книги из ГПНТБ / Степанов И.Р. Элементы газовой динамики и теории ударных волн учеб. пособие

ростью а. Поэтому относительно возмущенного газа волна дви­ жется со скоростью а—и. Масса газа, за тот же промежуток вре­ мени Дт, оказавшаяся в возмущенной области, составит

Вследствие неразрывности течения Ати=Атв—Ат и, следова­ тельно,

Уравнения (2-7) определяют скорость распространения волн малых возмущений. Характерным примером таких волн являются звуковые волны. Звук представляет собой малое возмущение

20

среды. В результате такого возмущения частицы газа приходят в движение и, взаимодействуя друг с другом, порождают области повышенной и пониженной плотности и давления, с течением време­ ни распространяющиеся от центра возмущения — источника звука.

ное значение скорости звука в газах велико и составляет сотни метров в секунду (см. табл. 2-1). Скорость распространения возму­ щений зависит от скорости движения молекул. Известно, что сред­ няя скорость движения молекул близка к скорости звука.

Оценим величину скорости движения частиц в возмущенной области. На основании уравнения (2-5) имеем

Др

+^

При рассматриваемых малых по сравнению с единицей значе-

ДР

ниях — величина и так же мала по сравнению с а. Это значит,

что для слабых волн возмущений и составляет десятые доли м/сек и менее. При значительных скоростях и возникают волны конечной амплитуды, имеющие ряд особенностей.

§ 2-2. Трубка тока. Уравнения, характеризующие движение в трубке тока

Значительное количество технических задач газовой динамики можно решить, предполагая движение одномерным, т. е. таким,

* 140(35 — это уровень звукового давления, соответствующий очень сильному звуку, вызывающему уже болевое ощущение у человека. Все обычные звуки, с которыми мам приходится иметь дело, характеризуются значительно меньшим уровнем звукового давления.

21

в котором все параметры течения меняются только в одном на­ правлении. Изучение стационарного адиабатного течения идеаль­ ного газа в трубе постоянного сечения, которое в полной мере соот­ ветствует этому случаю, не представляет интереса, так как оно характеризуется постоянством всех параметров по длине трубы и

во времени. К одномерному течению при некоторых усло­ виях может быть отнесено дви­ жение в трубке тока.

Напомним,' что линией то­ ка называют такую линию в потоке, в каждой точке кото­ рой вектор скорости направ­ лен по касательной к этой

линии. Замкнутая поверхность, образованная линиями тока, обра­ зует трубку тока. Движение внутри трубки тока с малой кривиз­ ной оси и с относительно малым изменением поперечного сечения при условии постоянства расхода газа во всех поперечных сече­ ниях трубки тока может считаться одномерным установившимся движением.

Для получения основных уравнений рассмотрим установившееся течение газа в трубке тока. Направление осп х выберем так, чтобы оно совпадало с осью трубки (рис. 2-2). Запишем для рассматри­ ваемого установившегося течения уравнение движения (1-6'). Для рассматриваемого движения wх=с, w v=wz—Q. Учитывая это, а так­ же переходя в уравнении к полным производным, будем иметь

Рассматривая два произвольных сечения трубки тока I—/ и 2—2 (см. -рис. 2-2) и интегрируя уравнение (2-8) в пределах этих сечений, получаем

СI Р1

Выполняя интегрирование с учетом изоэнтропичности течения, характеризуемого уравнением

22

находим

Выражение (2-11) — уравнение Бернулли, которое обычно полу­ чают в термодинамике как уравнение энергии в результате пре­ образования уравненңя первого закона термодинамики для потока газа.

Таким образом, мы установили, что при изоэнтропическом тече­ нии газа в трубке тока интеграл уравнения изменения количества движения совпадает с уравнением энергии.

Уравнение неразрывности для движения в трубке тока перемен­ ного сечения выражает условие постоянства расхода через любые сечения и имеет вид

Получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме. Для этого последовательно прологарифмируем и продифференци­ руем уравнение (2-120:

dp de dF _ -

рс F

Уравнение энергии и неразрывности, а также условие изоэнтропичности дают возможность определить параметры течения в про­ извольном сечении трубки тока.

§2-3. Различные формы уравнения энергии

ихарактерные скорости

Ранее, на основании первого закона термодинамики изоэнтропического потока газа, нами были получены уравнения энергии в форме

При очень большом сечении можем считать, что с = 0 — имеем заторможенный поток, параметрам которого будем придавать

23

индекс 0 и называть их параметрами заторможенного потока или параметрами торможения.

Имеем

Уравнение (1-14) выражает тот факт, что в результате полного торможения потока вся кинетическая энергия направленного дви­ жения переходит в тепло. Заметим, что температура торможения То и энтальпия і0 для заданного потока могут иметь только одно вполне определенное значение, тогда как давление торможения ро и плотность Ро могут принимать любые значения, но такие, при

Ро

которых отношение — остается постоянным.

Ро '

Параметры торможения имеют большое значениепри рассмот­ рении различных задач газовой динамики. Применим уравнение энергии к двум сечениям трубки тока, в одном из которых давле­ ние уменьшается до 0. В этом сечении скорость с будет стремиться к некоторой максимальной смакс. Эта скорость соответствует исте­ чению в пустоту (р = 0, Т = 0, г = 0). Для .таких условий уравнение энергии приобретает вид

При скорости течения, равной Смаке, вся тепловая энергия моле­ кул преобразована в энергию направленного движения. Практи­ чески максимальная скорость течения газа недостижима и является теоретическим пределом для скорости течения газа.

Скорость течения, равная местной скорости звука, называется критической и обозначается скр= а кр. Она определяется уравнением энергии

Уравнение энергии, записанное в различных формах, позволяет установить связь между характерными скоростями и параметрами торможения, которая определяется следующим образом:

24

Отсюда получаем выражения для характерных скоростей по­ тока: .

§ 2-4. Параметры течения в произвольном сечении трубки тока

Параметры течения в некотором сечении трубки тока могутбыть выражены через параметры торможения и некоторые из параметров движения в рассматриваемом сечении (р, р, Т, с, а).. Часто за характерный параметр принимается скорость с. При этом оказывается удобным рассматривать ее как безразмерную вели­ чину, которая отнесена к одной из характерных скоростей. Рас­ сматриваются следующие безразмерные скорости:

25’

Равенства (2-27) дают возможность каждую относительную скорость выразить через любую другую. Например, X и М выра­ жаются друг через друга следующим образом:

Параметры течения в произвольном сечении трубки тока могут быть выражены через параметры торможения и одну из этих отно- 'сительных скоростей. Определим такие выражения для ско­ рости М.

На основании уравнения (1-20) учитывая, что і = срТ, имеем

26

шения определяются зависимостями

Используя полученные данные, легко определить отношения ■сходственных параметров в двух произвольных сечениях трубки тока.

Для установления связи параметров с величиной площади сече­ ния используем уравнение неразрывности (2-12) и запишем его для критического и произвольного сечений:

рс2 Определим отношение скоростного напора ~2 к статическому

давлению р. Для этого воспользуемся уравнением энергии в фор­ ме (2-14):

27

Глава 3. ПЛОСКОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА

§3-1. Малые возмущения плоского сверхзвукового потока

Вплоском движении все параметры течения меняются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, а в третьем остаются неизменными.

Рассмотрим основные свойства плоского сверхзвукового тече­ ния. Поместим в такой поток остроконечный клин (рис.-3-1). Соз­ даваемые этим телом неболь­ шие изменения параметров по­ тока распространяются со ско­ ростью звука а тогда как ско­ рость набегающего потока Сі>аі. Волны возмущения в рассматриваемом потоке пред­ ставляют собой окружности с

где Ату — отрезок времени, отсчитываемый от момента набегания потока на острие А;

A A j— путь, который 'проходят частицы потока от точки А за время Ат(..

При непрерывном обтекании тела в точке А последовательно образуется бесконечное количество волн, движущихся по направле­ нию потока. Так как скорость течения Сі>аі, то позднее образовав­ шиеся волны отстают от предыдущих, причем все семейство волн имеет две общие касательные AB и АВ\, исходящие из точки А, При этом имеет место соотношение

где сц — угол наклона касательном к направлению скорости плос­ кого потока.

29