книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

ресечения балок, распределяются поровну между обеими бал­ ками, так что к каждой балке будут приложены симметрично две силы, равные Р/2.

Для балки расчетная схема будет такая же, как была рассмотрена в п. 2.4, поскольку изгиб балки вызывается только теми силами, которые приложены к ней.

Для упругого основания схема нагрузки будет отличаться тем, что деформации упругого полупространства в данной точке будут зависеть от всех сил, приложенных к упругому полупро­ странству.

Так, например, для подсчета прогиба основания под точкой приложения силы 1, который возникает от силы 2, равной еди­ нице, необходимо подсчитать осадку точки 1 от восьми сил, при­ ложенных в точках 2 (рис. 2.9, б), причем большинство рас­ стояний от точек 2 до точки 1 будет являться дробными числами

грузку сосредоточенной. Тогда осадка точки основания, распо­ ложенной на расстоянии г от точки приложения нагрузки, будет равна:

в сечениях под силами. При дальнейшем увеличении нагрузки вторые пластические шарниры возникают в серединах пролетов, и окончательная схема расположения шарниров показана на рис. 2.9, д. Усилие в четвертом опорном стержне можно опреде­ лить из условий равновесия консоли

После этого консоль в основной системе у балки можно от­ бросить и заменить ее действие на оставшуюся часть моментом

Af,

МПр и силой —— , приложенной в шарнирне. Для расчета полу- с/2

чим основную систему, изображенную на рис. 2.9, г. Для опре­ деления Х0, X], Х2 и Хг составим теперь систему уравнений:

^00 *0 + б-Л ^1 + ^02 Х-2 + Ö03 Л'з + Аор + Уо + Обфо — 0;

+ ö12X2 + S13X3 + А,р + У0+ ІСФ0 = 0;

30

* 0 + - ^ l “Г -^2 + ^ З — ~

Х0 0 -f- с -|- Х% 2с -j- X s 3с —— Мпр— Х^- Зс-f- -—3с МПр.

Решив эту систему уравнений, найдем все Хі и с помощью их величину изгибающего момента в точке 0 балки. Затем при­ равняем этот момент предельной величине п получим уравне­ ние для определения нагрузки, которая соответствует образо­ ванию шарнира в середине пролета балки.

Вданной расчетной схеме свободные члены уравнений, т. е.

Дор, Л і р . вычисляются с учетом всех внешних сил, к которым

относят для балки силы Рцр/2, Х4 и моменты Мпр, приложен­ ные на краю и в середине пролета, а для упругого основания — силу Хц. Так, например,

В данном случае Дор зависит только от деформации основа­ ния, так как точка 0 балки имеет перемещения, равные нулю, и в этой точке находится заделка. Для других точек нужно так­ же учесть изгиб балки.

Момент в заделке вычисляется как сумма моментов левых или правых сил. Для определения предельной внешней силы, при которой возникают все шарниры, надо сложить все силы X,-:

I f - ^ x . + x . + x . + x . + x , .

Рассмотренный случай представляет интерес потому, что не­ сущая способность всей системы зависит от прочности упругого основания. Если упругое основание является недостаточно проч­ ным, то вторая группа пластических шарниров в середине про­ лета ригелей не сможет образоваться, так как консоли после образования шарниров практически потеряют свою несущую способность и вся нагрузка будет передаваться на среднюю часть балки. Наибольшая величина среднего реактивного дав­ ления, приложенного к консоли, будет равна:

п _ Хі _ 2МПр

сЬ С- b

Среднее же давление на среднем участке балки

31

Для того чтобы реакции были одинаковы по всей подошве

Вся нагрузка, приложенная к ростверку, равна: Q = 4Рпр = 72 Мпр

I

но так как с= — , то

9

О = 72-9 LLP = 548 — 1 .

I I

Эта нагрузка является верхним пределом. Практически более правильно будет считать, что исчерпание несущей способности ростверка наступает после того, как образовались шарниры под силами.

2.9. Трехслойная балка

В трехслойной балке, лежащей на упругом основании, рас­ пределение сил за пределом упругости отличается от того, что получается в однослойной балке, в особенности если между дву­ мя балками, имеющими разную жесткость, размещен упругий слой, воспринимающий только вертикальные реакции. Схема балки указана на рис. 2.10. Распределение реакций в упругой стадии характеризуется тем, что внешняя сила Р распределяется непропорционально жесткостям балок; в этом легко убедиться, если сделать расчет при разных жесткостях упругой про­ кладки.

Например, пусть обе балки имеют одинаковую жесткость на изгиб, а упругая прокладка имеет жесткость, относительно зна­ чительно меньшую, тогда обжатие упругой прокладки по длине всего пролета будет почти одинаковым. Но реакции в упругой прокладке будут пропорциональны ее обжатию, поэтому если отделим верхнюю балку от упругой прокладки, то верхняя бал­ ка будет находиться сверху под действием сосредоточенной си­ лы Р, а снизу — под действием реакций упругой прокладки, ко­ торые равномерно распределены по длине пролета п в сумме равны силе Р.

Нижняя же балка находится под действием этих же реакций прокладки, направленных сверху вниз, и реакций упругого осно-

32

вания, направленных снизу вверх. Момент в верхней балке бу­

близок к нулю, так как он возникает только за счет концентра­ ции реакций к краю балки, которая имеет место в упругом полу­ пространстве. Если же следовать элементарной теории, то мо­ менты в обеих балках будут одинаковые, т. е. на каждую балку приходится половина внешнего момента. Приведенные выше

рассуждения показывают, что упругость прокладки значительно изменяет распределение сил в трехслойной балке, причем основ­ ная доля нагрузки передается на верхнюю балку, поэтому если предельные моменты обеих балок одинаковы или незначительно отличаются, то первый пластический шарнир появляется в верх­ ней балке. После образования первого пластического шарнира происходит перераспределение реакций в упругой прокладке, за­ тем большая часть силы Р передается нижней балке. До тех пор пока в нижней балке не образуется пластический шарнир, за­ метного увеличения прогибов не наблюдается. После образова­ ния пластического шарнира в нижней балке прогибы всей си­ стемы быстро нарастают, и практически можно считать, что не­ сущая способность трехслойной балки будет исчерпана.

Реакции в упругой прокладке после образования пластиче­ ского шарнира в верхней балке будут распределяться почти по линейному закону, поэтому их можно будет определить из усло­ вий равновесия, если отделить верхнюю балку. Тогда получим схему сил, указанную на рис. 2.10, г. Составим два уравнения равновесия:

откуда

Теперь можно перейти к расчету нижней балки, принимая для нее за нагрузку р, как это показано на рис. 2.10,0. Из фор­ мул для р\ видно, что эта реакция будет отрицательной, если пролет будет слишком большим. Условия отсутствия отрица­ тельных реакций запишем так:

При возникновении отрицательных реакций может произой­ ти выключение связей между упругой прокладкой и верхней балкой, если собственный вес верхней балки недостаточен.

Для определения нагрузки Р2, при которой образуется пла­ стический шарнир в нижней балке, необходимо сделать расчет этой балки по упругой стадии, затем найти эпюру реакций меж­ ду балкой и упругим основанием, как это сделано на рис. 2.10, д, подсчитать расстояние до ее центра тяжести с0, вычислить мо­ мент относительно середины пролета и приравнять этот мо­ мент предельному моменту в нижней балке:

балки МПР2 , но также от предельного момента верхней балки уИпрі и от упругих свойств прокладки, так как величины с0 2 и Соі являются функциями этих величин.

2.10. Сосредоточенная сила, приложенная несимметрично

При несимметричном расположении внешней силы задача усложняется, так как расположение первого пластического шар­ нира зависит от соотношения жесткостей балки и основания. В табл. 6 указаны значения ординат эпюр моментов для балок разной жесткости и при различных случаях расположения со­ средоточенной силы.

Соотношение жесткостей балки и упругого основания харак­ теризуется параметром

6 £ /(і-ц 5 ) где Е0— модуль деформации основания;

34

E J — жесткость балки;

I— пролет балки;

|л0— коэффициент Пуассона основания. Схема балки указана на рис. 2.11, а.

Для жестких балок, у которых й « 0, первый пластический шарнир образуется под точкой приложения внешней силы, если

груз находится в точке 4, то в середине пролета вместо шарнира образуется пластическая об­

ласть, имеющая длину от точки 0 до точки 2 , так как на этом участке моменты мало отличаются один от другого.

Для очень гибкой балки а « 1 первый пластический шарнир образуется всегда под грузом, за исключением того случая, ког­ да груз расположен на самом краю балки.

После образования первого пластического шарнира проис­ ходит перераспределение реакций упругого основания, и задачу надо решать для новой расчетной схемы, которая показана на рис. 2.11, б. Число неизвестных при этом будет равно 12, так как углы поворота слева и справа заделки будут разные. Решение сделаем для двух единичных состояний от Р=1 и от М = \с.

После образования шарнира жесткость системы быстро па­ дает, поэтому предельную несущую способность балки можно будет определять по этой расчетной схеме, задаваясь величиной предельного прогиба. Образование второго пластического шар­ нира на правом участке балки произойдет после значительных деформаций и перемещений элементов всей системы, поэтому для данного случая можно ограничиться изучением расчетной схемы с одним пластическим шарниром под грузом.

Решив приведенную выше систему 12 уравнений, дважды по­ лучим значения чисел влияния для всех неизвестных сил Хі, ко­ торые возникают от Р = \ и М = 1 с и являются числами влияния.

Для определения реакций основания, которые возникают от силы Р = пР0 и момента /Ипр, получим такую формулу:

X t = nPüX\ + X \ y f - ,

где Х\ и XI— числа влияния для Хі, возникающие от Р = 1 и Мпр= 1 с.

36

Предельный момент, соответствующий образованию пластического шарнира,

берется в сечении с максимальным моментом для данной балки

= 1,5-0,0589/У-

Подставляя это значение Мпр в формулу для Xit найдем

Реакции основания равны:

учитывая, что

Предельную нагрузку найдем, задавая предельное значение наибольшей осадки, путем умножения осадки, полученной в уп­ ругой стадии, на численный коэффициент &>1:

^/пр = ky0,

где уо — наибольшая осадка в конце упругой стадии;

Решая это уравнение относительно п, получим

Таким образом, предельная несущая способность балки при сосредоточенной силе, расположенной несимметрично, вычис­ ляется по формуле

37

Учитывая, что уо= УоРо, окончательно получим

Можно доказать, что п всегда меньше k, так как после обра­ зования пластического шарнира прогибы нарастают быстрее, чем увеличивается сила.

Если нормирована будет реакция основания <7макс = &і<7о, то для предельной силы получим такое выражение:

в том случае, если система балка —■основание представляет со­ бой систему с двусторонними связями, и поэтому не происхо­ дит выключения связей по подошве балки.

Если же вес балки недостаточен для того, чтобы погасить отрицательные реакции, возникающие со стороны, противопо­ ложной расположению нагрузки, то расчет на несимметричный случай следует вести методом последовательных приближений, исключая из расчета тот участок балки, в пределах которого происходит выключение связей.

2.11. Сосредоточенная сила на краю балки

Если сосредоточенная сила расположена на краю балки, то распределение реакций и моментов в упругой стадии и за пре­ делом упругости для жесткой и гибкой балки будет различно.

Жесткая балка в упругой стадии имеет эпюру реакций, кото­ рая близко подходит к линейной и является двузначной (рис. 2.12, а). Этому случаю соответствует эпюра моментов, при кото­ рой наибольший момент возникает в сечении, расположенном близко к середине пролета. Пластический шарнир поэтому обра­ зуется в середине пролета. После образования первого пласти­ ческого шарнира, вероятно, образуются рядом с ним шарниры в смежных сечениях, т. е. будет возникать пластическая об-

38

ластъ, так как моменты будут почти одинаковыми на некотором участке, но тогда на этом участке эпюра реакций будет иметь ординаты, близкие нулю, как это указано на рис. 2.12,6. Внеш­ няя сила Р = Р0п1 уравновешивается реакциями, которые возни­ кают на участке, непосредственно примыкающем к загруженно­ му краю балки. Противоположный конец балки имеет эпюру ре­ акций, которая уравновешивает момент МПр, передающийся на

I Гибкая балка

-ггП

Рис. 2.12

этот участок балки. После перехода балки за предел упругости несущая ее способность быстро падает, так как реакции, уравно­ вешивающие внешнюю силу, распределяются на сравнительно небольшом участке балки, примыкающем к загруженному краю балки, как это показано на рис. 2.12, в.

Для гибкой балки в упругой стадии эпюра реакций имеет большую ординату на краю, и нагрузка распределяется на не­ большой участок балки, как показано на рис. 2.13, а. Эпюра мо­ ментов, соответствующая упругой стадии, имеет наибольший мо­ мент в точке приложения груза; в этом сечении и образуется пластический шарнир. После образования пластического шарни­ ра дальнейшее увеличение нагрузки приводит к расширению по­

39