книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

мне величии предельных моментов. Для прямоугольного сече­ ния предельный момент п предельная растягивающая сила вы­ числяются по простым формулам:

М0 = 2SU0 Oи N0 = o0 F.

6 ) I

f ^Х„ К , х 2

//У^77АуА/Уу)/77/7У/

ттта П2ГТТ ©

= % —

,

©ш п 1 L L L <+>

Рис. 2.I7

При совместном действии растягивающей силы и изгибаю­ щего момента получим [51].

М = 250а0 (1 — т)2) и N = а0 Рц.

Здесь через г) обозначен эксцентрицитет приложения силы N:

Эти два уравнения можно выразить графически в виде кри­ волинейного контура, который изображен на рис. 2.18,0. Точ­ ки, расположенные вне этого контура, соответствуют значениям сил, при которых напряжения в сечении не могут удовлетво­

50

рять условиям текучести. Для точек внутри контура усилия бу­ дут таковы, что в сечении будет иметь место неполная текучесть. Если же точка расположена на кривой, то это указывает на на­ личие полного течения в сечении.

Определить предельную силу можно, сделав вычисления для последовательных случаев образования пластических шарниров так, как это было сделано в предыдущих параграфах. Но в дан­

ном случае будет удобнее использовать статические условия предельного равновесия для того, чтобы найти разрушающую нагрузку, соответствующую образованию полного числа пласти­ ческих шарниров (рис. 2.18,6), с учетом реакций упругого ос­ нования.

Записанные выше условия текучести в безразмерной форме теперь придется составить для каждого сечения, в котором об­

Условия текучести для верхнего ригеля запишем так:

- \ - t i \ - f — г -f- h 2 г~ — 1; /п3 + /г3 = т-{- h-f2 = 1.

Выражая г из второго уравнения и подставляя в первое, по­ лучим

А4А/2/4 + А2 (1 — 2 h'2) f2 + f — (2 — h'2) = 0.

Из этого уравнения найдем значение f, полученное из условия использования несущей способности верхнего ригеля. Такие же два уравнения составим для нижнего ригеля рамы:

m 6 + n2s = + \ = af — r + (Л7)2;

— т 3 + « 2 = 1 = + /■ + (Л/)'2.

Из второго уравнения найдем г = 1 — Л2/2.

Подставив в первое, получим

a f — l + А2/2 + h' 2 (1 — ft2/2)2 = + 1;

окончательно имеем

h4 h'2 f‘l + h2 (I — 2h'2) f2 + af — {2 — h'2) = 0.

Полученные уравнения можно решить относительно / обыч­ ным порядком или найти приближенное решение, если учесть, что 2А'2 значительно меньше единицы, поэтому ею можно пре­ небречь по сравнению с единицей н двойкой, тогда получим:

А4А'2/4 + Л2/2 + а/! — 2 = 0; f2 h2 (h2 h'2 f2 + l ) + a f — 2 = 0.

Ограничиваясь первым членом разложения, найдем, что

A4A'2f4 + A2/2«4A 2 + A'2. Тогда предельную нагрузку определим так:

/ = — [2 — (4А2 + А'2)].

а

чНапример, если имеется квадратная рама постоянного сечения,

т.е. 1 = 1 ', So=const и E=const, то получим

ния распределены равномерно по длине пролета, то а = Ѵг и / =

52

= 3,66. Это будет наименьшее значение предельной силы, выра­ женное в безразмерной форме:

Рпр = 3,66-4^-°.

Для верхнего ригеля коэффициент а — 1. Таким образом, ра­ ма, имеющая ригели одинакового поперечного сечения, являет­ ся неравнопрочной; для нее предельная несущая способность

определяется при данной нагрузке верхним ригелем и Рпр = = 1,83 4М0

Для получения более рационального решения надо для ниж­ него ригеля уменьшить сечение так, чтобы Ма= - ~ или чтобы

высота нижнего ригеля была в 1,4 меньше высоты верхнего.

2.16. Сложная рама

Рассмотрим двухэтажную раму, которая нагружена сосредо­ точенными горизонтальными и вертикальными силами, как это показано на рис. 2.19. Предельные моменты, которые могут вы­ держать стержни, указаны на рис. 2.19 цифрами. Для опреде­ ления предельной несущей способности такой рамы обычно не учитывают влияние фундамента и считают концы стоек заделан­ ными [3, 51]. Рассматриваются различные схемы разрушения рамы, изображенные на рнс. 2.19.

Первые восемь механизмов разрушения рамы получаются исходя из предположения, что фундамент является абсолютно жестким и не выходит за предел упругости. Для каждой из на­ меченных схем подсчитываем величину предельной силы из ус­ ловия равенства работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях, соответствующих каждой схеме.

моменты всех стержней, из которых выполнена рама, через пре­ дельный момент стойки верхнего этажа. Тогда верхний ригель будет иметь предельный момент, равный 2М0\ соответственно ригель и стойка первого этажа — ЗМ0 и, наконец, фундаментная балка — 4Л40.

Составим теперь уравнения равенства работ для всех наме­ ченных схем.

Схема а. В этой схеме стойки верхнего этажа повернуты на угол Ѳ, поэтому из внешних сил работает только сила 2Р, при­ ложенная в верхнем углу рамы, на перемещении, которое рав­ но Ѳ2/. Таким образом, работа внешних сил для этой схемы рав­

53

на 2PQ21. Пластические моменты, возникающие в четырех шар­ нирах, совершают работу, равную Л40Ѳ-4.

Уравнение работ имеет вид:

4РѲ/ = 4Л40Ѳ пли — = 1, т. е. / = 1.

М 01

Схема б. Если повернуть нижние стойки, уравнение равен­ ства работ будет записано аналогично, хотя работу совершают две силы, а именно, сила 2Р, приложенная в верхнем узле, и си­ ла 3Р, приложенная в нижнем узле, поэтому работа внешних сил будет равна: В21Р(3-\-2) = 10QIP.

Работа моментов в пластических шарнирах соответственно равна: Л40ѲЗ-4= 12М0Ѳ. Приравнивая обе работы, получим:

10ЫР = 12М0Ѳ, / = — = — =1,2.

ЛІ0 10

Схема в соответствует исчерпанию несущей способности од­ ного элемента; эта схема, по-видимому, заведомо даст завышен­ ную величину /. Проверим это обстоятельство.

54

Схема г соответствует исчерпанию несущей способности ниж­ него ригеля. Из внешних сил теперь работу совершает верти­ кальная сила 8Р, приложенная к нижнему ригелю, поэтому ра­ бота внешних сил равна 8Р/Ѳ.

Все рассмотренные схемы соответствуют предположению, что фундамент является абсолютно жестким п его несущая способ­ ность значительно выше всех остальных элементов. Такое про­ ектирование сооружения в целом, при котором фундамент име­ ет заведомо повышенный запас прочности по сравнению с дру­ гими элементами, очень часто осуществляется на практике п в некоторых случаях является вполне обоснованным, поэтому про­ деланный анализ разных схем разрушения позволяет получить наименьшую несущую способность рамы. Сопоставление значе­ ний полученных параметров / показывает, что наиболее веро­ ятной схемой разрушения рамы является схема ж, так как для нее величина f —0,909 будет наименьшей. Таким образом, пре­ дельная сила

Рпр = 0 ,9 0 9 ^ .

Но проделанное исследование будет неполным, так как при определении предельной несущей способности пока была исклю­ чена из сооружения фундаментная балка.

Схемы и, к и л представляют собой механизмы, которые воз­ никают, когда фундаментная балка выходит за предел упруго­ сти. Для определения несущей способности рамы по этим схемам необходимо учесть работу, совершаемую реакциями упругого основания. Вертикальная составляющая равнодействующей ре­ акций упругого основания будет определена из условий равно­ весия R = 9P.

Ввиду имеющегося эксцентрицитета у равнодействующей ре­ акций основания продольные силы, приложенные к колоннам нижнего этажа, будут разные. Продольная сила левой колонны равна: RA = —2,5Р, а правой — Рв = + 11,5Р. Эти силы можно будет разложить на две группы: симметричную Р а = Р в = +4,5Р II обратно симметричную RA = —7Р п Рв = +7Р. Точки прило­ жения равнодействующих реакций упругого основания можно будет определить так же, как это было сделано в п. 2.1 для балки.

Подсчитаем теперь величину предельной силы для схемы и. В этой схеме будет совершать работу только симметричная со­ ставляющая реакции основания, поэтому для работы внешних сил получим такую величину: 9Р/Ѳа. В эту формулу введен ко­ эффициент а меньше единицы, которым учитывается неравно­ мерность в распределении реакций основания по длине пролета.

Работа внутренних сил

М09 (4 • 2 + 2 • 3) = 14М0Ѳ.

55

Безразмерная величина разрушающей силы

Из этой формулы видно, что наименьшее значение f будет получено при а = 1, поэтому для этой схемы можно принять /=1,55.

Аналогично сделаем расчет для схем к и л. Схема к. Работа внешних сил

Наименьшее значение / и определяет несущую способность рамы:

Рпр = 0,909 -МоI

Кроме рассмотренных случаев образования пластических шарниров нужно было бы для полного решения задачи еще составить несколько аналогичных схем, после чего можно быть уверенным в том, что полученная предельная нагрузка является действительно наименьшей из всех возможных.

Анализируя полученные величины предельных сил, прихо­ дим к выводу, что нельзя игнорировать образование пластиче­ ских шарниров в фундаментных балках, которые входят в со­ став исследуемой рамы. В рассмотренном случае было принято увеличенное сечение фундаментной балки, равное 4Л40. И, не­ смотря на это, по схеме л, которая соответствует возникнове­ нию пластических шарниров, как в фундаментной балке, так

56

и в стойках и ригелях рамы получена предельная обобщенная сила, почти равная той, которая отвечает схеме ж, составлен­ ной при жестком фундаменте. Из этого вытекает, что если бы предельный момент, соответствующий сечениям фундаментной балки, был меньше 4М0, то предельная нагрузка для рамы опре­ делялась бы из схемы л.

Например, если предельный момент фундаментной балки ра­ вен ЗМ0, то получим:

Pnp = 0,87

Поэтому предельная несущая способность рамы определяется прочностью фундамента.

Глава 3

БАЛКА НА ДВУХСЛОЙНОМ ОСНОВАНИИ

3.1. Наибольшая нагрузка в упругой стадии

Рассматривается балка, расположенная на линейно-дефор- мируемом двухслойном основании. Верхний слой имеет ограни­ ченную толщину ho и располагается на упругом полупростран­ стве. Между балкой и основанием будем учитывать только вер­ тикальные реакции. Верхний слой, подчиняющийся гипотезе пропорциональности, представляем в виде упругих сжимаемых стержней-пружин и применяем метод, изложенный в главе 2 для однослойного основания. Распределение реакций по пролету балки зависит от жесткости балки и упругого основания. Упру­ гое основание является двухслойным, и его жесткость отлича­ ется от соответствующего однослойного основания.

При переходе балки за предел упругости в ней образуются пластические шарниры и ее жесткость изменяется. Это вызы­ вает перераспределение реакций основания и моментов в балке.

Для решения задачи процесс деформирования балки раз-' бивается на интервалы и внешняя нагрузка рассматривается как обобщенная сила. Первый интервал исследования относит­ ся к упругой стадии и соответствует такому значению обобщен-

57

пой силы, при котором течет

н ее расчет выполняется по сме­ шанному методу строительной механики.

В основной системе (рис. 3.1) балка отделяется от упругого по­ лупространства II к ней добавля­ ется заделка. За неизвестные

принимаются усилия Л; в связях-пружинах, осадка у0 и угол по­ ворота заделки ср0.

Для определения сил А'і, Х2, ... составляется обычная система канонических уравнений.

При вычислении побочных перемещений б,л, у которых іф к, безразлично, будут ли связи, установленные между балкой п упругим полупространством, упругими или абсолютно жесткими. Упругость связей оказывает влияние на главные коэффициенты уравнений, т. е. на б**.

Это учитывается в табл. 7 тем, что к перемещениям полу­ пространства добавляется обжатие упругой связи в зависимо­ сти от толщины Ло разрыхленного слоя грунта:

58

пространства. При вычислении главных коэффициентов нужно учесть деформацию упругого слоя

Решая систему уравнений, найдем следующие значения неиз­ вестных: у0 = —6,586; Хп = +0,922; 2Х0 = +0,886; Хг-=+0,992; Х 1 = = +0,896; У4 = + 1,248.

Эпюра реакций показана на рис. 3.2. Теперь можно найти:

59