книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

шая доля внешней нагрузки. Но равнодействующая реактивных давлений в середине пролета балки составляет всего 4 % внеш­ ней нагрузки, поэтому дальнейшее ее уменьшение существенно не изменит распределение реакций. Снижение предела текуче­ сти основания до 2 k = \ 2 Р/Р0 приведет к тому, что пластичес­ кая область основания займет весь пролет балки; эта область будет вытягиваться.

Для расчета по упругопластической схеме в матрице жест­ кости контактной задачи придется изменить коэффициенты же-

Рис. 6.9

сткости при силах Х0 и Х\ одинаково, так как глубина пласти­ ческой области под этими силами составляет 3Д глубины слоя. Под силой же Х2 глубина слоя составляет xk глубины слоя. По­ этому главный коэффициент матрицы жесткости при Х2 умень­ шится по сравнению с главными коэффициентами при Х\ и Х0 на следующую величину:

И 1 + Ѣ - т Ж 1 + ^ - т Н ' 4 1 -

Это повлечет за собой соответствующее увеличение Х2. Вы­

предела текучести приводит к увеличению концентрации реак­ ций к краю балки.

Дальнейшее уменьшение параметра до 2 /г=10 Р/Р 0 при­ водит к тому, что весь участок основания в пределах пролета балки переходит в пластическую стадию и балка начинает ра­ ботать как бы на основании с пониженным модулем деформа-

140

ции. В результате этого реакции изменяются. Если при этом жесткость самой балки не меняется, то происходит даль­ нейшая концентрация реакций к краю балки. Теперь получим следующие значения X: 2 Хо=0,06 Р/Ро', -Х’і= 0,14 Р/Ро и Х2—

=0 , 3 3 Р/Ро- Для сравнения на рис. 6.9 показано развитие гра­

ницы пластической области в основании при разных значениях параметра 2 k.

Полученные результаты имеют практическое значение при определении предельной нагрузки на балки, так как до некото­ рой степени опровергают довольно распространенное мнение о том, что возникновение пластических деформаций в основа­ нии приводит к снижению концентрации реакции к краю балки и к выравниванию эпюры реакции. Предельную нагрузку на балку можно определить из условия перехода в пластическую

т. е. получили бы преувеличенное значение РПр:

6.6. Использование балочных конечных элементов

Для расчета массивных сооружений, определения реакций упругого основания и их предельной несущей способности це­ лесообразно в качестве основного конечного элемента исполь­ зовать балку-консоль. В этом случае преимущества имеет спо­ соб сил. Применим балочные конечные элементы для расчета треугольного клина, который обычно рассчитывают способом плоской задачи теории упругости, применяя функцию напряже­ ний. Задача в этом случае сводится к интегрированию бпгармонического уравнения при заданных граничных условиях.

Для практических случаев переходят к конечным разностям и заменяют дифференциальное уравнение системой совместных линейных уравнений. Решение этойзадачи представляет значи­ тельные трудности, поэтому приходится применять один из приближенных способов строительной механики.

141

Сначала рассматриваем деформацию профиля плотины, предполагая, что по всей длине подошвы имеется полная задел­ ка. Затем учитываем перемещения профиля как жесткого дис­ ка, обусловленные податливостью упругого основания.

Для вычисления деформаций профиля выбираем такую рас­ четную схему, в которой профиль рассечен на несколько поло­ сок-балок. Взаимодействие между этими балками осуществля­ ется за счет касательных и нормальных напряжений.

Рис. 6.10

Если заменить криволинейную эпюру распределения напря­ жений ступенчатой и обеспечить условия контакта в отдельных точках разреза, то расчетная схема будет иметь вид, указанный на рис. 6 .1 0 , а.

При решении этой задачи способом сил получим основнуюсистему, приведенную на рис. 6.10,6. За неизвестные приняты силы Хі — равнодействующие нормальных и касательных на­ пряжений в точках контакта. Основным элементом каждогоединичного состояния является балка, заделанная одним кон­ цом.

Для подсчета коэффициентов 6 ,-й применяется общая фор­ мула, известная из строительной механики:

Здесь придется учесть некоторые особенности, присущие данной задаче; для этого каждый интеграл разобьем на два интеграла по длине балки. Первый интеграл вычислим при по­ стоянном сечении балки, второй — с учетом изменения жестко­ сти балки.

В пределах участка с переменной высотой сечения интеграл

142

G F ,

Учет влияния Ni можно распространить на обжатие вдоль , волокон балки.

Для определения неизвестных усилий Хі составляем обыч­ ную систему канонических уравнений метода сил:

моментов и продольных сил, пользуясь обычной формулой ме­ тода сил:

После этого можно перейти к вычислению перемещений то­ чек клина от единичных сил, приложенных как вне, так и внут­ ри его контура. Для этого можно использовать общую форму­

данной внешней силе. Как известно, единичное виртуальное со­ стояние можно взять в любой статически определимой системе. В данном случае такой системой будет балка, заделанная од­ ним концом. Следовательно, перемножение эпюр нужно распро­ странить только на одну полоску-балку, выделенную из клина.

Приведенные рассуждения показывают, что объем вычисле-

143 •

ний получается довольно большой. Поэтому в конце желательно проверить полученный результат. Хорошей проверкой будет со­ блюдение условий взаимности перемещений, так как взаимно равные перемещения öik— Ski могут быть вычислены двумя разными путями. Это служит дополнительной проверкой пра­ вильности расчета.

Для примера выбираем несложную расчетную схему, разбив профиль плотины на три полоски (рис. 6.11,а). Число неизвест-

Ч

•ных сил равно шести. Это решение будет приближенное, кото­

Все коэффициенты и свободные члены увеличены в - ^ ^ ораз.

d3-

Свободные члены подсчитаем, прикладывая последователь­ но единичную силу во всех узловых точках.

Сила приложена в точке 7 (см. рис. 6.11):

После решения уравнений получим следующие значения не­ известных (табл. 1 1 ).

Силы Хі, полученные из решения уравнений, будем считать приложенными сосредоточенно в соответствующих точках, как

подсчитаем моменты. Так, например, если груз приложен в точ­ ке 7, то получим:

В точках 1—3 моменты изменяются скачкообразно, поэтому для этих точек вычисляем два значения момента.

6.7. Вычисление предельных смещений, и нагрузок

Коэффициенты, входящие в уравнение частот горизонталь­ ных колебаний профиля плотины, представляют собой горизон­ тальные перемещения тех точек, в которых сосредоточены мас­ сы отдельных участков профиля, от единичных сил, приложен­ ных статически. Перемещения каждой точки плотины состоят из двух слагаемых: во-первых, из перемещений клина как же­ сткого диска за счет деформирования основания и, во-вторых, из перемещений, вызываемых деформацией клина.

Перемещения упругого основания находим, пользуясь гото­ выми формулами. Горизонтальные перемещения подошвы пло­ тины от горизонтальной силы, равной единице и равномерно распределенной по подошве, определяются по формуле

где Я — высота профиля; Е0— модуль деформации полупрост­ ранства; цо=0,35 — коэффициент Пуассона.

Кроме этих перемещений следует учесть еще горизонталь­ ные перемещения y\k точек профиля, возникающие от поворота

146

клина. Для этого находим угол поворота профиля как жесткого штампа от единичного момента по формуле

ср = 5,4

Рис. 6.12

тех точек, в которых были сосредоточены силы (см. рис. 6 .1 1 ), перемещения найдем как среднее арифметическое из ординат смежных точек эпюр, указанных на рис. 6 .1 2 :

6 j2— найдем как среднее арифметическое из четырех значений:

Полные перемещения с учетом деформации плотины и упру­ гого полупространства равны:

Приведения сделаны с учетом следующих зависимостей:

Полученные формулы позволяют вычислить величину наи­ больших смещений профиля с учетом деформации как основа­ ния, так и профиля. Например, от равнодействующей гидроста­ тического давления R наибольшее смещение точки 2 равно:

ИЗ

6 2 2 = (7,168-0,257? + 3,564-0,757?) —— .

EJ

Для массивных гидротехнических сооружений наибольшая величина ожидаемого смещения является одним из критериев, определяющих предельную несущую способность.

148

Г л а в а 7

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ОСАДКИ КАРКАСНЫХ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ

7.1. Основные расчетные положения

Каждое многоэтажное здание представляет собой сложную пространственную систему, которая деформируется под дейст­ вием приложенной к ней нагрузки. Внешняя нагрузка в виде собственного веса элементов конструкций и веса оборудования уравновешивается реакцией грунта, приложенной к фундамен­ там. Здание работает совместно с упругим основанием (т. е. грунтом), на котором оно расположено.

Как известно, реакции упругого основания зависят от же­ сткости того сооружения, которое на нем располагается. Для определения реакций упругого основания обычно сооружение заменяют балкой или плитой, имеющей такую же жесткость, как и сооружение. Применить такой прием для расчета много­ этажных зданий каркасной конструкции возможно только пос­ ле специального анализа, в результате которого будут исследо­ ваны свойства здания как пространственной упругой системы.

Как в продольном, так п в поперечном направлении жест­ кость здания является величиной переменной, поэтому услов­ ная балка, заменяющая здание, также должна иметь перемен­ ную жесткость. Как известно, размеры подошвы фундамента колонны определяются так, чтобы нагрузка на колонну сверху уравновешивалась реакцией грунта, принимаемой равномерно распределенной по подошве фундамента; неразрезность фунда­ ментов и перекрытий в расчете не учитывается; во многих слу­ чаях такой расчет для практических целей вполне удовлетвори­ телен.

Но в некоторых случаях нагрузка, приходящаяся на данную колонну от перекрытия, не уравновешивается равнодействую­ щей реакцией грунта, подсчитанной по соответствующей грузо­ вой площади фундамента. В этих случаях считают, что проис­ ходит перераспределение реакций за счет изгиба здания, хотя такое перераспределение возможно только в результате раз­ личных осадок отдельных частей здания.

Неравномерная осадка здания обычно не учитывается, хотя этот фактор иногда и приводит к нежелательным последствиям. Неравномерная осадка зависит от различных жесткостей от­ дельных частей здания, поэтому в расчете необходимо учиты­ вать переменную жесткость по длине и ширине здания.

Для пояснения изложенного рассмотрим несколько расчет­ ных схем. Начнем с простейшей схемы и определим жесткость заменяющей плиты в продольном направлении. На рис. 7.1 изо­ бражена схема многоэтажного каркасного здания с железобе-

149