книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

ражеинн вытекает, что после сложения окончательная эпюра z будет иметь вогнутое очертание с большими ординатами на опорах и малыми в середине пролета. Если жесткость нижней балки обратится в бесконечность, то эпюра будет равномерной. Если же жесткость верхней балки будет значительно больше жесткости нижней, то эпюра z от сосредоточенных сил может получить в середине пролета участок с отрицательными ордина­ тами. Тогда эпюра реакций между упругим слоем и верхней балкой, т. е. эпюра N2, будет иметь в середине пролета довольно большой участок с отрицательными реакциями. Это схематиче­ ски изображено на рис. 4.5.

4.3. Выбор расчетной схемы предельного состояния

Определение предельных нагрузок для слоистых систем ус­ ложняется тем, что не всегда удается сразу определить расчет­ ную схему, отвечающую использованию полной несущей способ­ ности системы. Как во всякой сложной статически неопредели-

Задаиная

Рис. 4.6

мой системе, несущая способность будет полностью использо­ вана только" тогда, когда система станет изменяемой. Порядок перехода связей за предел упругости зависит от свойств систе­ мы. Для балочного перекрытия, изображенного на рис. 4.6, не­ сущая способность будет полностью использована, если все стержни, кроме одного, соединяющие верхнюю и нижнюю бал­

80

ки, выйдут за предел упругости или если на верхней и нижней балках образуются пластические шарниры.

Сравним величины предельных нагрузок, вычисленные для каждого варианта, принимая, что сила Р приложена в середине пролета. Для первого варианта составим уравнение равновесия верхней части и получим:

где а„р0 — предел текучести слоя.

Для второго варианта построим эпюру моментов, соответст­ вующую предельному состоянию, и Рпр найдем как сумму уси­ лий во всех вертикальных связях упругого слоя:

Рпр — (^i -г Х 2) 2 + Х э\

X 1 и Х2 определим по эпюре Q для верхней балки:

Хх = _Л^пр‘ ■ Хо = 3 ^ пр‘ •

Х3— по эпюре Q для нижней балки:

Подставим эти значения в формулу для Рпр:

Третье значение Дпр найдем, рассматривая верхний стер­ жень как балку, к которой приложены четыре силы, из которых три известны, а четвертую надо найти из условия, чтобы мо­ мент в середине пролета этой балки равнялся предельному.

Приведенные выкладки показывают, что для каждого пере­ крытия будет иметь место одна из указанных схем разруше­ ния в зависимости от соотношения жесткостей слоев, из кото­ рых составлено перекрытие.

Приступая к расчету по предельному состоянию, приходится прежде всего проанализировать и выбрать ту схему разруше­ ния, при которой, предельная нагрузка будет иметь минималь­ ное значение.

Для сложных стержневых слоистых перекрытий рамного ти­ па значительно труднее назначить расчетную схему предельно­ го состояния. В этом случае следует рассматривать большое число возможных схем и сформулировать условия, при которых данная схема разрушения возможна. Рамное слоистое перекры­ тие показано на рис. 4.7. Наиболее простая схема разрушения этого перекрытия получается, если во всех вертикальных свя­ зях усилия достигнут предельного значения, тогда Р1ф = = 2,5 апРо F0.

Если Л4]<Л'/иРі и М2< М пр„ , то первое условие принима­ ет вид:

Чтобы записать второе условие в таком же виде, нужно бу­ дет определить отдельно усилия в раме от сил а„Ро F0, прило­

женных в середине пролета.

Пространственные слоистые перекрытия, составленные из пластинок, будут иметь еще более сложные схемы разрушения, так как в этом случае образуются линейные пластические шар­ ниры.

Первая наиболее простая схема разрушения, как п для ба­ лочного перекрытия, будет в том случае, когда во всех п стер­ жнях, соединяющих пластинки, усилия достигнут предельного значения. Тогда

РпѴ= /г0Гп р Л -

Но если связи, поставленные между пластинками, достаточ­ но прочны, то тогда пластические шарниры в пластинках по­ явятся раньше, чем будет исчерпана несущая способность верти­ кальных связей.

4.4. Пример определения предельной силы

Для балки, расположенной на слое переменной жесткости (рис. 4.8), требуется определить предельную несущую способ­ ность.

Из рассмотрения эпюры М на рис. 4.8 видно, что наибольший момент Л4 = 2,33 тем, а для нижнего несущего перекрытия М„=

4-4

= —-------2,33= 1,67 тем, поэтому первый пластический шарнир

появится в верхней балке.

После возникновения пластического шарнира внешнюю на­ грузку можно еще увеличивать, хотя система будет находиться в упругопластической стадии.

82

Несущая способность перекрытия будет полностью исчерпа­ на после того, как в середине пролета нижней балки появится предельный момент и возникнет второй пластический шарнир. Схема предельного состояния показана на рис. 4.9. Из условия равновесия получим:

Р- ^ ± = Мпр + Мпр и Рпр = — •

Пусть (Тпр = 50 кгс/см2, тогда

Мпр = 2S0o„p = 2 402‘100 50 = 2-10»кгс-см,

8

Р„в = — 2 -10(; = 4- ІО4 кге = 40 тс.

р400

4.5.Расчет фермы слоистого перекрытия

Рассмотрим перекрытие, в состав которого входит ферма (рис. 4.10). В данном случае для расчета выгодно применить спо­

соб сил. За неизвестные принимаем моменты, возникающие на промежуточных опорах верхнего слоя. Основная система указа­

на на рис. 4.10,0. Канонические уравнения для определения не­ известных будут иметь общий вид:

+ 0,2*2 + \ р = 0;

б 2 1 * , + б 2 2 * 2 + А 2Я = 0 -

Вычисление коэффициентов этих уравнений будет несколько отличаться от того, как это делалось в балочных перекрытиях. При вычислении коэффициентов придется учесть силы, возника­ ющие в стержнях фермы. Формула бг-,4 будет состоять из трех слагаемых:

d

—------ •

ФЕфДф

Численные подсчеты сделаны для с = с ф и а = у = 6,4:

Эпюру моментов теперь можно построить, умножив первую единичную эпюру на Хи вторую на Х2 и затем сложив их.

Усилия в стержнях фермы вычислим по общей формуле

N ^ N p + N ^ + N ^ .

Так:

N10 = -і- 2,11 — ^d (0,855d) + 0Х2 = + 0,905.

Эпюра моментов и величина усилий показаны на рис. 4.11. Для получения схемы распределения сил в предельном со­

стоянии необходимо определить то сечение, в котором образуется пластический шарнир, и найти такой стержень фермы, который перейдет в пластическое состояние.

Из рассмотрения рис. 4.11 видно, что шарнир образуется в се­ редине пролета и за предел упругости выйдет стержень верхнего пояса во второй панели фермы. Схема сил в предельном состоя­ нии изображена на рис. 4.12.

84

Для определения величины предельной нагрузки необходимо составить уравнение равновесия относительно точки 0 всех левых сил, тогда получим:

Мщ, и Nnp, входящие в формулу для предельной нагрузки, зависят от соотношений в размерах балки и стержней фермы, поэтому и предельная нагрузка будет повышаться не только с увеличением размеров сечений стержней фермы, но и с увели­ чением толщины балки.

4.6. Расчет слоистой рамы

Если в состав слоистого перекрытия входит сложная рама с большим числом лишних связей, то решать эту задачу выгодно способом деформаций. Сделаем расчет рамы, показанной на рис. 4.13.

Окончательные эпюры М и N показаны на рис. 4.14 и 4.15. Таким образом, применяя способ деформаций, мы решили слож­ ную задачу проще, но для этого использовали новую статически неопределимую систему.

Для выбора схемы распределения сил в предельном состоя­ нии используем, как и в предыдущих примерах, эпюру момен-

85

тов, полученную в упругой стадии.и изображенную на рис. 4.14. Первый пластический шарнир возникает на средней опоре рамы, два вторых шарнира, расположенных симметрично, появляются в пролете ригеля рамы. Затем еще два шарнира появляются в се­

рединах пролетов балки, и средняя упругая связь распределяю­ щего слоя переходит в пластическое состояние, после этого си­ стема превращается в геометрически изменяемую и несущая способность будет полно-

Для определения предельной нагрузки составим такое урав­ нение относительно середины пролета:

% т ■ т = + т ;

? „ - - [*<„,. + Н 5 Л Ѵ - 0,5ЛЦ.

86

Из рассмотрения эпюры распределения моментов в предель­ ном состоянии следует, что

4.7. Балка на нелинейном основании

Для грунтов, у которых имеется нелинейная зависимость между действующей нагрузкой и вызываемой ею деформацией основания, первым приближением будет линейное решение, рас­ смотренное раньше. Уточнение этого решения получим, если рас­ смотрим нелинейную задачу. Для решения задачи о расчете бал­ ки на нелинейном упругом основании необходимо знать те функ­ ции, с помощью которых устанавливается зависимость между на­ грузкой и деформацией основания. Эти функции получают обыч­ но экспериментальным путем. Подробно задача о расчете балки в упругой стадии на нелинейно-деформируемом основании рас­ смотрена в работе Г. К. Клейна [15]. Определение предельной нагрузки для балки, расположенной на нелинейном основании, будет сделано применением общего метода расчета, изложен­ ного в главе 2. Для оценки влияния нелинейности основания и определения предельной нагрузки применяется способ последо­ вательных приближений. Нелинейные свойства основания ана­ литически описываются.следующим уравнением:

Fik— функция Жемочкина, берется по табл. 1;

а— численный коэффициент, характеризующий физические свойства грунта;

Р0— значение предельной силы для грунта, которая опреде­ ляется из экспериментальной кривой Р—у,~

87

п— показатель степени, позволяющий наилучшим образом приблизить теоретическую кривую к эксперименталь­ ной.

Для получения первого приближения полагаем а = 0 в форму­ ле (4.6). Это будет линейный случай. Решение задачи доводим до определения X, т. е. находим равнодействующие реакций, воз­ никающие в тех стержнях, которыми балка прикреплена к осно­ ванию. Теперь величины сил X,-, приложенных к основанию, оп­ ределены, и для этих сил осадка основания может быть вычис­ лена по нелинейной формуле (4.6).

Переходим ко второму приближению, и коэффициенты кано­ нических уравнений вычисляем по формулам с учетом нелиней­ ности основания. Для главных коэффициентов получим:

(4.7)

При вычислении побочных коэффициентов б,-/, приходится

сти этих коэффициентов:

(4.8)

Свободные члены, входящие в уравнения контактной задачи, за­ висят от деформаций балки, так как в основной системе балка отделена от упругого основания. Поэтому для второго прибли­ жения свободные члены будут те же самые, что и для первого.

Расчет балки следует вести по схеме, приведенной в п. 2.2, однако в том сечении, где возникает шарнир взамен единичного момента, как это было сделано для линейного основания, теперь необходимо приложить действительный предельный момент, со­ ответствующий этому сечению, а внешнюю силу для первого приближения следует изменить пропорционально отношению вы­ численного и предельного момента. Для определения реакций основания, соответствующих образованию пластического шар­ нира, необходимо выполнить новый цикл приближений по ука­ занной выше схеме, причем для каждого последующего прибли­ жения следует также изменять и внешнюю силу, которая зави­ сит от распределения реакций основания. Объем вычислений получается довольно большой, однако довести решение до конца все же представляется возможным.

88

4.8. Пример расчета балки на нелинейном основании

Изложенную выше схему рассуждений применим для балки переменного сечения, которая была рассчитана в п. 2.7. Сделаем расчет секции плотины треугольного профиля с гибким понуром. В пределах основной части профиль плотины считаем абсолют­ но жестким и учитываем изгиб понура. Размеры и схема пло­ тины показаны на рис. 4.17. Рассматриваем плотину как балку

определения четырех X, у0 и ср0 составим шесть совместных ли­ нейных уравнений. Коэффициенты этих уравнений вычисляем по формуле (2.5), при а = 0 получим:

1 пог. м ширины плотины. Суммарная вертикальная нагрузка составляла: £=1213 тс. После решения уравнений получили: К, = 473 гс; К2= 109 тс- К3=218 тс-, К4=413 тс.

Второе приближение получим, если будем производить рас­ чет с учетом нелинейности основания. Коэффициенты уравнений контактной задачи будем вычислять по формуле (4.7), принимая

89