­ чить все параметры в волне вдоль любой характеристики, опреде­ ляемой углом 0. Параметры на последней характеристике АВ„ определяются конечным давлением р,„ до которого происходит расширение потока:

Угол поворота потока б составит (рис. 3-5)

§ 3-6. Определение траектории частицы в волне разрежения

Для получения траектории частиц в волне разрежения, или. формы линии тока, запишем ее уравнение. Движение точки Л, по линии тока (рис. 3-6) означает ее переход за промежуток вре­ мени dx в точку Ао. Этот переход совершается за промежуток вре­ мени dx по радиусу-вектору со ско-

нему со скоростью с0. Этот же про­

Уравнение (3-17) представляет собой дифференциальное урав­ нение линии тока в полярных координатах. Подставляя в нем отно-

34

Выражение (3-20) является уравнением линии тока в полярных координатах.

На основании проведенного анализа движения представляется возможным рассчитать волну разрежения.

«

§ 3-7. Пример расчета волны разрежения

Пусть требуетсярассчитать волну разрежения при обтекании угла плоским сверхзвуковым потоком. Начальные параметры по­

Параметры вдоль произвольной характеристики под углом Ѳ:

Траектория движения частицы (линия тока) находится по вы­

' Для построения линии тока целесообразно задаться несколь­ кими значениями Ѳ в пределах от 0 = 0° до 0 = Ѳп = 61° и' вести расчет в виде табл. 3-1.

36

Таблица 3-i

Рис. 3-7.

Угол .поворота 8 8 = б„ + а„ — <*! = 61° — 19,17° - 41,7° = 38,87°.

Графическое построение элементов волны разрежения иллю­ стрируется рис. 3-7.

>

Глава 4. ОДНОМЕРНОЕ НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА

§ 4-1. Формулировка задачи

При решении многих технических задач в современных усло­ виях приходится иметь дело с длинными трубопроводами, запол­ ненными газом, движущимся в результате работы тех или иных агрегатов (вентиляторов, компрессоров, энергетических агрегатов, ударных труб и т. п.). Если агрегаты работают в установившемся режиме, то в трубопроводе возникает поток газа, который во мно­ гих случаях может считаться установившимся. К таким потокам' применимы зависимости установившегося движения, а в случае движения идеального газа (без вязкости и трения) его параметры по всей длине и во времени постоянны. Если режим работы агре­ гатов изменяется медленно, то движение может рассматриваться состоящим из ряда установившихся, в которых параметры по всей длине трубопровода изменяются одновременно. Такое движение называется квазистационарным. При быстрых изменениях режима работы агрегатов (пуски, остановки, быстрые переходы' с режима на режим), при авариях и в некоторых других случаях возникает неустановившееся движение, которое существенно отличается от установившегося.

За идеальную модель рассматриваемого движения моя<ет при­ ниматься полубесконечный трубопровод постоянного сечения, за­ полненный движущимся без трения и без теплообмена газом. Бу­ дем считать, что в начальном сечении установлен агрегат, вызы­ вающий изменение движения газа в трубопроводе. Такой агрегат обычно заменяют поршнем, который может двигаться по любому заданному закону, имитируя работу того или иного агрегата.

Поместим начало координат в начальное сечение и направим ось X по оси трубопровода. Будем считать, что параметры в сече­ нии на любом расстоянии х от начального одинаковы и движение по осям у и z отсутствует. Тогда уравнения, определяющие движе­

38

ние, могут быть записаны в виде

ной форме. Величина Ѳявляется функцией энтропии (1-13): Q=eCp.

распределение'параметров по длине х в момент времени т=0.

венно прилегающих к поршню, равна скорости движения поршня. Система уравнений (4-1) вместе с указанными начальными и гра­ ничными условиями определяет возникающее в трубопроводе не­ установившееся движение газа.

§ 4-2. Характеристики и соотношения на них

Решение сформулированной задачи, приводящееся в фундамен­ тальных курсах газовой динамики, показывает, что при любом не­ стационарном одномерном движении газа через каждую точку А плоскости (х, т) проходят две ли­ нии, называемые характеристика­ ми, которые образуют два семей­ ства (рис. 4-1). Вдоль характе­ ристик каждого семейства выпол­ няются следующие соотношения.

Вдоль характеристик первого се­ мейства:

39