книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

Кинематически допустимое распределение скоростей системы должно удовлетворять двум условиям:

1)во всех точках системы скорости должны быть в соответ­ ствии с имеющимися связями;

2)приращение работы внешних сил на перемещениях, соот­ ветствующих принятым скоростям, должно быть положитель­

ным.

Кинематически допустимый коэффициент запаса 5К получим как отношение функций рассеивания Di внутренней и De внеш­ ней энергии:

Общие соображения, изложенные выше, были сформулирова­ ны для любых систем, поэтому их можно применять для балок и плит, расположенных на упругом основании, но при этом следу­ ет учитывать те особенности, которые возникают при решении таких задач. В дальнейшем на конкретных примерах будет рас­ смотрено использование общих теорем предельного равновесия

ибудут установлены границы их применимости.

1.4.Образование пластических областей в основании

Упругое основание представляет собой сложную среду, на­ пряженное состояние которой даже в упругой стадии может быть определено только для некоторых упрощенных моделей. Возник­ новение пластических областей в упругом основании зависит от специальных условий, вытекающих из необходимости учитывать гидростатическое давление и сжимаемость основания, которая соответствует реальным грунтам. Из этих соображений условие текучести для основания принимается в более обобщенном виде:

Для критерия пластического тече­ ния представляется возможным при­ нять условие Мизеса. Однако, как по­ казали эксперименты [60, 46] над раз­ личными грунтами, этот критерий не­ обходимо дополнить включением спе­ циальной функции ф(сТт), зависящей от гидростатического давления. Тогда получим:

10

Если cp = 0, то основание будет несжимаемым, при ф^О решение соответствует сжимаемому основанию. Для определения линий скольжения можно составить уравнения, решение которых вы­ полняется численным методом. Введем обозначения:

Составим дифференциальные уравнения равновесия, учиты­ вая обозначения, указанные на рис. 1.2, где 5 и Т — длины дуг по направлению линий координат; 0s и Ѳг — углы наклона каса­ тельных к оси z; Us, Es и UT, Er — компоненты скорости. После некоторых преобразований получим:

11

В этих уравнениях обозначено: Ä,=si и е2 = —А 2Х. Получен­ ные уравнения решаются численным методом и позволяют опре­ делить границы пластической области в упругом основании (см.

п.6.3).

1.5.Условия создания фундаментов наименьшего веса

Вобщем виде зависимость, связывающая момент и вес или геометрические размеры элементов конструкции, является нели­ нейной [48, 51]. Но в первом приближении представляется воз­ можным аппроксимировать функцию, связывающую изгибаю­ щий момент и погонный вес в пределах данного элемента, пря­ мой линией по такой формуле:

где А и В — заданные постоянные.

Тогда полный вес конструкции будет получен путем сумми­

выражения ~ZLiM0, так как А и В яв­ ляются постоянными и LiM0 не за­ висит от них.

Если рассмотреть систему, несу­ щая способность которой зависит от возможности образования двух пла­ стических шарниров с разными ве­ личинами предельных моментов М0і и MQO, то можно получить геометри­ ческое представление об условиях создания конструкции наименьшего

веса. Для этого по осям ординат будем откладывать М0 1 и М02. Относительный вес конструкции можно выразить так:

где т01 и т0 2 — безразмерные величины пластических моментов. Для разных значений g' получим семейство параллельных

прямых линий, которые показаны на рис. 1.3 пунктиром.

Для конструкции данного веса g можно также построить ли­ нии нагрузки. Правее этой линии расположены точки, для кото­ рых значение нагрузки меньше предельного. Левее будут разме­ щаться точки, соответствующие значению нагрузки больше пре­ дельного. Предельное значение нагрузки можно получить исходя из данной схемы образования пластических шарниров. Это мож­ но записать так:

12

Коэффициенты Di и Ci зависят от выбранной схемы разру­ шения конструкции.

Прямые линии, отвечающие определенному значению Рпі, показаны тонкими линиями на рис. 1.3. При образовании трех пластических шарниров в одном элементе, т. е. при исчерпании местной несущей способности, предельная нагрузка будет зави­ сеть только от одного из пластических моментов М01 или М02, и прямая, соответствующая такой нагрузке, будет параллельна одной из осей координат. Это соответствует линиям ab и cd на рис., 1.3.

Жирной линией на рис. 1.3 показана граница области, вну­ три которой может располагаться нагрузка. Минимальный вес у конструкции получится в том случае, если прямая, соответствую­ щая весу, будет касаться жирной граничной линии.

В данном случае линия qh соответствует линии минимально­ го веса для данной конструкции (см. п. 5.7).

Глава 2

БАЛКА НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

2.1. Наибольшая нагрузка в упругой стадии

Рассмотрим балку прямоугольного сечения, нагруженную со­ средоточенной силой Р в середине пролета (рис. 2.1,а). Опреде­ лим значение Ро, при котором в крайнем волокне опасного сече­ ния балки напряжения будут достигать предельной величины аир. Это значение силы будет наибольшим для упругой стадии работы балки при условии, что упругое основание сохраняется линейно-деформируемым.

В сечении под грузом изгибающий момент будет равен:

Расстояние от середины пролета до центра тяжести эпюры реакций зависит от закона распределения реакций по длине про­ лета балки и вычисляется в результате решения задачи в упругой стадии.

Расчет в упругой стадии будем выполнять по способу Жемочкина [10, 33]; для этого прикрепляем балку к упругому основа­ нию нерастяжимыми стержнями (рис. 2.1,а). Для определения усилий в этих стержнях применяется смешанный способ строи­ тельной механики. Основная система получается путем отделе-

13

ния балки от упругого основания и введения заделки в середине ее пролета (рис. 2.1,6). За неизвестные принимаются силы Х0, Хи ... и осадка заделки у0. Для определения этих неизвестных составляется следующая система уравнений:

Рис. 2.1

При вычислении коэффициентов 6іь канонических уравне­ ний приходится учитывать как прогиб балки п;л, так и осадку упругого полупространства ут от единичных сил (рис. 2.1, в):

Vik вычисляется по обычным формулам как прогиб в сечении і балки, заделанный одним концом, от силы Хь=\, приложенной в сечении k (см. рис. 2.1,в):

с — расстояние между связями (см. рис. 2.1,а).

Осадка упругого полупространства вычисляется по формуле Б. Н. Жемочкина [10]:

где р о — коэффициент Пуассона упругого полупространства;

14

Общий множитель 1—\і^ІЕйс% одинаков для всех коэффици­

ентов б,-/;, и поэтому при выполнении расчетов его можно учиты­ вать р конце.

Свободные члены Аір , входящие в уравнения (2.1), представ­ ляют собой прогибы балки, заделанной одним концом, от внеш­ них сил. Подставляя найденные коэффициенты и свободные чле­ ны в уравнения (2.1) и затем решая их совместно, определяем силы Хі и осадку ко­

ординаты pi эпюры реакций упругого полупространства вы­ числяются путем деления сил Х{ на соответствующие им площа­

Эпюра реакций будет иметь ступенчатый вид. Изгибающие моменты в балке определяются из основной системы с помощью

15

Для определения с0 используем значения X, которые полу­ чены после решения системы уравнений и представляют собой значения равнодействующих реакций упругого основания. Вели­ чина с0 (см. рис. 2.1, г) вычисляется по формуле

і=О______

і=гс

Е Хі 1=0

Формула показывает, что для вычисления Со величину Р0/2 можно принять равной единице. Тогда знаменатель обращается

в 1. Например, для Ь[с= 3; а = 0,1 и с = — коэффициенты урав­

Теперь определим с0:

с0 = 0,1181.

В табл. 2 указано значение с0 для разных значений Ь/с и а, характеризующего гибкость балки.

16

В зависимости от соотношения жесткости балки и упругого полупространства величина с0 изменяется. Чем больше жест­ кость балки, тем больше величина с0. При равномерном распре­ делении реакций упругого основания с0 = 0,25 I, т. е. равнодей­ ствующая реакций проходит в четверти пролета балки. Для гиб­ ких балок величина с0 становится меньше 0,25 I. Для бесконечно жестких балок с0 становится больше 0,25 I за счет концентрации реакций, возникающих у края балки.

Определим теперь тот изгибающий момент, который может выдержать сечение балки, если напряжения только в крайнем волокне достигают величины 0 пр:

М 0 = a npW,

где W — обычный момент сопротивления сечения балки.

Для определения Ро приравняем этот Мй моменту внешних

Если а=0,1 и Ь/с= 2, то в табл. 2 найдем значение Со=0,128/; тогда для прямоугольной балки получим

1

Р о

0,1 2 8 /'

2.2. Распределение реакций за пределом упругости

Продолжим решение и выясним распределение реакций уп­ ругого основания, если внешняя сила Р будет больше того зна­ чения Р0, которое было вычислено в п. 2.1. Теперь балка будет работать за пределом упругости в упругопластической стадии, ее жесткость изменится и в результате этого произойдет перерас­

пределение реакций.

Для упрощения дальнейшего исследования исключим из рас­ смотрения процесс перехода балки в упругопластическую стадию и будем считать, что в результате образования пла­ стического шарнира балка раз­ бивается на два участка, кото­ рые находятся в упругой ста­

бенность этой расчетной схемы состоит в том, что с увеличением Р момент АГпр остается постоянным, сохраняя свою величину. Для данной расчетной схемы разрешим две вспомогательные за­ дачи: для М= 1 с и Р = 2, как это показано на рис. 2.2.

Для определения реакций упругого основания составим такие две системы уравнении:

Для примера подсчитаем значение коэффициентов для того случая, когда а=1 и 6/с= 1:

600 = 2-3,525 = 7,05;

601 = 2-1,038 = 2,076;

би = 3,525 + 0,505 + 1 - 2 = 6,03; 612 = 1,038 + 0,335 + 1 -5 = 6,373

И т. д.

Таким же порядком вычисляем остальные коэффициенты.

В табл. 3 и 4 указаны значения чисел влияния для различ­ ных соотношений Ь/с и а, полученные от Р = 2 и от Л4 = 1 с.

Если к балке будут приложены сила Р = пР0(п'> 1) и момент

5 25

Мщ,=-^-Р0С0~ - ^ - М 0 (2S0 — пластический момент сопротивле­

ния), то равнодействующие реакций упругого основания будут найдены с помощью чисел влияния по формулам:

Х 0 = Х о ^ Р о + X o ^ c OTjPo-,

Х ^ Х ' ^ Р о - Ь Х п ^ . ^ Р о .

Для вычисления интенсивности реакций необходимо поде­ лить силы Хі на соответствующие им площади /+ Например, для Ь/с = 3 и а=0,1 получим

М0= А - с0 = 0,118 ^ I = 0,059/у.

18